热　烈　欢　迎热　烈　欢　迎各　位　老　师　莅　临　指　导

课题： 椭圆与直线的位置关系

△=b2-4ac>0

k1k2= -1

※ ※ .. 本课时研究内容：本课时研究内容：　由椭圆与直线的位置关系引伸出的有关问题的解题技巧

mx 0+ny 0

k=0

热　烈　欢　迎热　烈　欢　迎

各　位　老　师　莅　临　指　导

课题：　 椭圆与直线的位置关系 讲课老师：葛立其

汕头市金园实验中学

△=b2-4ac>0

k1k2= -1

※ ※ .. 本课时研究内容：本课时研究内容：　由椭圆与直线的位置关系引伸出的有关问题的解题技巧

mx 0+ny 0

k=0

热　烈　欢　迎热　烈　欢　迎

各　位　老　师　莅　临　指　导

课题：　 椭圆与直线的位置关系 讲课老师：葛立其

汕头市金园实验中学

△=b2-4ac>0

k1k2= -1

※ ※ .. 本课时研究内容：本课时研究内容：　由椭圆与直线的位置关系引伸出的有关问题的解题技巧

mx 0+ny 0

k=0

热　烈　欢　迎热　烈　欢　迎

各　位　老　师　莅　临　指　导

课题：　 椭圆与直线的位置关系 讲课老师：葛立其

汕头市金园实验中学

△=b2-4ac>0

k1k2= -1

※ ※ .. 本课时研究内容：本课时研究内容：　由椭圆与直线的位置关系引伸出的有关问题的解题技巧

mx 0+ny 0

k=0

※ ※ .. 本课时研究内容：本课时研究内容：　由椭圆与直线的位置关系引伸出的有关问题的解题技巧

mx 0+ny 0

k=0

一一 .. 复习复习圆和直线圆和直线的位置关系的位置关系

直线 l 与⊙ A 相离 d >R

直线 l 与⊙ A 相切 d =R

直线 l 与⊙ A 相交 d ＜ R

lA

B A

B A

B

RR

R

dd

d

FE C C C

△>0 直线 与圆相交

△<0 直线与圆相离

△=0 直线与圆相切

圆与直线的位置关系位置 关系

交点个数

判 别 式 △=b2-4ac

圆 心 (x0,y0) 到 直 线 的 距 离 d 与圆半径 R 的关系

相离 0 =b△ 2-4ac ＜0

RCBA

d

BA

yx

22

00||

相切 1 △=b2-4ac=0 RCBA

d

BA

yx

22

00||

相交 2 △=b2-4ac ＞ 0 RCBA

d

BA

yx

22

00||

弦长公式：

||

11||1

2121||

21221

2

22

21

yyk

xxk

yyxxPP

把圆 ( 一条封闭曲线 ) 看成是一个 “区域”，利用线性规划的知识求最值； 求解与弦有关的一些问题（如弦长、弦的中垂线等 ).

求直线方程（如切线、弦所在的直线方程等）与圆方程；

y

0 xx

y

0

　长短轴的长相等（离心率为0 ）

垂直

不垂直

与直线的关系问题

　　二次曲线与直线的关系问题，是解析几何的一个重要内容，也是高考的重点考查内容之一 . 纵观历年高考，这部分内容必考无疑！务必引起大家重视 .

二二 .. 椭圆与直线位置关系解题举椭圆与直线位置关系解题举例例　例 1: 在椭圆 x2+4y2=16 中，求通过点 M(2,1), 且被这一点平分的弦所在的直线方程 . 　

a

x

y

0·M(2,1)

2

-2

-4 4

P(x1,y1

)

Q(x2,y2)

不可能！　本例可考虑两个交点这一事实 , 由此得出△ =k2+4k+3>0, 再利用了弦中点坐标 , 列出方程 , 从而解决问题 . 但会很繁 .

