تئوری الاستیسیته

2

تئوری االستیسیتهTheory of Elasticity

كريم عابديكريم عابديكريم عابديكريم عابدي

3

::فصل دومفصل دوم

روابط و معادالت بنيادي و

ویژگی های مسائل تئوری ارتجاعی

4

فصل دوم - بخش اول: روابط و معادالت بنيادي

مقدمه - 1اختي,اري اي نقط,ه در تنش وض,عيت پيش,ين، فص,ل اول بخش در

(Arbitrary Point ) از ي,ك جس,م ك,ه تحت اث,ر نيروه,ايي ق,رار دارد، م,وردتنش، تانس,ور اس,تخراج ض,من و گ,رفت ق,رار مطالع,ه و بررس,ي

خواص مختلف آن تشريح گرديد.در بخش دوم فصل پيشين، وضعيت كرنش )يا تغيير شكل نسبي( در

نقطه اي اختياري مورد مطالعه قرار گرفت و اين در حالي بود كه U هيچ سؤالي در مورد علت ايجاد يا عامل بوجود آورنده تغيير اصوال

U مسأله بررسي كرنش در نقطه اي شكل مطرح نگرديد. اساساU رياضي بود. ام,ا واقعيت اين اس,ت ك,ه تغي,ير ش,كل جس,م ب,ه علت تحري,ك جس,م دلخواه از يك جسم، يك مسأله صرفا

گفت,ه مي ش,ود، بوج,ود مي ( Action)توس,ط ع,املي ك,ه ب,ه آن كنش U ب,ه ص,ورت ن,يرو ب,وده و ي,ا اينك,ه آي,د. اين كنش ممكن اس,ت مس,تقيماعلت ص,ورت ه,ر در ك,ه باش,د ح,رارت درج,ه مانن,د ديگ,ر ع,املي

پيدايش ميدان تنش است.

بخش اول : روابط و معادالت بنیادی

5

فصل دوم – بخش اول: روابط و معادالت بنيادي

اس,تخراج االستيس,يته، مس,ائل ح,ل در اساس,ي ه,اي ق,دم از يكي تنش تانس,ور اج,زاء ب,ه را ك,رنش تانس,ور اج,زاء ك,ه اس,ت مع,ادالتي ب,ه عن,وان تعميم مرب,وط مي س,ازند. چ,نين مع,ادالتي ك,ه ممكن اس,ت

بنيادي معادالت نام به شود، توجه آنها به هوك Fundamental)قانون Equations ).خوانده مي شود

شناس,ايي ي,ا بني,ادي مع,ادالت اولي,ه بررس,ي فص,ل اين در هدف ايزوتروپي,ك ارتج,اعي م,ورد مص,الح در ك,رنش و تنش بين رواب,ط مس,ائل ح,ل ب,راي الزم مق,دمات كلي,ه آنه,ا ش,ناخت ب,ا ت,ا اس,ت

االستيسيته فراهم شده باشد.

برای ارتب,اط تنش در ی,ک نقط,ه در ی,ک مص,الح م,ادی ب,ا ک,رنش متن,اظر مص,الح خ,واص نقط,ه، آن می (Material Properties)در نی,از م,ورد

ب,ه ک,رنش - تنش رواب,ط ی,ا بنی,ادی مع,ادالت در این خ,واص باش,ند. وارد می شوند.(Material Coefficients)عنوان ضرایب مصالح

6


مبن,اي نظ,ري اس,تخراج رواب,ط و مع,ادالت بني,ادي م,ذكور، ق,انون اول است. ( First Law of Thermodynamics)ترموديناميك

قانون اول ترمودينامي,ك بي,ان مي كن,د ك,ه مجم,وع ك,ار انج,ام يافت,ه در ي,ك سيس,تم مك,انيكي ب,ه وس,يله نيروه,اي خ,ارجي و ن,يز گرم,ايي ك,ه از ب,ا مجم,وع اس,ت براب,ر ياب,د، درون سيس,تم جري,ان مي ب,ه ب,يرون

بي,ان دقي,ق افزايش انرژي داخلي و افزايش انرژي جنبشي. ترمودينامي,ك )ك,ه در واق,ع اول ق,انون نم,ادين به ط,ور قانون بقاي انرژي است( به صورت زير بيان مي شود:

KUHW كه در آن:

كار انجام يافته در يك سيستم به وسيله ،نيروهاي خارجيگرمايي كه به داخل سيستم

،افزايش در انرژي داخليجريان مي يابد،

.افزايش در انرژي جنبشي

7

فصل دوم – بخش اول : روابط و معادالت بنيادي

انرژي كرنشي )ارتجاعي( در اجسام االستيك -2

هنگ,امي ك,ه ي,ك جس,م االس,تيك تحت اث,ر ن,يرو ق,رار مي گ,يرد، ن,ه تنه,ا در ه,ر نقط,ه آن تنش ايج,اد مي ش,ود، بلك,ه اين نيروه,ا ب,اعث مي

تغي,ير ش,كل ك,ه جس,م نق,اط (Deformation)ش,ود و وض,عيت داده مختلف آن نسبت به يكديگر با وضعيت اوليه تفاوت كند.

تغي,ير نقط,ه اث,ر نيروه,اي اعم,الي ب,ه سيس,تم ب,اعث مي ش,ود ك,ه در هنگ,ام اعم,ال اين نيروه,ا مق,داري ك,ار انج,ام گ,يرد. ك,ار مزب,ور ك,ه ت,وأم ب,ا تغي,ير ش,كل جس,م در وض,عيت تنش مي باش,د ب,اعث ذخ,يره گ,ردد. مي در جس,م ارتج,اعي ان,رژي ب,ه ص,ورت ان,رژي مق,داري نيروه,اي ح,ذف ب,ا باش,د االس,تيك رفت,ار ي,ك جس,م رفت,ار هرگ,اه خ,ارجي ان,رژي ارتج,اعي ن,يز آزاد ش,ده و هيچ ن,وع تغي,ير ش,كلي در

اول جسم باقي نمي ماند. ق,انون از گ,يري به,ره ب,ا ارتج,اعي ان,رژي م,ورد در مطالع,ه ترمودينامي,ك قاب,ل درك ب,وده و فرمول,ه ك,ردن آن ممكن مي گ,ردد.

8


فرض ب,ر اين اس,ت ك,ه تغي,یر مك,ان نق,اط جس,م معل,وم اس,ت و ب,ه در ه,ر نقط,ه در راس,تاي w و v و uوس,يله مؤلف,ه ه,اي تغي,ير مك,ان

مشخص مي شود.z و y و xمختصات دكارتي

ب,ه كوچ,ك نه,ايت بي نموه,اي از جس,م، اي نقط,ه ه,ر ب,ه اكن,ون نش,ان ك,ه ب,ا و وw و v وu مؤلف,ه ه,اي تغي,ير مك,ان

داده مي ش,وند اعم,ال مي ش,ود. مؤلف,ه ه,اي تنش در ه,ر نقط,ه از جس,م در اث,ر اعم,ال تغي,ير مك,ان ه,اي كوچ,ك و و دس,ت

نخورده و ثابت در نظر گرفته مي شوند.

مي نظ,ر در را ي,ك جس,مي ترمودينامي,ك اول ق,انون اعم,ال براي گ,يريم ك,ه تحت اث,ر باره,اي وارده در ح,ال تع,ادل اس,ت. جس,م م,ذكور

اس,ت و نيروه,اي وارد S (Closed Surface) و س,طح بس,ته Vداراي حجم نيروه,اي س,طحي از: عبارتن,د آن وس,یله (Surface Forces)ب,ر ب,ه ک,ه

نيروه,اي حجمي Sتوزی,ع تنش در س,طح نم,ایش داده می ش,ود و (Body Forces) واح,د حجم در نیروه,ای حجمی توزی,ع ب,ه وس,یله ک,ه

)يعني ( مشخص میشود.

9


اين تغي,يرات تغي,ير مك,ان اختي,اري مي باش,ند، ج,ز اينك,ه دو ي,ا چن,د ذره نمي توانن,د نقط,ه يكس,اني را در فض,ا اش,غال نماين,د ي,ا اينك,ه ي,ك ذره منف,رد نمي توان,د بيش از ي,ك نقط,ه در فض,ا را اش,غال نماي,د )ب,ه ه,اي تغي,ير مك,ان ب,ه عالوه، نمي ش,ود(. پ,اره ديگ,ر جس,م عب,ارت نق,اط مشخص,ي )مانن,د ش,رايط تكي,ه گ,اهي( از پيش تع,يين ش,ده مي

