ロジスティクス工学第２章

経済発注量モデル

サプライ・チェインの設計と管理pp. 49-52, 3.2.1 節

経済的ロットサイズ・モデル

東京商船大学

久保　幹雄

経済発注量（ Economic Ordering Quantity ： EOQ) モデル

経済発注量（ Economic Ordering Quantity ： EOQ) モデル

• d ( 個 / 日 ): １日あたりの品目の需要量• Q ( 個 ): 発注量（変数）

[ 生産現場ではロットサイズ ]• K ( 円 ): 発注１回あたりの固定費用

[ 生産現場では段取り費用• h ( 円 /( 日・個 ) ） : 品目１個あたり・１日あたりの在庫保管費

用目的：

無限期間における最適な（発注費用＋在庫保管費用を最小にする）発注方策（いつ，どれだけ発注するのか）を決める．

条件：品切れは許さない．

注文した品目はすぐに（リード時間 0 で）到着する． 初期在庫は 0 とする．

例：研究室のビール在庫

• Ｋ研究室ではビールを冷蔵庫で適切に管理することが義務づけられている．ビールは新鮮さが第一だの先生のモットーにより，１日あたりのビールの劣化は，１本あたり 10 円で，発注は近所のコンビニに出前を頼むので１回あたり３００円かかる．また，研究室には大酒のみが多いため１日に１０本のペースで消費されるものとする．最適な（研究室費を無駄にしない）発注方策を考えよ．

時間

在庫レベル

サイクル時間 (T 日 ) = [ ]

Q

d ：傾き＝－需要のスピード

T 日間の総費用 = 発注費用 + 在庫保管費用 =f(Q)= １日あたりの費用 =

h× 面積

EOQ モデルEOQ モデル

• 最小化 f(Q)– ∂f(Q)/∂Q =– ∂2f(Q)/∂Q2 =– f(Q) は [ ] 関数 .

• Q* =

• f(Q* )=

練習問題 2-1 （易）練習問題 2-1 （易）

• Find the optimal ordering quantities when d =10 items/dayK =300 yenh=10 yen/day・ item.

• Check the dimension of the EOQ formula.

][個Q

練習問題 2-2 　（中）練習問題 2-2 　（中）

• Consider EOQ model in a factory. When the inventory is zero, production of Q items starts at a rate of p (items/day) (p d).≧The set-up cost is K (yen) and every time production starts at a level p, we incur a cost of α×p (α>0).

• What is the optimal production rate?

練習問題 2-3 （難）練習問題 2-3 （難）

• Consider EOQ model at a warehouse. When an order of size Q is placed, the items are delivered by trucks of capacity q; thus the number of trucks used to deliver Q is . The set-up cost is a linear function of the number of trucks used;　　　　　　　　　　　 (yen) .

• What is the optimal ordering quantities? KqQK /0

qQ /

感度分析（「サプライ・チェインの設計と解析」 p.52

表 3-1 ）• 最適な発注量が整数でないかもしれな

い．最適からずれたら，どれくらい費用が増えるのだろう？ -> 感度分析

• ビールの在庫の例はずれ率 0.5 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.5 2Q 12.25 19.6 22.05 24.5 26.95 29.4 36.75 49T 1.225 1.96 2.205 2.45 2.695 2.94 3.675 4.9発注費用 244.898 153.0612 136.0544 122.449 111.3173 102.0408 81.63265 61.22449在庫保管費用 61.25 98 110.25 122.5 134.75 147 183.75 245費用 306.148 251.0612 246.3044 244.949 246.0673 249.0408 265.3827 306.2245費用の増加 1.249844 1.024953 1.005534 1 1.004565 1.016705 1.08342 1.250156

Table3-1.xls

感度分析の図

0

50

100

150

200

250

300

350

0 10 20 30 40 50 60

発注費用在庫保管費用費用

費用の増加

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5

最適値の 20 ％増しのの発注量でも，費用は（たった） 1.6% しか増えない！-> EOQ モデルの解は頑強（ robust ）である！

２のべき乗方策（ Power-of-two Policy ）

• サイクル時間が 1.732 日や 1.4142 日は実用的か？

• たとえば，タバコの配送では，配送周期を１週間，２週間，１ヶ月（４週間）に一度に限定している．

２のべき乗方策基準となる時間間隔 B (Basic の頭文字）を与え，k を整数 ( ・・・ -2,-1,0,1,2, ・・・）としたとき，サイクル時間を B 2k に限定して発注を行う．

