ТемаТема::

МОУ «СОШ № 40»

Учитель математики

Никитюк О.С.

Содержание:

Предисловие; Этапы решения; Виды задач на движение; Нестандартные способы решения з

адач; Заключение.

ВЫХОД

ПредислоПредисловиевие При обучении различным предметам используются задачи, которые принято

называть учебными: с их помощью формируются предметные знания, умения, навыки. Развивается логическое мышления, сообразительность и наблюдательность, умения самостоятельно осуществлять небольшие исследования. Особенно широко учебные задачи применяются в математике, физике, химии, географии. В этих задачах, как правило, используются математические способы решения. Поэтому, большое значение при обучении математике имеет формирование общего приёма решения задач. Но анализ практики показывает, что основное внимание уделяется ознакомлению со специальными способами решения отдельных типов задач. Это приводит к тому, что учащиеся не приобретают умения самостоятельно анализировать и решать различные типы задач. Необходимо помочь им разобраться в типах и методах решения таких задач. Рассмотрим на задачах «на движение». Следует также заметить, что к задачам «на движение» относятся также и задачи, в которых кто-либо выполняет какую-нибудь работу, или задачи, связанные с наполнением резервуаров. В задачах такого типа вся работа или полный объём резервуара играют роль расстояния, а производительности объёмов, совершающих работу, аналогичны скоростям движения. Задачи такого типа будут рассмотрены в следующих работах.)

Допущения в условиях задач «на движение» движение на отдельных участках считается равномерным; при этом

пройденный путь определяется по формуле S=V t повороты движущихся тел принимаются мгновенными, т. е. происходит без

затрат времени; скорость при этом также меняется мгновенно;

если тело движется по течению реки, то его скорость(V) слагается из скорости в стоячей воде(Vc ) плюс скорость течения реки (Vт):V= V c+ V т ,а если против течения реки, то его скорость равна V= V c -V т . Если в условии задачи речь идёт о движении плотов, то этим хотят сказать, что тело движется со скоростью течения реки.

Общий приём решения задач включает: знание этапов решения(процесса), методов (способов) решения, типов задач, обоснование выбора способа решения на основании анализа текста задачи, а также владение предметными знаниями: понятиями, определениями терминов, правилами, формулами, логическими приёмами и операциями.

В задачах, связанных с движением, полезно составить иллюстративный чертёж. Этот чертёж нужно сделать таким, чтобы на нём была видна динамика движения, со всеми встречами, остановками и поворотами. Хорошо составленный чертёж позволяет понять содержание задачи, не заглядывая в её текст.

Этапы решения Этапы решения задач:задач:

Осуществление плана решения;

Составление плана решения задачи;

Установление отношений между данными и вопросом;

Перевод текста на язык математики;

Анализ текста задачи;

Проверка и оценка решения задачи.

Анализ текста задачиРабота над текстом задачи включает:

Логический анализ,

Семантический анализ,

Математический анализ.

Семантический анализ направлен на обеспечение понимания содержания текста и предполагает:

Выделение и осмысление: -отдельных слов, терминов, -грамматических конструкций(« если…,то», «после того, как…» и т.д.)- -количественных характеристик объекта, задаваемых словами

«каждого», «какого-нибудь», «любое», «всего», «все», «почти все», «одинаковые», «разные», «столько же», «поровну», «большинство»и т.д.;

Выделение только существенной для решения задачи информации;

Выделение обобщенного смысла задачи указание на объект и величину, которая должна быть

найдена(стоимость, объём, количество и т.д.).

Логический анализ предполагает:

Умение заменить термины их определениями;

Выводить следствия из имеющихся в условии задачи данных( понятия, процессы, явления).

Математический анализ включает анализ условия и требования задачи. При этом анализ условия происходит исходя из требований задачи.

Анализ условия направлен на выделение:

а)объектов( предметов, процессов):

-рассмотрение объектов с точки зрения целого и частей,

-рассмотрение количества объектов и их частей;

б)величин, характеризующих каждый объект;

в)характеристик величин:

-однородные, разнородные,

-числовые значения(данные),

-известные и неизвестные данные,

-изменения данных: изменяются(указание логического порядка всех изменений), не изменяются,

-отношения между известными данными величин.

