新课程理念下中考“压轴题”的风韵

一、函数、几何综合型压轴题风光依然 二、几何操作型压轴题备受青睐 三、图表信息型压轴题占一席之地 四、方案设计型压轴题初露锋芒 五、阅读探究型压轴题崭露头角 六、立体图形压轴题初露端倪

新课程理念下中考“压轴题”的风韵

一、函数、几何综合型压轴题风光依然

例 1. （ 2003 年杨州市中考题）已知点 P 是抛物线

的任意一点，记点 P 到 X 轴的距离为 d1

点 P 与点 F （ 0 ， 2 ）的距离为 d 2 （图 1 ）

（ 1 ）猜想 d1 、 d 2 的大小关系，并证明；

（ 2 ）若直线 PF 交此抛物线于另一点 Q （异于 P点）。

① 试判断以 PQ 为直径的圆与 x 轴的位置关系，并。

211

4y x

理由。 ② 以 PQ 为直径的圆与 y 轴的交点为 A 、 B ， OA·OB=1 ，求直线 PQ 对应的函数解析式。

P'Q'

ͼ2

x

y

AC

B

MF

O

Q

P

ͼ1

x

y

F

OQ

P

二、几何操作型压轴题备受青睐

例 2 （ 2003 年绍兴市中考题）已知∠ ABC=90°.OM 是

∠ABC 的平分线，按以下要求解答问题：

（ 1 ）将三角板的直角顶点 P 在射线 OM 上移动，两直角边分别与 OA 、 OB 交于点 C 、 D 。

① 在图 3 （ 1 ）中，证明 PC = PD;

② 在图 3 （ 2 ）中，点 G 是 CD 与 OP 的交点，且

求△ POD 与△ PDG 的面积比。

（ 2 ）将三角板的直角顶点 P 放在射线 OM 上移动，一直角边与边 OB 交于点 D ， OD = 1 ，另一直角边与直线 OA 、直线 OB 分别交于点 C 、 E ，使以 P 、 D 、 E 为顶点的三

形与△ OCD 相似，在图 3 （ 3 ）中作出图形，试求 OP的长。

£¨1£©

M

P

DO

C

A

£¨2£©

M

P

DO

C

A

G

£¨3£©

M

BO

A

ͼ4DE

M

P

O

C

B

A

ͼ5

M

O

PH

G

F

E D

C

B

A图 3

例 3 (04 年江西省中考压轴题 ) 如图 6, 在矩形 ABCD 中，AB=3 ， AD=2 ，点 E 、 F 分别在 AB 、 CD 上， AE=DF=2. 现把一块直径为 2 的量角器（圆心为 O ）放置在图形上，使其0° 线 MN 与 EF 重合；若将量角器0° 线上的端点 N 固定在点 F 上 , 在把量角器绕点 F 顺时针方向旋转∠α(0°<α<90° ） , 此时量角器的半圆弧与 EF 相交于点 P , 设点 P处量角器的读数为 n° (1) 用含 n° 的代数式表示∠ α的大小 (2) 当 n° 等于多少时 , 线段 PC与 MˊF 平行？ （ 3 ）在量角器的旋转过程中，过点 Mˊ 作 GH⊥MˊF ，交AE 于点 G, 交 AD 于点 H 。设 GE =

a

150

12090 60

30

P

O¡¯

H

G

O F

C

D

E

A

B

M

图 6

X,ΔAGH 的面积为 S, 求出 S 关于 x 的函数关系式 ,并写出自变量 x 的取值范围。

例 4(04 年大连市中考压轴题）如图 7 ，⊙ O1 和⊙ O2 内切于点 P ， C 是⊙ O1 上任一点（与点 P不重合）。实验操作：将直角三角形的直角顶点放在点 C 上，一条直角边经过点 O1 ，另一条直角边所在直线交⊙ O2 于点 A 、 B ，直线 PA ， PB 分别交⊙O1 于点 E 、 F ，连结 CE （图 15 是实验操作备用图）。

O2

O1

P

O2

O1

P

O2O1P

图 7 图 8

探究：（ 1 ）你发现 有什么关系？用

你学过的数学知识证明你的发现 ;