２のべき乗方策（定式化）

• 発注固定費用 K ，在庫保管費用 h ，需要量 d

• g=h d/2 を導入（記号の簡略化のため）　• （発注量 Q でなく）サイクル時間 T を変数とす

る！

２のべき乗方策最小化 f(T)= K/T + g T 条件 T = B 2k k は・・・ -2,-1,0,1,2, ・・・　　　　　 T 0≧

２のべき乗方策の最悪の場合の保証（悪くても６％以下）

( 式変形については，「ロジスティクス工学」 pp.34-35参照）

• 2 のべき乗であることを外した（緩和した）問題の最適サイクル時間と最適値； EOQ 公式より

• ２のべき乗に限定したときのサイクル時間

を満たす• 式変形すると：

g

KT * KgTf 2)( *

)2()2()2( 11 kkk BfBfBfkBT 2ˆ

06.1)22

1(

2

1

)(

)ˆ(*

Tf

Tf

直列多段階（ ２段階）モデル

2

T=1

3メーカー

2卸

1小売店 需要 d

h’1h’2

T=2

2

h’3 =0

第２段階（卸） 第１段階（小売店）

ノコギリ型にならない！

エシェロン在庫

T=1T=2

2

第２段階（エシェロン在庫）

第１段階

2 1 需要 d

h’1h’2

各在庫点からみて下流（需要側）の在庫をすべて含めた在庫

第２段階のエシェロン在庫

2

エシェロン在庫費用

3メーカー

2卸

1小売店 需要 d

h’1h’2h’3 =0

第２段階（卸）ののエシェロン在庫費用 h2 = h’2 － h’3 = h’2

第１段階（小売店）のエシェロン在庫費用 h1 = h’1 － h’2

• 下流（需要側）に行くにしたがって在庫費用は増加 （品目に付加価値がつくから）• 外部（メーカー）の在庫費用は 0 とする．• エシェロン在庫費用＝

各在庫点とそこに供給する上流の在庫点との在庫費用の差

通常の在庫費用とエシェロン在庫費用の関係

1

T=1T=2

2

第２段階（卸）＝ 4 h’2第１段階（小売店）＝ 4 h’1

通常の計算法 (4 日分）

第２段階（卸）＝ 2×4× h2

＝ [ ]

第１段階（小売店）＝ 4 h1

＝ [ ]

エシェロン在庫費用 (4 日分）

練習問題 2-4• 以下のサプライ・チェインに対して，通常の定義による在庫費用がエシェロン在庫費用と一致することを確認せ

よ．• ３段階のサプライ・チェイン

• １倉庫・多小売店モデル

3メーカー

サイクル時間＝ 4

2卸

サイクル時間＝ 2

1小売店

サイクル時間＝ 1

小売店１

サイクル時間 =1 ，需要＝１

小売店 2

サイクル時間 =2 ，需要＝ 2

倉庫

サイクル時間＝４，需要＝３

入れ子方策（ nested policy ）• 入れ子方策：ある在庫点が発注を行うなら，かならずその下流の在

庫点も発注を行う．• 直列多段階モデルにおいては，入れ子方策の中に最適方策がある．• ２のべき乗方策の下では，

上流のサイクル時間≧下流のサイクル時間を満たせばよい．

入れ子方策でない方策

２段階（卸）が発注していないときに発注

第１段階（小売り）

2

第２段階（卸）

2

エシェロン在庫

0 に近づけると在庫減少

２段階直列モデルの定式化２のべき乗・入れ子方策

• 需要量 d ，第 i 段階の在庫点の発注固定費用 Ki ，エシェロン在庫保管費用 hi ，サイクル時間（変数） Ti

• gi=hi d/2 を導入（記号の簡略化のため）　

２のべき乗・入れ子方策最小化 Σi Ki/Ti + gi Ti 条件 Ti = B 2k k は・・・ -2,-1,0,1,2, ・・・ , i=1,2 Ti T≧ i-1 i=2

　 　　　　 Ti 0 i=1,2≧２のべき乗方策 入れ子方策（２のべき乗方策の下）

２段階直列モデルの最適解Lagrange 緩和 (1)

• 需要量 10• 第 1 段階の在庫点の発注固定費用 K1= ３００• エシェロン在庫保管費用 h1＝ 5=(10-5), g1=h1 d/2=25• 第 2 段階の在庫点の発注固定費用 K2= １００（他のビールと一緒に注文

するので安い）• エシェロン在庫保管費用 h2＝ 5=(5-0), g2=h2 d/2=25

• ２のべき乗・入れ子方策最小化 Σi Ki/Ti + gi Ti +(-Ti +Ti-1） λ条件 Ti = B 2k k は・・・ -2,-1,0,1,2, ・・・ , i=1,2 Ti T≧ i-1 i=2

　 　　　　 Ti 0 i=1,2≧

入れ子条件より 0 以下0 以上の Lagrange 乗数

２段階直列モデルの最適解Lagrange 緩和（ 2 ）

• ２のべき乗・入れ子方策を緩和（外した）式• ０以下の項を目的関数に加えて制約を外した

-> 下界（最適値以下の値）を算出する！最小化 Σi Ki/Ti + gi Ti +(-Ti +Ti-1 ） λ条件 Ti 0 i=1,2≧

-> ２つの EOQ モデルに分解 第 1 段階：最小化 K1/T1 + (g1 +λ) T1

第 2 段階：最小化 K2/T2 + (g2 － λ) T2

1

11 g

KT

2

12 g

KT

２段階直列モデルの最適解Lagrange 緩和（ 3 ） : Excel による λ の推

定=SQRT(300/(50+B1))

=SQRT(500/(100-B1))

B1

Section2-3.xls

λ Lagrange（ 乗数） 0 2 4 6 8 10 12 12.5 13 14 15T1 3.464102 3.333333 3.216338 3.110855 3.015113 2.9277 2.847474 2.828427 2.809757 2.773501 2.738613T2 2 2.085144 2.182179 2.294157 2.425356 2.581989 2.773501 2.828427 2.886751 3.015113 3.162278

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 5 10 15 20

T1T2

１倉庫・多小売店モデル入れ子方策が悪くなる例

小売店１　発注費用 1

需要＝ 2 　エシェロン在庫費用 =1

小売店 2 発注費用 K （大きな数）

需要＝ ε( 小さな数 ) エシェロン在庫費用 =1

倉庫

発注費用 =1 需要＝ 2+ε

エシェロン在庫費用 =1

最適方策：最適方策：小売店 1 ，倉庫が毎日発注，小売店 2 は約 日に１回発注-> １日あたり に比例した費用 入れ子方策入れ子方策 11 ：：小売店 2 を約 日に１回；入れ子方策より倉庫も約 日に１回；小売店１むけの倉庫における在庫費用は，　　　　　　 に比例　　　

入れ子方策入れ子方策 22 ：：小売店 2 ，倉庫が毎日発注；小売店 2 の在庫費用 は K に比例

/KK

/K/K/K