Анализ требования:-выделение неизвестных количественных характеристик величин объекта(ов).

Перевод текста на язык математики с помощью

вербальных и невербальных средств;Чтобы можно было работать только с существенными смысловыми единицами, текст задачи записывается кратко с использованием условной символики.

чертёж

схема

формула

график

Таблица символических рисунков

уравнение

Виды графических моделей:

Установление отношений между данными и вопросом;Предусматривает установление отношений между:

-данными условиями,

-данными требования( вопроса),

-данными условиями и требованиями задачи.

На основе анализа условия и вопроса

определяется способ решения (вычислить, построить, доказать),

выстраивается последовательность конкретных действий.

При этом устанавливается достаточность, недостаточность или избыточность данных.

Типы отношений между объектами и их величинами:

равенство Часть/целое разность кратность

Разности

(на…меньше)(на…больше)

БОЛЬШЕ

a – b = cна

a + b = c

БОЛЬШЕ

на

на

a + b = cБОЛЬШЕ

больше на

a – b = c

меньше

a – b = cна

a - b = c

меньше

на

меньше

a – b = cна

меньше

a – b = cна

Кратности(в…больше) ( в…меньше)

а : в = сбольше в

больше

в

а : в = с

а : в = с

большев

в

а : в = с

больше

а : в = с

меньше

в

а : в = с

меньше

в

а в = с

меньше

в

а в = сменьше

в

Целого и частей(… и … всего )

( вместе)

Часть + часть +

+…= целое

Часть от всей величины

составляет

% от величины

Целое – часть –

-… = часть

Вся величина

по величине части

Вся величина

по величине %

b = m/n c

составляет от

с = b : m/nсоставляет

от

b =[m/n100%]с

составляет от

с = в:[m/n100%]

составляет

от

Равенства

(поровну, равны,

столько же…)

а=а

а=в,в=с а=с

а+в=в+а

(а+в)+с = а+(в+с)

а=в в=а

План решения:План решения:

—анализ условий;

—решение задачи выполнение действий;

—запись решения задачи;

—выделение способов решения.

Запись решения задачи может осуществляться в виде записи

последовательных определенных действий (с пояснением и без) и в

виде выражения (развернутого или сокращенного).

Особое значение имеет составление плана решения для сложных, составных задач.

Осуществление плана решения включает:

Последовательность действий на основании выявленных отношений между величинами объектов.

Проверка и оценка решения задачи

с точки зрения адекватности плана решения,

способа решения, ведущего к результату,

рациональности способа, нет ли более простого.

Задачи на движениеЗадачи на движение

Задачи на встречное движение

Задачи на движение в противоположных

направлениях

Задачи на движение с отставанием

Задачи на движение вдогонку

Задачи на встречное Задачи на встречное движениедвижениеЗадачи на встречное движение решаются путем нахождения скорости сближения

(эта скорость показывает, на какое расстояние объекты приблизятся друг к другу за одну единицу времени).Пример: Пример: Из двух городов, расстояние между которыми 1200 км, выехали одновременно навстречу друг другу два мотоциклиста; скорость одного из них была на 10 км/ч больше скорости другого. Через 6 часов расстояние между ними было на 360 км больше пройденного. Найдите скорость каждого мотоциклиста.

Анализ текста:1. Объекты: 2 мотоциклиста

2.Понятия: одновременно, навстречу

3. Установление отношений разности: на…больше4. Условия:S=1200км, t=6ч.

5.План решения:1.Какую величину удобно обозначить, например, буквой X?(Анализируется,удобно ли за Х взять величину, о которой спрашивается в задаче, или лучше какую-либо другую.

(для составления уравнения)

1). Пусть скорость одного мотоциклиста x км/ч

2.Остальные неизвестные величины выражаются через Х.

2) Тогда (x+10) км/ч - скорость второго

3.Зная скорость каждого из них найдём скорость сближения, чтобы найти пройденное расстояние за 6 часов.

3) (2x+10) км/ч – скорость сближения.

Расстояние, пройденное мотоциклистами равно 6(2x+10) км.

4. По условию задачи сравниваются пройденное и оставшееся расстояния. Можно ли найти оставшееся?

4) (1200 – 6(2x+10) ) км – оставшееся расстояние

5. Установлено ли отношение между этими величинами?