. باشند

x

uexx

yy

ve

y

y

u

x

vexy

2

1

y

w

z

ve yz

2

1

z

u

x

wezx

2

1

zz

we

z

تغييرات مؤلفه هاي كرنش ناشي از تغييرات تغيير مكان هاي و و عبارتند از:

10


وج,ود نداش,ته V براي ش,رايطي ك,ه جري,ان ح,رارت ب,ه داخ,ل حجم (، ق,انون اول ( ) ( و ن,يز تع,ادل ايس,تايي باش,د

ترمودينامي,ك بي,ان مي كن,د ك,ه هنگ,ام تغي,يرات تغي,ير مك,ان و و ، تغي,ير در ك,ار نيروه,اي خ,ارجي براب,ر اس,ت ب,ا تغي,يرات ان,رژي

WUداخلي :

ك,ار تقس,يم ش,ود: قس,مت دو ب,ه ك,ه ب,ود خواه,د ت,ر ساده نيروهاي سطحي و كار نيروهاي حجمي .

Bs WWW

11


را در نظ,ر مي گ,يريم. ds، ي,ك مس,احت نم,وي S از س,طح Pدر نقط,ه عم,ل مي كن,د داراي س,ه مؤلف,ه و dsب,ردار تنش ك,ه در س,طح

و مي باش,د. ن,يروي س,طحي مس,اوي اس,ت ب,ا حاص,ل ض,رب ن,يز براب,ر اس,ت ب,ا مجم,وع ك,ار اين . ك,ارdsمؤلف,ه ه,اي تنش و

. Sنيروها در روي سطح

S

Z

S

Y

S

Xs dswPdsvPdsuPW ......

از طرف ديگر مي دانيم كه:

zzyzxzz

zyyyxyy

zxyxxxx

nmlP

nmlP

nmlP

12


بنابراين به صورت زير بدست مي آيد:

S

zzyzxzzyyyxyzxyxxxS dswnmlvnmlunmlW

، ن,يروي حجمي ب,ه وس,يله dvبراي ي,ك عنص,ر حجمي بي نه,ايت كوچ,ك و مؤلف,ه ه,اي ن,يروي حجمي در واح,د حجم )يع,ني dVحاص,ل ض,رب

(مشخص مي شود. بنابراين داريم:

B x y z

V

W B u B v B w dV

ب,ا ت,وان را مي نيروه,اي س,طحي( ب,ه )مرب,وط انتگ,رال روي س,طح استفاده از قضيه ديورژانس به انتگرال روي حجم تبديل نمود.

13


طبق قضيه ديورژانس داريم:

V

s

dVzyx

dsznynxn 321321 ,cos,cos,cos

و ب,ه س,مت خ,ارج در ه,ر S ب,ردار يك,ه عم,ود ب,ر س,طح nكه در آن نقطه مي باشد كه به صورت زير نيز نمايش داده مي شود: dVdsn iis ii ,

اگ,ر قض,يه دي,ورژانس را ب,ه عب,ارت مرب,وط ب,ه اعم,ال ك,نيم خواهيم داشت:

. . . . . . . . .xx xy xz yx yy yz zx zy zz

S

x y z

V

W u v w l u v w m u v w n ds

B u B v B w dV

dVwBvBB

wvuz

wvuy

wvux

zyux

zzzyzxyzyyyxxzxyxx

V

.........

14


با داش,تن تغي,يرات مؤلف,ه ه,اي ك,رنش ناش,ي از تغي,يرات تغي,ير مك,ان و و و مع,ادالت ديفرانس,يل تع,ادل، رابط,ه نه,ايي زي,ر ب,راي

به دست مي آيد:

يا به صورت نماد تانسوری مي توان نوشت:

.ij ij

V

W e dV

dVwBvBB

wvuz

wvuy

wvux

zyux

zzzyzxyzyyyxxzxyxx

V

.........

dVeeeeeeW yzyzxzxzxyxyzzzzyyyyxxxx

V

]222[

15


ب,ر حس,ب ان,رژي داخلي در واح,د حجم V ب,راي حجم Uان,رژي داخلي ب,ه بي,ان مي گ,ردد. نامي,ده مي ش,ود ان,رژي داخلي ك,ه چگ,الي