（ 2 ）你发现线段 CE 、 PE 、 BF 有怎样的比例关系？证明你的发现。

附加题：如图 8 ，若将上述问题的⊙ O1 和⊙ O2 由内切变为处切，其它条件不变，请你探究线段 CE 、 PE 、 BF 有怎样的比例关系？并证明。

CE 、CF

三、图表信息型压轴题占一席之地 例 5 （ 04 年吉林省中考压轴题）如图 9 （ 1 ）所示 , 在矩形 ABCD 中， AB=10cm,BC=8cm. 点 P 从 A 出发 , 沿 A→B→C →D 路线运动 D 停止 . 点 Q 从 D 出发 , 沿 D→C→B→A 路线运动 , 到 A 停止 . 若点 P 、点 Q同时出发 ,P 的速度为每秒 1cm, 点 Q 的速度每秒 2cm,a秒时 , 点 P 、点 Q同时改变速度 ,点 P 的速度变为每秒 bcm, 点 Q 的速度变为每秒 dcm. 图 6(2)是点 P 出发 x(S)后△ APD 的面积 S1(cm2) 与 x(s) 的函数关系

CD

A BP

Q

x

y

0

40

24

a 8 c x

y

0

40

22图 9(1)图 9(2) 图 9(3)

图象 ; 图 9(3) 是点 Q 出发 x(s)后△ AQD 的面积 S2(cm2) 与 x(s)

的函数图象 . (1)参照 9 （ 2 ） , 求 a 、 b及图 9 （ 2 ）中 C 的值 ;

(2) 求 d 的值；

(3) 设点Ｐ离开点Ａ的路程为 y1(cm), 点Ｑ到点Ａ还走的路程为 y2(cm), 请分别写出动点Ｐ、Ｑ改变速度后y1 、 y2 与出发后的运动时间 x(s) 的函数关系式，并求出Ｐ、Ｑ相遇是 x 的值。

(4)当点Ｑ出发＿＿＿＿＿秒时，点Ｐ、点Ｑ在运动路线上相距的路程为 25cm.

例 6 （ 04 年吉林省中考压轴题）如图 10 ，正方形ABCD 的边长为 12 ，划分成 12×12个小正方形格，将边长 n （ n 为整数，且 2≤n≤11 ）的黑白两色正方形纸片按图中的方式 黑白相间地摆放，第一张 n×n 的纸片正好盖住正方形 ABCD左上角的 n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为（ n－ 1 ） ×（ n－ 1 ）的正方形。如此摆放下去，最后直到纸片盖住正方形 ABCD 的右下角为止。

请你认真观察思考后回答下列问题：

（ 1 ）由于正方形纸片边长 n 的取值不同，完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表： 纸片的边长纸片的边长 n n 22 33 44 5 5 66使用的纸片张数 使用的纸片张数

（ 2 ）设正方形

ABCD被纸片盖

住的面积（重合

部分只计一次）

为 S1 ，未被盖住

的面积为 S2 。C

DA

B

四 . 方案设计型压轴题初露锋芒 例 7 （ 2004 年陕西省中考压轴题）李大爷有一个边长为 a 的正方形鱼塘（图 11 ） ,鱼塘四个角的顶点 A ， B ， C ，D 上各有一棵大树 , 现在李大爷想把原来的鱼塘扩建成一个圆形或正方形鱼塘（原鱼塘周围的面积足够大） ,又不想把挖掉（四棵大树要在新建鱼塘的边沿上）。 （ 1 ）图若按圆形设计 ,利用图 4画出你所设计的图形，并求出圆形鱼塘的面积；

ͼ5ͼ4

A

CB C

B

D

AE

H

D

G

F

（ 2 ）若按正方形设计，利用图 5画出你所设计的正方形鱼塘示意图；

（ 3 ）你在（ 2 ）中所设计的正方形鱼塘，有无最大面积？为什么？

（ 4 ）李大爷想使新建的鱼塘面积最大，你认为新建鱼塘的最大面积是多少？

例 8(2003 年大连中考压轴题） 问题：要将一块直径 2cm 的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底和一个圆锥的底面。 操作： 方案一：在图 7 中，设计一个使圆锥底面最大，半圆铁皮得以最充分利用的方案（要求：画示意图）； 方案二：在图 8 中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画示意图）；

ͼ8ͼ7

OOA B BA

探究：

（ 1 ）求方案一中圆锥底面的半径；

（ 2 ）求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径；

（ 3 ）设方案二中半圆圆心为 O ，圆柱两个底面的圆心为 O1 、 O2 ，圆锥底面的圆心为 O3 ，试判断以 O1 、 O2 、 O3 、 O 为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明。

