第一部分 初等数学方法第一章 建模示例

第一节 选举中的席位分配• 一 . 比例代表制• 例：有 A 、 B 、 C 、 D 四个政党，代表 50 万选民，各政党的选民数为：• A 党： 199,000 B 党： 127,500• C 党： 124,000 D 党： 49,500• 要选出 5 名代表： • A 党： 2 席 B 党： 1 席• C 党： 1 席 D 党： 0 席• 缺少 1 席，如何分配这最后一席呢？

第一节 选举中的席位分配• 最大余数法• 按每 10 万选民 1 席分配后，按余数大小排序，多余的席位分给余数较大的各党。• 党名 代表选民数 整数席 余 数 余额席 总席数• A 199,000 1 99,000 1 2• B 127,500 1 27,500 0 1• C 124,000 1 24,000 0 1• D 49,500 0 49,500 1 1

第一节 选举中的席位分配• 洪德 (dHondt) 规则• 分配办法是：把各党代表的选民数分别被 1 、 2 、

3 、…除，按所有商数的大小排序，席位按此次序分配。即若 A 党的人数比 D 党的人数还多，那么给 A 党 3 席、给 D 党 0 席也是合理的。• 除数 A 党 B 党 C 党 D 党• 1 199,000(1) 127,500(2) 124,000(3) 49,500• 2 99,500 (4) 63,750 62,000 24,750• 3 66,333 (5) 42,500 41,333 16,500• 4 49,750 31,875 － －• 总席位 3 1 1 0

第一节 选举中的席位分配• 北欧折衷方案• 作法与洪德规则类似，所采用的除数依次为 1.4 、 3 、 5 、

7 、… • A 党 B 党 C 党 D 党 • 2 2 1 0

• 三种分配方案，得到了完全不同的结果，最大余数法显然对小党比较有利，洪德规则则偏向最大的党，北欧折衷方案对最大和最小党都不利

第一节 选举中的席位分配• 二．份额分配法 (Quota Method)• 一种以“相对公平”为标准的席位分配方法，来源于著名的“阿拉巴玛悖论” (Alabama Paradox) 。• 美国宪法第 1 条第 2 款对议会席位分配作了明确规定，议员数按各州相应的人数进行分配。最初议员数只有 65 席，因为议会有权改变它的席位数，到

1910 年，议会增加到 435 席。宪法并没有规定席位的具体分配办法，因此在 1881 年，当考虑重新分配席位时，发现用当时的最大余数分配方法，阿拉巴玛州在 299 个席位中获得 8 个议席，而当总席位增加为 300 席时，它却只能分得 7 个议席。这一怪事被称为有名的“阿拉巴玛悖论”。

系别 学生 比例 20 席的分配 人数 （ % ） 比例 结果 甲 103 51.5 乙 63 31.5 丙 34 17.0总和 200 100.0 20.0 20

21 席的分配 比例 结果10.815 6.615 3.570 21.000 21

问题三个系学生共 200 名（甲系 100 ，乙系 60 ，丙系 40 ），代表会议共 20 席，按比例分配，三个系分别为 10 ， 6 ，4 席。现因学生转系，三系人数为 103, 63, 34, 问 20 席如何分配。若增加为 21 席，又如何分配。

比例加惯例

对丙系公平吗

系别 学生 比例 20 席的分配 人数 （ % ） 比例 结果 甲 103 51.5 10.3 乙 63 31.5 6.3 丙 34 17.0 3.4 总和 200 100.0 20.0 20

系别 学生 比例 20 席的分配 人数 （ % ） 比例 结果 甲 103 51.5 10.3 10 乙 63 31.5 6.3 6 丙 34 17.0 3.4 4总和 200 100.0 20.0 20

21 席的分配 比例 结果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 21

“公平”分配方法 衡量公平分配的数量指标 人数 席位 A 方 p1 n1

B 方 p2 n2

当 p1/n1= p2/n2 时，分配公平 p1/n1– p2/n2 ~ 对 A 的绝对不公平度

p1=150, n1=10, p1/n1=15p2=100, n2=10, p2/n2=10

p1=1050, n1=10, p1/n1=105p2=1000, n2=10, p2/n2=100

p1/n1– p2/n2=5

但后者对 A 的不公平程度已大大降低 !虽二者的绝对不公平度相同

若 p1/n1> p2/n2 ，对 不公平A

p1/n1– p2/n2=5

公平分配方案应使 rA , rB 尽量小

设 A, B 已分别有 n1, n2 席，若增加 1 席，问应分给 A, 还是 B不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对 A 不公平

),(/

//21

22

2211 nnrnp

npnpA

~ 对 A 的相对不公平度

将绝对度量改为相对度量

类似地定义 rB(n1,n2)

将一次性的席位分配转化为动态的席位分配 , 即

“公平”分配方法若 p1/n1> p2/n2 ，定义

1 ）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ，则这席应给 A

2 ）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ，3 ）若 p1/n1> p2/(n2+1) ，

应计算 rB(n1+1, n2)

应计算 rA(n1, n2+1)

若 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给

应讨论以下几种情况 初始 p1/n1> p2/n2

问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？A

否 !

