第八章 弯曲应力

纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。

纯弯曲时梁横截面上的正应力

a PA

C

aP

BD

8.1 弯曲正应力

P

P

Pa

中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。

平面假设：梁变形后，其横截面仍保持平面。

m

m

n

n

FF

中性层

中性轴

m

1o

n

n2o

m

dx

m

m

n

n

o

z

y

o

d

dx

m

m

n

n

FF

y

z

d

ddz

E zE

M 中性轴

z

ydA

2、物理条件：

3、静力条件：

AAZ

AAY

AA

yzdAE

dAyM

dAzE

dAzM

zdAE

dAN

2 dAzI

EI

M

Ay

Y

Y

2

1

正应力公式：y

y

I

zM

一、矩形截面梁

假设：（ 1 ）横截面上任一点处的剪应力方向均平行于剪力 Q 。

（ 2 ）剪应力沿截面宽度均匀分布。

8.2 弯曲切应力

b

y

zA

2h

2h

z0z

y

a a

m n

dx

b

b

z

z

z2

h2

h

dA

1z

A max2N

*1

1 ** y

y

A

y

A Is

I

MdA

I

MzdAN

1N

*

22

)(* y

y

AS

I

dMMdAN

微块的侧面面积；*A

*A 1z面积 中矩中性轴为 处的正应力；21

,

Y

y

bI

S

dx

dM *

' *

y

z

bI

QS *

b– 横截面在所求应力点处的宽度；

– 面积 对中性轴的静矩 .

IZ– 整个截面对中性轴的惯性矩；

Q– 横截面上的剪力；

*A*

yS

)4(2

2

2

* zhb

Sy

对于矩形截面梁)

4(

22

2

zh

I

Q

y

三、工字形截面梁

y

y

bI

SQmax

*

max

)(

d为腹板厚度

二、圆截面梁上的切应力

A

Q

3

4max

式中： A为圆截面面积

dh

Q

1

max

8.3 弯曲杆件的强度条件

max

y

max

max

Wz

I

W

M

y

y

式中

y

y

I

zMmaxmax

max

梁的最大正应力点应满足强度条件：

为材料的许用应力

).1(32

;32

;6

.,

4

33

2

33

dW

dW

bhWmmmW

yy

yy

环形截面：圆形截面：

矩形截面：抗弯截面系数，单位：

一、减小最大弯矩

1 、改变加 载 的位置

2 、 改 变 支座的位置

8.4 提高弯曲强度的措施

P

l/2

A B

l/2

CP

l/4

A B

l/4 l/4 l/4

D

+Pl/4

M图 +Pl/8

M图Pl/8

q

lA B

ql2/8

M图 +

q

3l/5A B

l/5 l/5

M图+

--

ql2/40

ql2/50ql2/50

二、合理选取截面形状

从弯曲强度考虑，比较合理的截面形状，是使用较小的截面面积，却能获得较大抗弯截面系数的截面。在一般截面中，抗弯截面系数与截面高度的平方成正比。因此，当截面面积一定时，宜将较多材料放置在远离中性轴的部位。

面积相同时：工字形优于矩形，矩形优于正方形；

环形优于圆形。

1 、选用合理的截面形状

2 、采用变截面梁