عبارت ديگر داريم:V

dVUU 0

تغيير انرژي داخلي به صورت زير در مي آيد:V

dVUU 0

با توجه به قانون اول ترموديناميك داريم:WU

yzyzxzxzxyxyzzzzyyyyxxxx eeeeeeU 2220

dVeeeeeeW yzyzxzxzxyxyzzzzyyyyxxxx

V

]222[

16


يا به صورت نماد تانسوری مي توان نوشت:ijij eU 0

zyzxyzyxxzxyzzyyxx eeeeeeeeeUU ,,,,,,,,00

zyzy

zxzx

yxyx

yzyz

xzxz

xyxy

zzzz

yyyy

xxxx

ee

Ue

e

U

ee

Ue

e

Ue

e

Ue

e

Ue

e

Ue

e

Ue

e

UU

00

00000000

ان,رژی کرنش,ی ت,وان گفت ک,ه چگ,الی در ح,الت کلی می تابعی است از نه مولفه تانسور کرنش. پس مي توان نوشت:

w و v و u در تغییرمک,ان ه,ای δw و δv و δuبن,ابراین اگ,ر تغی,یرات و δexxاعم,ال ش,وند، در این ص,ورت مولف,ه ه,ای ک,رنش ن,یز تغی,یرات

δeyy ان,رژی چگ,الی در تغی,یر نتیج,ه در و گیرن,د می خ,ود ب,ه را ...کرنشی به صورت زیر در می آید:

17


با توج,ه ب,ه رواب,ط اس,تخراج ش,ده و مقايس,ه آنه,ا مي ت,وان ب,ه ص,ورت نماد انديسي نوشت:

ijij e

U

0

zyzy

zxzx

yxyx

yzyz

xzxz

xyxy

zzzz

yyyy

xxxx

ee

Ue

e

U

ee

Ue

e

Ue

e

Ue

e

Ue

e

Ue

e

Ue

e

UU

00

00000000

yzyzxzxzxyxyzzzzyyyyxxxx eeeeeeU 2220

18


- رابطه تنش - كرنش در اجسام ارتجاعي خطي3

اجس,ام در ارتج,اعي كرنش,ي ان,رژي چگ,الي ت,ابع كلي ح,الت در از نش,ان داد. ب,ه nارتج,اعي را مي ت,وان ب,ا چن,د جمل,ه اي درج,ه

عبارت ديگر داريم:0 00 11 22 33 12 13 21 31 23 32

1111 1122 1133 ................

xx yy zz xy xz yx zx yz zy

xx xx xx yy xx zz

U C C e C e C e C e C e C e C e C e C e

C e e C e e C e e

كه در آن تع,داد جمالت درج,ه ص,فر، ي,ك جمل,ه و تع,داد جمالت درج,ه ، مي باشد.nيك، نه جمله و... و تعداد جمالت درجه

مي توان نوشت:

...00 mnklijijklmnklijijklijij eeeCeeCeCCU

19


از طرفي داريم:

...0

mnklijklmnklijklijij

ij eeCeCCe

U

االستيس,يته، تئ,وري در و ك,رنش تنش رابط,ه ب,ودن با ف,رض خطي رابطه مذكور به شكل زير درمي آيد:

klijklijij eCC

چون در تم,امي اجس,ام ارتج,اعي، هنگ,امي ك,ه كلي,ه مؤلف,ه ه,اي ك,رنش ص,فر باش,ند، تنش ه,ا ن,يز مس,اوي ص,فر مي باش,ند، بن,ابراين ض,رايب باي,د مس,اوي ص,فر باش,ند. در اين ص,ورت رابط,ه تنش و ك,رنش ب,راي

اجسام ارتجاعي خطي در نهايت به صورت زير به دست مي آيد:klijklij eC


20


و در اين حالت چگالي انرژي داخلي عبارت است از:

klijijkl eeCU 0

از دوم درج,ه ت,ابع ارتج,اعي خطي، اجس,ام داخلي ان,رژي بن,ابراين كرنش مي باشد.

در عبارت مربوط به ، در ضرايب ، چون هريك از عدد 81انديس ها مي تواند سه مقدار داشته باشد، پس تعداد آنها

(.4مي باشد )تانسور از مرتبه


بن,ابراين ب,رای تع,یین رابط,ه بین تنش و ک,رنش در اجس,ام ارتج,اعی، آزم,ایش انج,ام 81 ض,ریب ب,وده و بن,ابر این بای,د 81نی,از ب,ه شناس,ایی

گ,یرد. البت,ه بع,دا ث,ابت خواه,د ش,د ک,ه ب,ا اس,تفاده از تق,ارن تانس,ورهای 21ک,رنش و تنش و تانس,ور مشخص,ه مص,الح ، این ض,رایب ب,ه

تقلیل پیدا می کنند.