A O BO2O1

O3

D

CA O B

O3

O2O1

五、阅读探究型压轴题崭露头角 例 9(2004 年吉林省中考压轴题 ) 已知抛物线 l ： y=ax2 + bx + c （其中 a , b , c都不等于 0 ） , 它的顶点 P 的坐标

是（ ） , 与 y 轴的交点是 M （ 0 ， c ） .我们

称 M 为顶点，对称轴是 y 轴且过点 P 的抛物线为抛物线L 的伴随抛物线，直线 PM 为 l 的伴随直线。 （ 1 ）请直接写出抛物线 y=2x2－ 4x + 1 的伴随抛物线和伴随直线的解析式。伴随抛物线的解析式是 ；伴随直线的解析式是 。 （ 2 ）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是Y =－ x2－ 3 和 y =－ x－ 3 ，则这条抛物线的解析式是 。 （ 3 ）求抛物线 l ： y=ax2 + bx + c （其中 a , b , c都不等于 0 ）的伴随抛物线和伴随直线的解析式。

24,

2 4

b ac b

a a

（ 4 ）若抛物线 l 与 x 轴交于点 A （ x1 ， 0 ）， B（ x2 ， 0 ）两点， x1＞ x2＞ 0, 它的伴随抛物线与 x 轴交于 C ， D 两点，且 AB=CD ，请求出 a 、 b 、 c 应满足的条件。

例 10 （ 2003 年安徽省中考压轴题） 如图，这些等腰三角形与正三角形的形状有些差异，我们把它与正三角形的接近程度称为“正度”。在研究“正度” 时，应保证相 似三角形的“正度”相等。 设等腰三角形的底和腰分别为 a 、 b ，底角和顶角分别为 α﹑β ，要求“正度”的值是非负数 . 同学甲认为：可用式 |a-b|来表示“正度”， |a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近三角形． 同学乙认为：可用式 |α-β|来表示“正度”， |α-β|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；

探究：

（１）他们的方案哪个较为合理，为什么？

（２）对你认为不够合理的方案，请加以改正（给出式子即可）；

（３）请再给出一种衡量“正度”的表达式。

六、立体图形压轴题初露端倪 例 11 （ 2004 年淮安市中考压轴题）如图 13, 一个无盖的正方体盒子的棱长为 10厘米，顶点 C1 处有一只昆虫甲 , 在盒子的内部顶点 A 处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽计）。 （ 1 ）假设昆虫甲在顶点 C1 处静止不动，如图 6, 在盒子内部我们先取棱 BB1 的中点 E ，再连结 AE ， EC1 。昆虫如果沿路径 A—E—C1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。仔细体会其中的道理，并在图 7 中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点 A 沿这条路径爬行 ,同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。（请简要说明画法）

C

C1D1

D

B1A1

EC

C1D1

D

B1A1

A B BA图 13

（ 2 ）如图 14 ，假设昆虫甲从顶点 C1 ， 以 1厘米 /秒的速度在盒子的内部沿棱 C1C 向下爬行 , 同时昆虫乙从顶点 A 以2 厘米 /秒的速度在盒壁上爬行 , 那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到 1秒）

E4E2

E3

E1

EC

C1D1

D

B1A1

BA

2X 2XX X

E3E F

D

D1A1

F

B

B1A1

B1A A C

C1 C1

图 14

y2y

y

2y

D1

E2 C

C1

D

E4

B

CD

A B1

A

C1F

B

F

例 12 （ 2003 年山东省中考压轴题）图 15, 是由五个边长都是 1 的正方形纸片拼接而成的，过点 A1 的直线分别 BC1 、 BE 交于点 M 、 N ，且图 15被直线 MN分成面积相等的上、下两部分。

（ 1 ）求 的值 ;

（ 2 ）求 MB 、 NB 的长；

（ 3 ）将图 15 沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图 16)后，求点 M 、 N间的距离。

ͼ8-22

D

D1 C1

C

A1B1

N

D1 C1

B1A1D2C2F

C ADEB

BA

M M

1 1

MB NB

图 15

图 16

新课程理念下中考“压轴题”的风韵

综览 2003 年中考压轴题，不难发现命题者在依据《义教大纲》及认真贯彻教育部关于中考命题指导意见的同时，努力渗透新课程的理念。一批批时代气息浓厚，背景鲜活，贴近生活，关注社会热点问题的中考压轴题，象一道亮丽的风景线映入人眼帘，丰富的题型，生机盎然的呈现形式，令人赏心悦目，展示了中考压轴题多姿多彩的新风貌。

