复习回顾：复习回顾：

♦ 1 求动点轨迹方程的一般步骤：

（ 1 ）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点 M 的坐标；（ 2 ）写出适合条件 P 的点 M 的集合； ( 可以省略，直接列出曲线方程 )（ 3 ）用坐标表示条件 P （ M ），列出方程

（ 5 ）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 ( 可以省略不写 , 如有特殊情况，可以适当予以说明 )

( , ) 0f x y ( , ) 0f x y （ 4 ）化方程 为最简形式；

3. 列等式 4. 代坐标坐标法 坐标法

5. 化简方程1. 建系 2. 设坐标

0 12

2

2

2

bab

y

a

x

0 12

2

2

2

bab

x

a

y

图 形

方 程

焦 点 F(±c ，0)

F(0 ， ±c)a,b,c 之间的关系 c2=a2-b2

MF1+MF2=2a (2a>2c>0)定 义

1 2

y

oF F

M

x1

o

Fy

x

2

F

M

2. 两类标准方程的对照表

注 :共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是 1.

2x2y

不同点：焦点在 x 轴的椭圆 项分母较大 . 焦点在 y 轴的椭圆 项分母较大 .

练习：

11625

)2(22

yx

11

)3(2

2

2

2

m

y

m

x

11616

)1(22

yx

0225259)4( 22 yx

123)5( 22 yx

11624

)6(22

k

y

k

x

1. 口答：下列方程哪些表示椭圆？22 ,ba

若是 , 则判定其焦点在何轴？并指明 ，写出焦点坐标 .

?

例 1 ： 已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一 个椭圆， 它的焦距为 2.4m ，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为 3m ，求这个椭圆的标准方程．

解： 以两焦点 F1 、 F2 所在直线为 x 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系 xOy ，则这个椭圆的标准方程可设为

2 2

2 21 0

x ya b

a b

根据题意有 2 3a ，2 2.4c

1.5a ， 1.2c 即2 2 2 2 21.5 1.2 0.81b a c

因此，这个椭圆的标准方程为2 2

12.25 0.81

x y

x

y

OF1 F2

新课讲解：新课讲解：

练习：练习：1 、 已知椭圆的方程为： ，请填空：

(1) a=__ ， b=__ ， c=__ ，焦点坐标为 ___________ ，焦距等于 __.

(2) 若 C 为椭圆上一点， F1 、 F2 分别为椭圆的左、右焦点，

并且 CF1=2, 则 CF2=___.

11625

22

yx

变题： 若椭圆的方程为 , 试口答完成（ 1 ） .144916 22 yx

若方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，

求 k 的取值范围 ;

132

22

k

y

k

x探究 :

若方程表示椭圆呢 ?

5 4 3 6(-3,0) 、 (3,0)

8

1169

22

yx

例 2 、写出适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) a =4 ， b=1 ，焦点在 x 轴上； (2) a =4 ， b=1 ，焦点在坐标轴上； (3) 两个焦点的坐标是（ 0 ， -2 ）和（ 0 ， 2 ），并且经 过点 P （ -1.5 ， 2.5 ） .

解： 因为椭圆的焦点在 y 轴上，

设它的标准方程为 )0(12

2

2

2

bab

x

a

y

∵ c=2 ，且 c2= a2 - b2 ∴ 4= a2 - b2 ……①

又∵椭圆经过点

2

5

2

3，

……∴ ②1)()(

2

223

2

225

ba

联立①②可求得： 6,10 22 ba

116

22

yx

∴ 椭圆的标准方程为 1610

22

xy

( 法一 )

x

y

F1

F2

P

116

22

yx1

162

2

yx 或

( 法二 ) 因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为

由椭圆的定义知，

.6410

,2.10

,102

102

110

2

3

)22

5()

2

3()2

2

5()

2

3(2

222

2222

cab

ca

a

　

　 又　　

所以所求椭圆的标准方程为 .1610

22

xy

)0(12

2

2

2

bab

x

a

y

x

y

F1

F2

P

已知方程 表示焦点在 x轴

上的椭圆，则 m 的取值范围是 .

2 2x y+ =1

4 m

(0,4)

变式：已知方程

表示焦点在 y轴上的椭圆，则 m 的取值范

围是 .

2 2x y+ =1

m- 1 3- m

(1,2)

练习 :

练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(2) 焦点为 F1(0, － 3),F2(0,3), 且 a=5.

2 2

(2) 125 1

6

y x

22(1) 1

6 x

y答案：

(1)a= ,b=1, 焦点在 x轴上 ;6

(3) 两个焦点分别是 F1( － 2,0) 、 F2(2,0), 且过 P(2,3) 点； (4) 经过点 P( － 2,0) 和 Q(0, － 3).

2 2

(3) 116

12

x y

2 2

(4) x y+ =14 9

小结：求椭圆标准方程的步骤：①定位：确定焦点所在的坐标轴；②定量：求 a, b 的值 .

解：

例 3 ：将圆 = 4 上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程，并说明它是什么曲线？ y

xo

22 yx

设所的曲线上任一点的坐标为（ x ，y ） , 圆 ＝４上的对应点的坐标为（ x’ ， y’ ），由题意可得：

22 yx

yy

xx

2/

/

22 yx 因为　　　　　　＝４

所以 44 22 yx

即 14

22

yx

1 ）将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆。2 ）利用中间变量求点的轨迹方程的方法是解析几何中常用的方法；

练习

1 椭圆　　　　　上一点 P到一个焦点的距离为 5 ，

则 P到另一个焦点的距离为（ ）A.5 B.6 C.4 D.10

1925

22

yx

2. 椭圆　　　　　的焦点坐标是（ ）A.(±5 ， 0) 　　　　　 B.(0 ， ±5) C.(0 ， ±12) 　　　 　 D.(±12 ， 0)

116925

22

yx

C

A

3. 已知椭圆的方程为 ，焦点在 X 轴上，则其焦距为（ ）A 2 B 2

C 2 D 2

18 2

22

m

yx

28 m m22

82 m 222 m

A

4. , 焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程

是 __________.

1,6 ca2 2

136 35

y x

练习： P26 1 、 2 、 3

例 4 已知圆 A ： (x ＋ 3) ＋ y ＝ 100 ，圆 A 内一定点 B(3 ， 0) ，圆 P 过 B 点且与圆 A 内切，求圆心P 的轨迹方程．

2

解：设｜ PB ｜＝ r ．∵ 圆 P 与圆 A 内切，圆 A 的半径为 10 ．∴ 两圆的圆心距｜ PA ｜＝ 10 － r ，即｜ PA ｜＋｜ PB ｜＝ 10( 大于｜ AB ｜ ) ．∴ 点 P 的轨迹是以 A 、 B 两点为焦点的椭圆．∴2a ＝ 10 ，2c ＝｜ AB ｜＝ 6 ，∴a ＝ 5 ， c ＝ 3 ．∴b2 ＝ a2 － c2 ＝ 25 － 9 ＝ 16 ．

即点 P 的轨迹方程为 ＝ 1 ．2 2

25 16

x y