21


زي,ر ماتريس,ي ب,ه ص,ورت ت,وان مي را ك,رنش و تنش بين رابط,ه نشان داد:

zy

zx

yx

yz

xz

xy

zz

yy

xx

zy

zx

yx

yz

xz

xy

zz

yy

xx

e

e

e

e

e

e

e

e

e

CCCCCCCCC

CCCCCCCCC

CCCCCCCCC

CCCCCCCCC

CCCCCCCCC

CCCCCCCCC

CCCCCCCCC

CCCCCCCCC

CCCCCCCCC

323232313221322332133212323332223211

313231313121312331133112313331223111

213221312121212321132112213321222111

233223312321233323132312233323222311

133213311321132313131312133313221311

123212311221122312131212123312221211

333233313321332333133312333333223311

223222312221222322132212223322222211

113211311121112311131112113311221111

klijklij eC

22


كه با نماد ماتريسي به صورت زير نشان داده مي شود: eC

م,اتريس آن در م,اتريس ض,رايب Cكه ي,ا م,اتريس ض,رايب مص,الح االستيك يا ماتريس مشخصه مصالح ناميده مي شود.

، از اي,نرو چون تانس,ور تنش متق,ارن اس,ت ب,ه عب,ارت ديگ,ر :داريم

mnlkmnlk

mnklmnkl

eC

eC

.

.

چون دو رابط,ه م,ذكور ب,ه ازاي كلي,ه مق,ادير ك,رنش ه,ا ص,ادق می :باشند، از اينرو بايد داشته باشيم

lkmnklmn CC

23


ه,ا ان,ديس اول زوج ، در ض,رايب ك,ه گ,يريم مي نتيج,ه پس ض,ريب ك,اهش پي,دا 27خاص,يت جابج,ايي دارن,د. ب,دين ت,رتيب تع,داد

از ط,رف ديگ,ر چ,ون تانس,ور ك,رنش متق,ارن اس,ت ب,ه عب,ارت ديگ,ر مي كند. ، از اينرو مي توان نوشت كه:klmn kl nmC C

به عب,ارت ديگ,ر دومين زوج ان,ديس ه,ا ن,يز در ض,رايب خاص,يت جابجايي دارند.

1111 1122 1133 1112 1113 1123

2211 2222 2233 2212 2213 2223

3311 3322 3333 3312 3313 3323

1211 1222 1233 1212 1213 1223

1311 1322 1333 1312 1313 1323

2311 2322

xx

yy

zz

xy

xz

yz

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

C C C

11

22

33

12

21

232333 2312 2313 2323

2

2

2

e

e

e

e

e

eC C C

ض,ريب ديگ,ر ك,اهش مي ياب,د و 18بدين ت,رتيب تع,داد ع,دد تقلي,ل مي 36در نه,ايت تع,داد ض,رايب ب,ه

يابد.

24


داد ك,ه م,اتريس ت,وان نش,ان ب,ا Cام,ا مي ض,ريب 36 حاص,ل دوم و اول ه,اي ان,ديس زوج دو ديگ,ر عب,ارت ب,ه اس,ت. متق,ارن

را مي ت,وان ب,ه ص,ورت زي,ر C خاص,يت جابج,ايي دارن,د. تق,ارن م,اتريس اثبات نمود:

ijklklij

klijklij

ij Cee

UeC

e

U

02

0 .

klijijkl

ijklijkl

kl Cee

UeC

e

U

02

0 .

اما مي دانيم كه:

ijklklij ee

U

ee

U

02

02

ijkl klijC C

25


كاهش مي يابد.21 به Cبدين ترتيب تعداد ضرايب ماتريس

km jk im ij

km jk im ij

n n

e n n e

چون مولف,ه ه,ای تانس,ورهای تنش و ک,رنش در ی,ک نقط,ه ی,ا نق,اطی از جس,م ت,ابع جهت محوره,ای مختص,ات می باش,ند، ض,رایب ن,یز ت,ابعی از جه,ات محوره,ای مختص,ات ب,وده و می ت,وان ث,ابت ک,رد