一、函数、几何综合型压轴题风光依然 通过对手中拥有的近几年的大量中考试题的研究，发现蕴涵多种思想方法的函数、几何结合型的综合题仍是中考压轴题的主流。如 03 年扬州市中考压轴题。

例 1. 已知点 P 是抛物线 的任意一点，记点 P 到 X 轴的距离为 d1

211

4y x

点 P 与点 F （ 0 ， 2 ）的距离为 d 2 （图1 ）

ͼ1

x

y

F

OQ

P

（ 1 ）猜想 d1 、 d 2 的大小关系，并证明； （ 2 ）若直线 PF 交此抛物线于另一点 Q （异于 P点）。 ① 试判断以 PQ 为直径的圆与 x 轴的位置关系，并说明理由； ② 以 PQ 为直径的圆与 y 轴的交点为 A 、 B ，若OA·OB = 1 ，求直线 PQ 对应的函数解析式。（ 2003 年杨州市中考题）

略解（ 1 ）猜想： d1 = d 2 .

简证：设 P （ ) 是 上的任意一点，

则 >0 ，所以 d 1 = y 0 ；由勾股定理得

，而

∴

0, 0x y 211

4y x

20 0

11

4y x

2 22 0 0 2)d PF x y 2

04 4,ox y 2

2 14 4 4 4o o o od y y y y d

（ 2 ） ①以 PQ 为直径的圆与 x 轴相切（图2 ）。

P'Q'

ͼ2

x

y

AC

B

MF

O

Q

P

设 PQ 的中心为 M , 分别 Q 、 M 、 P 作 x 轴的垂线，垂足分别为 Q’ 、 C 、 P’ 。 易证 MC 为梯形 P Q Q’P’ 的中位线。

∴ ' '1 1 1

2 2 2MC PP QQ PF QF PQ

∴ 以 PQ 为直径的圆与 x 轴相切。② 设直线 PQ 对应的函数解析式为 y =k x +b ，因为点F （ 0 ， 2 ）在 PQ 上，所以 b = 2 , 所以 y = k x + 2 . y =kx + 2, 联立 消去 y 得： x 2 - 4kx-4=0 ( * )

记点 P （ ）、 Q （ ），则 是方程 ( * ) 的两个实数根，∴ .

211

4y x

0, 0x y 1, 1x y 0, 1x x

0 1 4x x k

∵⊙M 切 x 轴于点 C ，与 y 轴交于点 A 、 B ，

∴OC 2 = OA ·OB =1,

∵OC > 0 ,∴OC =1 ,

∴点 C 的坐标为 C （ 1 ， 0 ）或（ -1 ， 0 ），又点 C是线段 P'Q'的中点， 故当点 C坐标为（ 1 ， 0 ）时，

X 0 - 1 =1 – X1 ,

∴ X 0 + X 1 =2 ，即 4 k =2 ,

∴k = ;

当点 C 的坐标为（ -1 ， 0 ）时， X 0 - （ - 1 ） = （ -1 ） – X 1

∴ X 0 + X 1 = - 2 ，

1

2

即 4k =-2 ,∴k = ;

∴所求直线 PQ对应的函数解析式为：

或

此类题型是以直角坐标系为载体，融函数、方程、几何为一体的探究性试题，注重在初中数学主干知识的交汇点进行命题，背景知识丰富，综合性强，解决本题，还需拥有数形结合思想、方程思想、分类思想。

二、几何操作型压轴题备受青睐

所谓几何操作题，就是指利用指定的工具和材料，动手操作，自主探究，得出猜想，而后验证猜想，最终解决问题的一种题型。

1

2

12

2y x

12

2y x

例 2 （ 2003 年绍兴市中考题）已知∠ ABC=90°.OM 是∠ ABC 的平分线，按以下要求解答问题：

（ 1 ）将三角板的直角顶点 P 在射线 OM 上移动，两直角边分别与 OA 、 OB 交于点 C 、 D 。

① 在图 3 （ 1 ）中，证明 PC = PD;

② 在图 3 （ 2 ）中，点 G 是 CD 与 OP 的交点，且

求△ POD 与△ PDG 的面积比。

3

2PG PD

£¨1£©

M

P

DO

C

A

£¨2£©

M

P

DO

C

A

G

£¨3£©

M

BO

A

（ 2 ）将三角板的直角顶点 P 放在射线 OM 上移动，一直角边与边 OB 交于点 D ， OD = 1 ，另一直角边与直线 OA 、直线 OB 分别交于点 C 、 E ，使以 P 、D 、 E 为顶点的三角形与△ OCD 相似，在图 3（ 3 ）中作出图形，试求 OP 的长。