若 rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B

当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给 A

rA, rB 的定义)1()1( 11

21

22

22

nnp

nnp 该席给 A

否则 , 该席给B

,2,1,)1(

2

i

nnp

Qii

ii 定义 该席给 Q 值较大的一方

推广到 m方分配席位

该席给 Q 值最大的一方 Q 值方法mi

nnp

Qii

ii ,2,1,

)1(

2

计算 ，

三系用 Q 值方法重新分配 21 个席位按人数比例的整数部分已将 19 席分配完毕甲系： p1=103, n1=10乙系： p2= 63, n2= 6

丙系： p3= 34, n3= 3

用 Q 值方法分配第 20 席和第 21席第 20席 3.96

4334

,5.9476

63,4.96

1110103 2

32

22

1

QQQ

第 21席 322

1 ,,4.801211

103QQQ

同上 Q3 最大，第

21 席给丙系甲系 11席，乙系 6席，丙系 4席Q 值方法分配结果 公平吗？

Q1 最大，第 20 席给甲系

进一步的讨论Q 值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？席位分配的理想化准则

已知 : m 方人数分别为 p1, p2,… , pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为 N 。

设理想情况下 m 方分配的席位分别为 n1,n2,… , nm

( 自然应有 n1+n2+…+nm=N) ，

记 qi=Npi /P, i=1,2, … , m,

ni 应是 N 和 p1, … , pm 的函数，即 ni = ni (N, p1, … , pm ) 若 qi 均为整数，显然应 ni=qi

qi=Npi /P 不全为整数时， ni 应满足的准则：记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi 方向取整；

[qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi 方向取整 .

1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , m),2) ni (N, p1, … , pm ) ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m)

即 ni 必取 [qi]– , [qi]+ 之一即当总席位增加时， ni 不应减少

“比例加惯例”方法满足 1 ），但不满足 2 ）Q 值方法满足 2 ） ,但不满足 1 ）。令人遗憾！

第二节 商业中心的影响范围• 问题：一个城市中，商业如何布局才能为大多数市民提供方便？农村中，如何选择集市贸易的地点以便扩大物资交流？这些都要求我们对商业中心的影响作出估计。• 若从经营者的角度考虑，一个商店要获得利润就应吸引足够的顾客，应该估计商店能吸引多远的顾客，高峰销售时间的交通是否方便，因此也要估计商店的影响范围。

第二节 商业中心的影响范围• 设 A 、 B 为两个商业中心， T 表示某顾客去商业中心购物的概率，我们应该考虑 T 应与哪些因素有关？• 假设 T 只依赖于两个关键参数：• 一、是顾客到商业中心的距离 D ，• 二、是商业中心的吸引力 F 。• 即 T ＝ f(D,F) 。• 为了简单起见，假设 F1 ＝ 3F2 。• 为了寻找两个中心的影响区域，我们应该确定顾客到每个中心去的可能性相等的点，即等概率点，它由如下方程确定• f(D1,F1)=f(D2,F2) 。

第二节 商业中心的影响范围• 由 T 的含义，它随 F 及 D 变化。当 F 增加时，说明中心的吸引力增加，想去的人应该增多，即 T 应该增大；再根据一般人就近购物的心理，当 D 增加时， T 应该减少。我们取的形式为•

2),(DkFFDfT ＝

22

221

1

DkF

DkF ＝

第三节 动物的身长和体重• 利用类比方法，借助力学的某些结果，建立动物身长和体重间的比例关系。• 把四足动物的躯干看作圆柱体，长度、直径、截面积。将躯干与四肢的接触处看作前后两个接触点，这样这种圆柱体的躯干可以类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，以便利用弹性力学的一些研究结果。

2

3

dSlfb

第三节 动物的身长和体重

• b/l已经达到其最合适的数值，应视为与这种动物的尺寸无关的常数•

2

3

dl

lb

4lf

第四节 房屋保温隔热的经济效益核算• 问题：房屋的保温隔热是一笔很大的开支，北方漫长的冬季需要保温供暖，南方炎炎夏季需要降温制冷。据研究，房屋内热量散发的途径中 30% 是通过墙壁， 10% 通过窗，

25% 通过屋顶，其余通过地板等途径散发。一般房屋建造时的主要保温隔热措施是在屋顶上采用 10cm隔热材料，对墙和窗则没有采用专门的隔热措施，墙中空隙未加填充，而窗仅用 4~6mm 的单层玻璃。一些改进的办法可以用聚苯乙烯塑料球或尿素甲醛的化学材料填补空隙，或者采用双层玻璃窗以减小房屋保温隔热的费用。有人说：用填充隔热墙的办法所节约的热量是采用双层玻璃窗的 5倍。实际情况如何？需建模定量分析。

第四节 房屋保温隔热的经济效益核算• 1 问题的分析• 房屋的保温隔热问题涉及两个方面：热交换的物理机理和费用的经济学问题。影响热损失的因素有很多： (1) 室内温度； (2) 室外温度；

(3) 传热方式：对流、传导和辐射； (4) 墙面积；(5) 窗面积； (6) 墙的传热性质； (7) 窗的传热性质； (8) 墙厚度； (9) 窗厚度； (10) 保温节省的热量。

• 影响经济学的因素有： (1) 保温措施的费用；(2) 借款的费用 (贷款利息 )； (3) 燃料费用；(4) 保温所节约的费用； (5) 双层窗的不同品种。其它因素如舒适性、美观性暂不考虑。

第四节 房屋保温隔热的经济效益核算• (1) 热量散失的机理模型• 假设：• (a) 热辐射的影响可以忽略。• (b) 热量散失不随时间而改变，即达到了稳定状态。• (c) 热量散失是均匀的，不随墙或窗的位置而改变。

1

21

1121

hhk

ah

Uc

D

第四节 房屋保温隔热的经济效益核算• (2) 费用分析• (3) 建立费用 -效益决策模型