　解中得到了

从而揭示了弦中点坐标与弦的斜率的关系：mx0+ny0k=0. 但在解题时应注意 x1≠x2 条件 .

0421

21

2121

xxyy

yyxx

本例的解法除了运用前面讲的弦中点坐标与弦的斜 率的关系 , 得到 :x0+3y0k=0 外，还运用了“点 Q(x0,y0) 在椭圆 内部”，并由此建立了不 等式，解决了问题 .

例 2: 已知椭圆　　　的一个顶点 A 的坐标是（ 0,-1 ） . 试问是否存在一条斜率为 k(k≠0) 的直线 , 使之与椭圆有两个交点 M 、 N, 且满足 |AM|=|AN|?

13

22

yx

x

y

0

1

33

A-1

(x1,y1)

(x2,y2)

Q(x0,y0)

注：本例当然可以用判别式来解决，但会繁一点，大家可以在课外作为练习做一下 .

N

M

∟

三三 .. 应用练习：应用练习： 1. 设椭圆 mx2+ny2=1 的一条弦 AB 的斜率 为 k, 弦 AB 的中点为 M, O 为坐标原点 ,设 MO 的斜率为 k0, 求证 :kk0=

n

m

略证 : 设弦 AB 的中点 M 坐标为 (x0,y0).

则有 mx0+nky0=0 ，

故 k= 而 k0=

所以 kk0= =yx

n

m

0

0xy

0

0

yx

n

m

0

0

xy

0

0

n

m

2. 已知 :A,B 是椭圆　　　　　 上两点，

线段 AB 的中垂线交 x 轴于点 P （ x0,0).

求证： .

)0(12

2

2

2

baby

ax

aabaxba

22

0

22

y

a-a

-b

b

x0

A(x1,y1)

B(x2,y2)

分析：从上面的例题中可以得到弦 AB 中点坐标与弦 AB 所在直线斜率之间的关系 . 于是也就有了弦 AB 中点坐标与 AB中垂线的斜率的关系 . 从而也就有了与 x0 的关系 .

P(x0 ,0)

Q(m,n)

aabaxba

22

0

22

∴

略证 : 设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点是 Q(m,n) ，则代入椭圆方程得 b2m+a2nkAB=0 　

n

m

abk AB 2

2

kx ABm

n 10

0

n

m

n

m xab 0

2

2 xaab nmnmn

0

222

mn

mnmn

aba

abax 2

22

2

22

0

又

故有 于是

∴

而 m (-a,a) ∈ 故

A(x1,y1)

B(x2,y2)

0x

Q(m,n)

y

P(x0,0)

四四 .. 小结：小结：　　 从上述的例题及练习题中可以看出，在解决此类有关曲线与直线的关系问题时，要充分利用判别式、弦的中点坐标、弦所在的直线的斜率等，再结合其他给定条件，列出方程组，予以解决 . 特别应注意的是类似于 :

的式子的应用 .

这个式子事实上是揭示了弦的中点 (x0,y0) 与弦所在

直线的斜率 k 之间的相互关系，即

（其中 m 、 n 是椭圆标准方程的二次项系数 ).

0421

21

2121

xxyy

yyxx

000

knm yx

五五 .. 课外作业：课外作业： 1. 直线 y=x+k 与曲线 x=2 恰有一个交点 . 则 k的取值范围是　 .

2. 已知椭圆 , 直线 交椭圆于 A 、 B两点， O 为坐标原点，若 , 求直线 的方程 .

3. 已知椭圆 C 的两个焦点 F1 (0, ). F2(0, - ).

离心 率

①求椭圆 C 的方程；

②是否存在直线　使之与圆 x2+y2=1 相切，且切点是 与椭圆 C 相交弦的中点？若存在，求出 的方程；若不存在，请说明理由 .

y2

1

14

22

yx 4 : kx y l

20

kk BOA l

22 22

3

6e

lll

　　谢谢各位光临　请大家多提宝贵意见！

课件制作：葛　立　其

联系电话： 13322702081