略解（ 1 ）略。

（ 2 ）只要用三角板绕点 P （ P 在 OM 上是动点）按逆时针方向转动，并保持一条边始终与 OB 相交于 D ，则会发现另一边与 OA或 OA 的反向延长线相交，易见， OP 的长需分两种情形去求解。

当另一边与 OA 相交时，如图 4 ，

∵∠PDE > ∠CDO ,

又要使以 P 、 D 、 E 为顶点的三角形与△ OCD 相似，

ͼ4DE

M

P

O

C

B

A

ͼ5

M

O

PH

G

F

E D

C

B

A

∴∠COD = ∠ PED,

∴CE = CD

∵ CO ⊥ DE, ∴OE = OD.

∴∠EPD = 90º,

∴OP =1

12ED OD

当另一边与 OA 的反向延长线相交时，如图 5 ，

∵∠PED > ∠ CDO ,

要使以 P 、 D 、 E 为顶点的三角形与△ OCD相似，

∴∠PDE = ∠ODC,

过点 P 作 PG ⊥ OB, PH ⊥ OA,

垂足分别为 G 、 H 。

设 OP = x ，∵∠ AOB = 90°,

OM 为∠ AOB 的平分线，

∴PG = PH = OH = OG = .

此时，易证△ PCH ≌ △PDG,

2

2X

CH =DG = 1 - , PC = PD.

∵∠CPD = 90°,

∴∠PDE = ∠ODC = 22.5° ,

∴∠OCP = ∠PDE = 22.5° ,

∴∠OPC = 22.5° , ∴OC = OP = x ,

∴CH= OC + OH = X + ,

∴1 - = x + ,

∴X = - 1 , ∴OP = - 1 .

2

2X

2

2X

2

2X

2

2X

2 2

综上所述， OP = 1 ,或 - 1 .

这道 题设计新颖，构思精巧，可谓独具匠心，通过对三角板的操作，探索图形中存在的变化规律，让学生亲身经历知识的发生、发展及应用的过程，有效地考查了学生发现问题和解决问题的能力，同时，也使学生在探索和解决问题的过程中感受到数学的美妙，领略了数学的魅力。几何操作型压轴题备受青睐，如 04 年江西省及大连市中考压轴题。

（ 04 年江西省中考压轴题）如图 24 ，在矩形 ABCD 中， AB=3 ， AD=2 ，点 E 、 F 分别在 AB 、 CD 上，AE=DF=2 。现把一块直径为 2 的量角器（圆心为 O ）放置在图形上，使其 0° 线 MN 与 EF 重合；若将量角器0° 线上的端点 N 固定在点 F 上，在把量角器绕点 F 顺时针方向旋转∠ α （ 0°<α<90° ），此时量角器的半圆弧与 EF 相交于点 P ，设点 P 处量角器的读数为 n°

2

(1)用含 n° 的代数式表示∠ α 的大小(2)当 n° 等于多少时，线段 PC 与 MˊF 平行？（ 3 ）在量角器的旋转过程中，过点 Mˊ 作 GH⊥MˊF ，交 AE 于点 G ，交 AD 于点 H 。设GE =x ， ΔAGH 的面积为 S ，试求出 S 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围。

（ 04 年大连市中考压轴题）

如图，⊙ O1 和⊙ O2 内切于点

P ， C 是⊙ O1 上任一点（与点

P 不重合）。实验操作：将直

角三角形的直角顶点放在点 C上，一条直角边经过点 O1 ，

a

150

12090 60

30

P

O¡¯

H

G

O F

C

D

E

A

B

M

另一条直角边所在直线交⊙ O2 于点 A 、 B ，直线 PA ，PB 分别交⊙ O1 于点 E 、 F ，连结 CE （图 15 是实验操作备用图）。

探究：（ 1 ）你发现 有什么关系？用你学过的数学知识证明你的发现 ; （ 2 ）你发现线段 CE 、 PE 、 BF 有怎样的比例关系？证明你的发现。 附加题：如图 16 ，若将上述问题的⊙ O1 和⊙ O2 由内切变为处切，其它条件不变，请你探究线段 CE 、