5) Оставшееся на 360 км больше пройденного

6. Используя отношение можно ли составить уравнение?

6) Получим уравнение: 1200 – 6(2x+10) = 6(2x+10) +360

7.Легко ли решить полученное уравнение? Отвечая на этот вопрос, ученик должен подумать, не следует ли для составления уравнения использовать другую связь между величинами.

7) Решить уравнение

(Задачи на встречное движение)(Задачи на встречное движение)

Пример: Пример: Из двух городов, расстояние между которыми 1200 км, выехали одновременно навстречу друг другу два мотоциклиста; скорость одного из них была на 10 км/ч больше скорости другого. Через 6 часов расстояние между ними было на 360 км больше пройденного. Найдите скорость каждого мотоциклиста.

Решение: Решение:

1). Пусть скорость одного мотоциклиста x км/ч, тогда (x+10) км/ч - скорость второго; а (2x+10) км/ч – скорость сближения.

2). Расстояние, пройденное мотоциклистами равно 6(2x+10) км.

3). Тогда (1200 – 6(2x+10) ) км – оставшееся расстояние, известно, что оно на 360 км больше пройденного. Получим уравнение: 1200 – 6(2x+10) = 6(2x+10) +3604). Решим уравнение: 1200 – 6(2x+10) = 6(2x+10) +360

Х=30

Ответ: Ответ: скорость одного мотоциклиста 30 км/ч, а другого – 40 км/ч.

Скорость одного мотоциклиста – 30 км/ч.

30+10=40(км/ч)

5). Найдём скорость второго.

Задачи на движение в Задачи на движение в противоположных направленияхпротивоположных направленияхПример: Пример: Из одной деревни в противоположных направлениях вышли одновременно два пешехода. Через 8 часов расстояние между ними стало равным 96 км. Расстояние, которое прошел первый пешеход на 16 км больше расстояния, которое прошел второй пешеход. Найдите скорость каждого пешехода.

Анализ текста:1. Объекты: два пешехода2.Понятия:одновременно, в противоположных направлениях

3. Установление отношений разности: на…больше4. Условия:S=96км, t=8ч.

5.План решения:(по действиям)

Мы можем найти скорость удаления пешеходов друг от друга, разделив расстояние 96 км на 8 ч. Эта скорость показывает, на какое расстояние пешеходы удалятся друг от друга за 1 ч. За 8 ч после начала движения первый пешеход прошёл на 16 км больше второго, следовательно, мы можем узнать, на сколько первый пешеход проходил за 1 ч больше, чем второй. Для этого разделим 16 км на 8 ч. Если из найденной скорости удаления отнять разность скоростей обоих пешеходов, то мы найдём удвоенную скорость второго пешехода. Для того чтобы найти скорость первого пешехода, прибавим разность скоростей к только что найденной скорости второго пешехода.

((Задачи на движение в противоположных Задачи на движение в противоположных направлениях)направлениях)

Пример: Пример: Из одной деревни в противоположных направлениях вышли одновременно два пешехода. Через 8 часов расстояние между ними стало равным 96 км. Расстояние, которое прошел первый пешеход на 16 км больше расстояния, которое прошел второй пешеход. Найдите скорость каждого пешехода.

Решение:Решение:

1). 96:8 = 12 (км/ч) – скорость удаления пешеходов друг от друга.

2). 16:8 = 2 (км/ч) – разность скоростей обоих пешеходов.

3). 12 – 2 = 10 (км/ч) – удвоенная скорость второго пешехода.

4). 10:2 = 5 (км/ч) – скорость второго пешехода.

5). 5 + 2 = 7(км/ч) – скорость первого пешехода.

Ответ:Ответ: 7 км/ч – скорость первого, 5км/ч – скорость второго.

Задачи на движение с Задачи на движение с отставаниемотставанием Пример: Пример: От пристани в одном направлении отплыли одновременно два От пристани в одном направлении отплыли одновременно два

корабля. Скорость первого корабля-25км/ч. Через 5ч расстояние, которое корабля. Скорость первого корабля-25км/ч. Через 5ч расстояние, которое прошёл второй корабль, составило 4/5 расстояния, который прошёл первый прошёл второй корабль, составило 4/5 расстояния, который прошёл первый корабль. Найдите скорость второго кораблякорабль. Найдите скорость второго корабля..

