Διανύσματα & Γραφική
description
Transcript of Διανύσματα & Γραφική
![Page 1: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/1.jpg)
1
Διανύσματα & Γραφική
![Page 2: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Περιεχόμενο Μαθήματος
– Μαθηματική υποδομή διανυσμάτων και σύνδεσή τους με γραφικά αντικείμενα
– Συσχέτιση γεωμετρικών και αλγεβρικών παραστάσεων
– Παραμετρικά μοντέλα διανυσμάτων για γραμμές και ακτίνες
– Εσωτερικό γινόμενο και χρήσεις αυτού– Εξωτερικό γινόμενο και χρήσεις αυτού– Τριπλό αριθμητικό γινόμενο και χρήσεις αυτού
![Page 3: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Διανύσματα και Ορισμοί
Αριθμοί Σημεία (Καρτεσιανές - Πολικές Συντεταγμένες) Γραμμές-Γραμμικά τμήματα-Ακτίνες Κύκλοι - Τόξα
![Page 4: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Το διάνυσμα σαν μετακίνηση
![Page 5: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Βασικές πράξεις διανυσμάτων
Πρόσθεση Αφαίρεση Αλλαγή μεγέθους (πολλαπλασιασμός με
αριθμό)
![Page 6: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Πρόσθεση
![Page 7: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Αφαίρεση
![Page 8: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Αλλαγή μεγέθους
![Page 9: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Το μέτρο ενός διανύσματος
Το μέτρο ενός διανύσματος W είναι _______________|W|= w1
2+w22+….+wn
2
![Page 10: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Κανονικοποίηση διανυσμάτων Μοναδιαίο διάνυσμα
|W|=1
ua=a/|a| |ua|=1
![Page 11: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Γραμμικοί συνδυασμοί διανυσμάτων
Ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων είναι της μορφής W=a1v1+a2v2+…+amvm
Είναι κυρτός εάν a1+a2+…+am=1 και ai0
![Page 12: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Το διάνυσμα-ακτίνα σαν κυρτός συνδυασμός
p(t)= a(1-t) +bt = a+ct 1 t 0
![Page 13: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Κυρτός συνδυασμός τριών διανυσμάτων
q=a1v1+a2v2+(1-a1-a2)v3
![Page 14: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Κυρτός συνδυασμός σημείωνΠαρεμβολή
P(t)=(1-t)A+tBt= 0 /0.25/0.5/0.75/1
![Page 15: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Κυρτό σύνολο σημείων στο επίπεδο και στο χώρο
![Page 16: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Το Εσωτερικό Γινόμενο (EΣΓ)δύο Διανυσμάτων
n
d= w·v= wivi
i=1
![Page 17: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Ιδιότητες του ΕΣΓ
Συμμετρία a·b=b·a
Γραμμικότητα (a+c)·b=a·b+c·b
Ομογένεια (sa)·b=s(a·b)
|b|2=b·b
![Page 18: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Υπολογισμός της γωνίας μεταξύ δύο διανυσμάτων
cosθ=ua·ub=a·b/|a| |b|
![Page 19: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Το Πρόσημο του ΕΣΓ
![Page 20: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Προβολή και ανάλυση διανύσματος σε συνιστώσες
![Page 21: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Εφαρμογή προβολής στην ανάκλαση
![Page 22: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Εξίσωση καθέτου σε ευθεία και επίπεδο
Για μια ευθεία L και για κάθε σημείο Α πάνω στην ευθεία, το ΕΣΓ n·a=D είναι σταθερό
![Page 23: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/23.jpg)
23
xnx+yny=D
![Page 24: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Εξίσωση καθέτου σε επίπεδο
n·s=D
![Page 25: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Έλεγχος θέσεως σημείου προς ημι-επίπεδο
(Q-A)·n > 0 inside,
(Q-A)·n = 0 on the line
(Q-A)·n < 0 outside
![Page 26: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Ψαλιδισμός γραμμής προς κυρτό παράθυρο
![Page 27: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Διανύσματα τριών διαστάσεων
Αριστερόστροφα &Δεξιόστροφα συστήματα αναφοράς
![Page 28: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Το εξωτερικό γινόμενο (ΕΞΓ)
![Page 29: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Γεωμετρική αναπαράσταση του ΕΞΓ
![Page 30: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/30.jpg)
30
Το τριπλό αριθμητικό γινόμενο
![Page 31: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Γεωμετρική αναπαράσταση
![Page 32: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Εφαρμογές
Η κάθετος στο επίπεδο των σημείων P1, P2, P3
n·r=D
![Page 33: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/33.jpg)
33
Ελέγχοντας αν ένα πολύγωνο είναι επίπεδο
a ·(bxc)=0 ?
![Page 34: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Ελέγχοντας την φορά της στροφής
T=k·(axb) 0 positive turn
![Page 35: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/35.jpg)
35
Ελέγχοντας την κυρτότητα ενός πολυγώνου
![Page 36: Διανύσματα & Γραφική](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062502/56813ab2550346895da2b385/html5/thumbnails/36.jpg)
36
Υπολογίζοντας την επιφάνεια ενός πολυγώνου