O2

O1

P

O2

O1

P

O2O1P

CE 、CF

PE 、 BF 有怎样的比例关系？并证明。 三、图表信息型压轴题占一席之地 所谓图表信息题，是指题目中的信息大多以函数图像或表格形式给出的一类数学问题，其目的是考查学生将实际问题抽象成函数等数学问题的能力及获取数据的能力。这类题型充分体现了新课标的“数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值”的理念。如 2003 年吉林省中考压轴题： 例 3 如图 6 （ 1 ）所示，在矩形 ABCD 中， AB=10cm,BC=8cm. 点 P 从 A 出发 , 沿 A→B→C →D 路线运动D 停止 . 点 Q 从 D 出发 , 沿 D→C→B→A 路线运动 ,到 A 停止 . 若点 P 、点 Q同时出发 ,P 的速度为每秒 1cm, 点 Q 的速度每秒 2cm,a秒时 , 点 P 、点 Q同时改变速度 , 点 P 的速度变为每秒 bcm, 点 Q 的速度变为每秒 dcm. 图 6(2) 是点 P 出发 x(S)后

(1)求 d 的值；(2)设点Ｐ离开点Ａ的路程为 y1(cm), 点Ｑ到点Ａ还需走的路程为 y2(cm), 请分别写出动点Ｐ、Ｑ改变速度后 y1 、 y2 与出发后的运动时间 x(s) 的函数关系式，并求出Ｐ、Ｑ相遇是 x 的值。

(3)当点Ｑ出发＿＿＿＿＿秒时，点Ｐ、点Ｑ在运动线上相距的路程为 25cm.

CD

A BP

Q

x

y

0

40

24

a 8 c x

y

0

40

22

△APD 的面积 S1(cm2) 与 x(s) 的函数关系图象 ; 图 6(3)是点 Q 出发 x(s)后△ AQD 的面积 S2(cm2) 与 x(s) 的函数图象 .

（ 04 年重庆市中考压轴题）如图，正方形 ABCD 的边长为 12 ，划分成 12×12个小正方形格，将边长 n （ n为整数，且 2≤n≤11 ）的黑白两色正方形纸片按图中的方式 黑白相间地摆放，第一张 n×n 的纸片正好盖住正方形 ABCD左上角的 n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为（ n－ 1 ） × （ n－ 1 ）的正方形。如此摆放下去，最后直到纸片盖住正方形 ABCD的右下角为止。

请你认真观察思考后回答下列问题：

（ 1 ）由于正方形纸片边长 n 的取值不同，完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：（ 3分） 纸片的边长纸片的边长 n n 22 33 44 5 5 66使用的纸片张数 使用的纸片张数

（ 2 ）设正方形

ABCD被纸片盖

住的面积（重合

部分只计一次）

为 S1 ，未被盖住

的面积为 S2 。

四 . 方案设计型压轴题初露锋芒 方案设计型题，是指根据问题提供的信息需要设计出各种上天堂同的方案，然后通过分析、计算、证明等，才能确定出最佳方案的一类数学问题。

C

DA

B

新课标总目标中就要求学生“初步学会运用数学思维 方式去观察、分析现实社会、去解决日常生活中和其它学科学习中的问题，增强数学的应用意识”方案设计型试题充分体现了这一新课标理念。如 2004 年陕西省中考题。 例 4 （ 2004 年陕西省中考题）李大爷有一个边长为a 的正方形鱼塘（图 4 ），鱼塘四个角的顶点 A ， B ，C ， D 上各有一棵大树，现在李大爷想把原来的鱼塘扩建成一个圆形或正方形鱼塘（原鱼塘周围的面积足够大），又不想把挖掉（四棵大树要在新建鱼塘的边沿上）。 （ 1 ）图若按圆形设计，利用图 4画出你所设计的图形，并求出圆形鱼塘的面积； （ 2 ）若按正方形设计，利用图 5画出你所设计的正方形鱼塘示意图； （ 3 ）你在（ 2 ）中所设计的正方形鱼塘，有无最大面积？为什么？ （ 4 ）李大爷想使新建的鱼塘面积最大，你认为新建

鱼塘的最大面积是多少？ 解：（ 1 ）如图 4 所示，圆形鱼塘的面积 S= 。 （ 2 ）如图 5 所示。（ 3 ）有最大面积。 如图 5.Rt△ABE ，Rt△BFC ，Rt△CDG ，和 Rt△AHD为四个全等的三解形。因此，只要 Rt△ABE的面积最大，就有正方形 EFGH 的面积最大，而 Rt△ABE 的斜边 AB=a 定值，点 E 在以 AB 为直径的半圆上，当点 E正好落在线段 AB 的中垂线上时，面积最大，