4.Условия: (запишем таблицей)

Анализ текста:1.Объекты:два корабля

2. Понятия: одновременно,

3.Установление отношений: целого и частей (4/5 от…)

Величины

корабли

1 2

t (ч) 5 5

V (км/ч) 25 ?

S (км) 255 ?4/5 от

5. План решения:

1. Чтобы найти скорость второго корабля нужно знать расстояние и время затраченное на это расстояние. Время известно, а расстояние нет.

2. Чтобы найти пройденное расстояние нам известно отношение(4/5) между расстояниями первого и второго. Для этого нужно знать как находится часть от числа.

3. Нам не известно расстояние первого корабля, но мы знаем время и скорость первого поэтому сможем вычислить..

6.запись решения:

Решение Решение (выражением)

)/(205:5

4525 чкм

Ответ: Ответ: 20км/ч-скорость второго корабля.

Задачи на движение Задачи на движение вдогонкувдогонку

Задачи на движение вдогонку решаются путем нахождения скорости приближения (эта скорость показывает, на какое расстояние объекты приближаются друг к другу за одну единицу времени).

Пример: Пример: От двух лодочных станций, расстояния между которыми составляет 54 км отправились одновременно лодка и катер. Скорость катера – 25 км/ч, скорость лодки – 7 км/ч. Через некоторое время катер догнал лодку. Найдите расстояние, пройденное катером.

Анализ текста:1.Объекты:катер, лодка

2. Понятия :одновременно, некоторое время, догнал.

3.Условия:расстояние между станциями S=54км, скорости ,/25 чкмVk ,/7 чкмVл

4.План решения:

S=54

t

S

kV

kV

Vл

cV

cV:

.

(Задачи на движение вдогонку)(Задачи на движение вдогонку)

5.запись решения:

Пример: Пример: От двух лодочных станций, расстояния между которыми составляет 54 км отправились одновременно лодка и катер. Скорость катера – 25 км/ч, скорость лодки – 7 км/ч. Через некоторое время катер догнал лодку. Найдите расстояние, пройденное катером.

Решение:Решение:

1). 25 – 7 =18 (км/ч) – скорость приближения катера к лодке.

2). 54:18 = 3 (ч) – время, затраченное катером на то, чтобы догнать лодку

3). 253 = 75(км) – расстояние, пройденное катером до момента встречи с лодкой.

Ответ: Ответ: 75 км.

Нестандартные способы решения задачРешение задач методом подобия

Решение задачи графическим способом

Решение задач методом «лишних неизвестных»

Решение задач в общем виде

Помогает избежать громоздких рассуждений и составления

сложного уравнения (или нескольких уравнений).

Ход решения:

1). Построить схематически графики движений;

2). Доказать подобие треугольников и составить пропорцию.

Решение задач методом Решение задач методом подобияподобия

Пример:Пример: Две старушки вышли одновременно навстречу друг другу

из своих городов. Они встретились в полдень и достигли чужого

города: первая в 4ч пополудни, а вторая в 9ч. Узнайте когда они

вышли из своих городов.

РешениеРешение:: Пусть старушки встретились через х ч после выхода из своих городов.

1). 1). Построим схематически графики движений первой и второй старушек: РР1 и VV1

соответственно.

V

V1

M

P1

P

N

K

S

t

4

9

x

x

2). 2). Моменту их встречи соответствует точка М графиков.

3). 3). Из условия задачи следует, что NP1=4, KV1=9. Требуется найти РК=х.

5).5).Уравнение имеет единственный положительный корень 6, поэтому старушки

были в пути 6ч и вышли из своих городов в 6ч утра.

4). 4). Из подобия двух пар треугольников VMN и V1MK, MPK и MP1N получим

пропорции: , , откуда . MK

MNх

9 xMK

MN 4

x

x 4

9

Условие:Условие: Две старушки вышли одновременно навстречу друг другу из своих городов. Они встретились в полдень и достигли чужого города: первая в 4ч пополудни, а вторая в 9ч. Узнайте когда они вышли из своих городов.