ͼ5ͼ4

A

CB C

B

D

AE

H

D

G

F

21

2a

其最大面积为 。从而得到正方形 EFGH 的最大面

积 4× +a2=2a2

(4) 由图 4可知，所设计的圆形鱼塘面积为 ＜ 2a2 。

所以，李大爷新建鱼塘的最大面积为 2a2 。它是一个正方形鱼塘。 例 5(2003 年大连中考题） 问题：要将一块直径为2cm 的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底和一个圆锥的底面。

21

4a

21

4a

21

2a

ͼ8ͼ7

OOA B BA

操作：方案一：在图 7 中，设计一个使圆锥底面最大，半 圆铁皮得以最充分利用的方案（要求：画示意图）； 方案二：在图 8 中，设计一个使圆柱两个底面最大，

半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画示意图）； 探究：（ 1 ）求方案一中圆锥底面的半径； （ 2 ）求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径； （ 3 ）设方案二中半圆圆心为 O ，圆柱两个底面的圆心为 O1 、 O2 ，圆锥底面的圆心为 O3 ，试判断以 O1 、O2 、 O3 、 O 为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明。

A O BO2O1

O3

D

CA O B

O3

O2O1

数学来源于生活，又服务于生活，能用数学的眼光认识世界，并用数学的知识和方法处理周围的问题，是我们每一个人应具备的基本素养。

五、阅读探究型压轴题崭露头角

所谓阅读探究题，是指给出一文字或给出某个数学概念或命题或解题过程等，在阅读的基础上要求对其本质作描述性的回答或进行判断、概括或让学生在变化了的新环境中运用新知识解决新问题。

这类题型 充分体现了“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者” 这一新课程理念。通过这类题型的教学有助于培养学生阅读理解、收集信息、处理信息及自学能力。

例 6 （ 2004 吉林省）已知抛物线 l ： y=ax2 + bx + c （其中 a , b , c都不等于 0 ），它的顶点 P 的坐标是

（－ ），与 y 轴的交点是 M （ 0 ， c ） .我

们称 M 为顶点，对称轴是 y 轴且过点 P 的抛物线为抛物线L 的伴随抛物线，直线 PM 为 l 的伴随直线。 （ 1 ）请直接写出抛物线 y=2x2－ 4x + 1 的伴随抛物线和伴随直线的解析式。伴随抛物线的解析式是 ；伴随直线的解析式是 。 （ 2 ）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是Y =－ x2－ 3 和 y =－ x－ 3 ，则这条抛物线的解析式是 。

24,

2 4

b ac b

a a

（ 3 ）求抛物线 l ： y=ax2 + bx + c （其中 a , b , c都不等于 0 ）的伴随抛物线和伴随直线的解析式。（ 4 ）若抛物线 l 与 x 轴交于点 A （ x1 ， 0 ）， B （ x2 ，0 ）两点， x1＞ x2＞ 0, 它的伴随抛物线与 x 轴交于 C ，D 两点，且 AB=CD ，请求出 a 、 b 、 c 应满足的条件。 略解（ 1 ） y=－ 2x2 + 1 , y=－ 2x + 1.　 （ 2 ） y=x2－ 2x－ 3. （ 3 ）∵伴随抛物线的顶点是（ 0 ， c ），∴设它的解析式为 y=m(x－ 0)2+c(m≠0) 。∵此抛物线过 P

（－ ），解得m=－ a ∴伴随抛物线的解析式是 y=－ ax2 + c.

24,

2 4

b ac b

a a

设伴随直线的解析式是 y=kx+c(k≠0),

∵P （－ ）在此直线上，∴ k= ,

∴伴随直线的解析式是 y = x + c.

（ 4 ）∵抛物线 l 与 x 轴由两个交点，∴△ 1=b2－ 4ac＞ 0, ∴b2＞ 4ac.∵x2＞ x1＞ 0, ∴x1 + x2=－ ＞ 0, x1 x2＞ 0,ab＜ 0,ac＞ 0.

对于伴随抛物线的解析式是 y =－ ax2 + c ，有△ 1=4 ac＞ 0 。 由－ ax2 + c=0 ，解得 x=± ∴C （－ ， 0 ），

D （ ， 0 ），∴ CD=2 .

24,

2 4

b ac b

a a

2

b

2

b

2

b

c

a

c

ac

a

c

a

又 AB= x2－ x1= , 由 AB=CD ，

得 =2 ，

∴b2=8ac.∴a,b,c 应满足的条件为 b2=8ac 且 ab＜ 0或 b2=8ac 且bc＜ 0. 例 7 （ 2003 年安徽省中考压轴题） 如图，这些等腰三角形与正三角形的形状有些差异，我们把它与正三角形的接近程度称为“正度”。在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等。

2 4

| |

b ac

a

2 4

| |

b ac

a

c

a

设等腰三角形的底和腰分别为 a 、 b ，底角和顶角分别为 α﹑β ，要求“正度”的值是非负数 . 同学甲认为：可用式 |a-b|来表示“正度”， |a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近三角形． 同学乙认为：可用式 |α-β|来表示“正度”， |α-β|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形； 探究：（１）他们的方案哪个较为合理，为什么？ （２）对你认为不够合理的方案，请加以改正（给出式子即可）； （３）请再给出一种衡量“正度”的表达式。 六、立体图形压轴题初露端端俾 所谓立体图形压轴题是指对一些基本的立体几何体（如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体等）与其展开图之间数与形之间关系的探究或在日常生活中的应用的探究。

例 11 （ 2004 年淮安市）如图 6 ，一个无盖的正方体盒子的棱长为 10厘米，顶点 C1 处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点 A 处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）。 （ 1 ）假设昆虫甲在顶点 C1 处静止不动，如图 6 ，在盒子内部我们先取棱 BB1 的中点 E ，再连结 AE ， EC1 。昆虫如果沿路径 A—E—C1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。仔细体会其中的道理，并在图 7 中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点 A 沿这条路径爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。（请简要说明画法） （ 2 ）如图 8 ，假设昆虫甲从顶点 C1 ，以 1厘米 /秒的速度在盒子的内部沿棱 C1C 向下爬行，同时昆虫乙从顶点 A 以 2厘米 /秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到 1秒） 略解（ 1 ）路径为： A—E1—C1 ， A—E2—C1 ， A—E3—C1 ， A— E4—C1 中任一种。

（ 2 ）由（ 1 ）可知，当昆虫甲从顶点 C1 沿棱 C1C 向顶点 C爬行的同时，昆虫乙可以沿下列四种路径中的任意一种爬行：

可以看出，图 8—1 与图 8—2 中的图径相等，图 8—3 与图 8 —4 中的路径相等。 ① 设昆虫甲从顶点 C1 沿棱 C1C 向顶点 C爬行的同时，昆虫乙从顶点 A 按路径 A—E—F爬行捕捉到昆虫甲需 x秒钟，

C

C1D1

D

B1A1

EC

C1D1

D

B1A1

A B BA

E4E2

E3

E1

EC

C1D1

D

B1A1

BA

在 Rt△ACF 中，（ 2x ） 2=(10－ x)2+202, 解得 x=10 ② 设昆虫甲从顶点 C1 沿棱C1C 向顶点 C爬行的同时，昆虫从顶点 A 按路径 A—E2—F爬行捕捉到昆虫甲需 y秒钟，如图 8—4 在 Rt△ABF中， (2y)2=(20－ y)2+102,解得 y=8 。 所以昆虫乙从顶点 A爬行捕捉到昆虫甲至少需 8秒钟。

2X 2XX X

E3E F

D

D1A1

F

B

B1A1

B1A A C

C1 C1

y2y

y

2y

D1

E2 C

C1

D

E4

B

CD

A B1

A

C1F

B

F

例 12 （ 2003 年山东省中考题）图 8—22 是由五个边长都是 1 的正方形纸片拼接而成的，过点 A1 的直线分别与 BC1 、 BE 交于点 M 、 N ，且图 8—22被直线 MN 分成面积相等的上、下两部分。

（ 1 ）求 的值 ;（ 2 ）求 MB 、 NB 的长；（ 3 ）将图 8—22 沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图 8—23 ）后，求点 M 、 N间的距离。

1 1

MB NB

ͼ8-22

D

D1 C1

C

A1B1

N

D1 C1

B1A1D2C2F

C ADEB

BA

M M

这类试题的背景形象、生动、富有情趣、内涵丰富、立意新颖，把相似形、方程等数学知识与立体图形及其展开图、视图等有机地结合起来，体现了二维与三维的相互转换与对应，融考查数学知识、基本技能及数学思想方法、空间想象能力及应用探究能力与一体。