Пример:Пример: От пристани А вниз по течению одновременно

отправляются два плота - один по течению реки, а другой

буксируется катером, собственная скорость которого 20 км/ч. В

какой-то момент катер отцепил плот, развернулся и отбуксировал

его к пристани В.Интересно, что при этом плоты прибыли к

пристани В одновременно. Определите время движения плотов от

А до В, если известно, что расстояние АВ равно 32 км, скорость

течения реки 4 км/ч, а собственная скорость катера была

постоянной при движении в том и в другом направлении.

Решение задачи графическим Решение задачи графическим способомспособом

Построить схематически графики движений объектов

Решение: 1).Решение: 1). Построим графики движения плотов и катера.(AED - график движения первого плота, ACD-график движения второго плота, ACED- график движения катера).

С

s

t

x x x

В

2).2).Так как время удаления катера от первого плота равно времени сближения с ним, время удаления катера от второго плота равно времени сближения с ним, то промежутки времени, соответствующие участкам графика AC,CE,ED равны - обозначим их х ч.

3).3). Со скоростью 24 км/ч катер прошел 24х+24х=28х(км), а со скоростью 16 км/ч катер прошёл 16х км в обратном направлении, поэтому расстояние АВ через х можно выразить так: 48х -16х=32х, что по условию задачи равно 32км, откуда х=1, а время движения плотов равно 3ч.

D

Е

А

Условие:Условие: От пристани А вниз по течению

одновременно отправляются два плота- один по

течению реки, а другой буксируется катером,

собственная скорость которого 20 км/ч. В какой-

то момент катер отцепил плот, развернулся и

отбуксировал его к пристани В.Интересно, что

при этом плоты прибыли к пристани В

одновременно. Определите время движения плотов

от А до В, если известно, что расстояние АВ

равно 32 км, скорость течения реки 4 км/ч, а

собственная скорость катера была постоянной

при движении в том и в другом направлении.

Задача может быть решена без уравнения - вычислением отношения

с сокращением «лишнего» неизвестного, составлением уравнения

или системы уравнений, в которых число неизвестных превышает

число уравнений.

Решение задач методом Решение задач методом «лишних неизвестных»«лишних неизвестных»

Пример:Пример: Велосипедист ехал из А в В со скоростью 15км/ч,

а возвращался назад со скоростью 10км/ч. Какова средняя

скорость велосипедиста на всём участке?

Решение:Решение: х км -расстояние от А до В, тогда затрачено на

путь туда и обратно. Вычислим среднюю скорость, поделив пройденный путь

на время движения:

чххх

61015

)./(1262

6:2 чкм

х

ххх

Ответ:Ответ: 12км/ч – средняя скорость велосипедиста на всем участке

Решение задач в общем виде, возникает в двух случаях: значения некоторых величин, от которых зависит ответ задачи, заменены буквами, или требуется решать несколько однотипных задач, отличающихся только значениями величин.

Решение задач в общем видеРешение задач в общем виде

Пример: Пример: Теплоход длины L м движется в неподвижной воде. Катер, имеющий скорость v м/с, проходит расстояние от кормы движущегося теплохода до его носа за t c.Найдите скорость теплохода.

Решение:Решение: х м/с- скорость теплохода.

Тогда на путь в оба конца катер тратит с, что по условию задачи равно

t с. Составим уравнение .

Перепишем это уравнение в виде . Это уравнение имеет

единственный положительный корень , следовательно, скорость

теплохода равна м/с.

xv

L

xv

L

txv

L

xv

L

0222

22

xv

vLtxtv

t

vLtv 22

t

vLtv 22

t

vLtv 22 Ответ:Ответ: м/с – скорость теплохода.

Заключение:

Говоря с учащимися о выборе подходящего способа решения, не следует формировать у них представление о некоем абсолютном преимуществе одного способа от другого. Скорее, следует говорить о том, что каждый способ хорош в подходящей ситуации.

Необходимо дать право выбора учащимся, не забывая при этом показывать рациональные способы решения данной задачи.

(Следует также заметить, что к задачам «на движение» относятся также и задачи, в которых кто-либо выполняет какую-нибудь работу, или задачи, связанные с наполнением резервуаров. В задачах такого типа вся работа или полный объём резервуара играют роль расстояния, а производительности объёмов, совершающих работу, аналогичны скоростям движения. Задачи такого типа будут рассмотрены в следующих работах.)