'Oxک,ه اگ,ر محوره,ای مختص,ات جدی,د و n11ب,ا کوس,ینوس ه,ای ه,ادی 1

n21 و n31 وOx''Oxو n32 و n22و n12ب,ا کوس,ینوس ه,ای ه,ادی 2

ب,ا 3ه,ادی و n23 و n13کوس,ینوس ه,ای n33 اين در بگ,یریم، نظ,ر را در

در اين دس,تگاه مختص,ات جدي,د ب,ه وس,يله رابط,ه Cص,ورت ض,رايب یاد آوری می ش,ود ک,ه ب,رای تب,دیالت ب,رداری )تانس,ور از مرتب,ه اول( (:4زير بيان مي گردند )برای تانسور از مرتبه

داریم:

ن,یز از مرتب,ه دوم( )تانس,ور تانس,ور تنش و ک,رنش تب,دیالت ب,رای داریم:

k ik ix n x

mnpq im jn kp lq ijklC n n n n C

26


- اثر صفحات و محورهاي تقارن بر ضرايب 4

ب,راي )يع,ني كلي ح,الت در ك,ه ش,د داده نش,ان قبلي قس,مت در اجس,ام غ,ير ايزوتروپي,ك ك,ه در س,اختمان داخلي آنه,ا هيچ گون,ه تق,ارني

ض,ريب 21مش,اهده نمي ش,ود(، مؤلف,ه ه,اي تنش توس,ط برحسب كرنش بيان مي شوند.

اك,ثر م,واد داراي ن,وعي تق,ارن در س,اختمان داخلي خ,ود هس,تند و اين 21تق,ارن ب,اعث تقلي,ل تع,داد ض,رايب االس,تيك م,اده ب,ه كم,تر از

مي گ,ردد. در اين قس,مت تق,ارن در م,اده را م,ورد بررس,ي ق,رار مي ض,رايب تع,داد تق,ارن ن,وع ب,ه توج,ه ب,ا ك,ه ش,ود روش,ن ت,ا دهيم

االستيك تا چه تعداد تقليل پيدا مي كند.

27


اجس,ام االس,تيك را از نظ,ر تق,ارن ب,ه س,ه ن,وع مي ت,وان تقس,يم بندي كرد:

اجسام مونوكلينيك با تقارن نسبت به يك صفحه،-

اجسام ارتوتروپيك با تقارن نسبت به دو سطح متعامد،-

- اجس,ام ايزوتروپي,ك ب,ا تق,ارن نس,بت ب,ه دو مح,ور متعام,د )ب,ه بي,اني ديگ,ر م,وادي ك,ه داراي دو مح,ور تق,ارن متعام,د باش,ند، اين خاص,يت را از محوره,اي مختص,ات می آنه,ا مس,تقل ارتج,اعي دارن,د ك,ه ض,رايب

مبن,ای تع,یین اث,ر ص,فحات و محوره,ای تق,ارن برض,رایب باشند(.رابطه زیر است:


اکن,ون ب,ه عن,وان ی,ک نمون,ه، ح,الت اجس,ام مونوكليني,ك ب,ا تق,ارن نس,بت به يك صفحه را مورد بررسی قرار می دهیم.

28


الف( مواد مونوكلينيك

رفت,ار اين م,واد، داراي خاص,يت تق,ارن نس,بت ب,ا ي,ك س,طح ب,ا ب,ردار يك,ه مش,خص مي باش,د. ف,رض مي ك,نيم ك,ه رفت,ار م,اده نس,بت ب,ه يكي از

U سطح متقارن مي باشد. Ox1x2سطوح محورهاي مختصات مثال

در خالف آن، Ox3اين تق,ارن ب,دين مع,ني اس,ت ك,ه ب,ا تغي,ير دادن مح,ور مط,ابق ش,كل ' Ox1'x2'x3 بهOx1x2x3ي,ا ب,ه عب,ارت ديگ,ر تغي,ير محوره,اي

زير، تغييري در ضرايب ايجاد نمي گردد.

29


كوسينوس های هادی محورهاي جديد نسبت به قديم عبارتند از:

( n11=1, n21=0, n31=0) و(n12=0, n22=1, n32=0) (n13=0, n23=0, n33= -1) .

با استفاده از رابطه تعيين به عنوان مثال بايد داشته باشيم:

111111111111 CCnnnnC ijkllkji

ص,حت دارد. چ,ون l و k و jو i كه رابط,ه اش ب,ه ازاي كلي,ه مق,ادير 1فق,ط س,ه مؤلف,ه كوس,ينوس ه,اي ه,ادی مخ,الف ص,فر داريم. يع,ني

n11= و n22 =1 1 و - = n33.:از طرف ديگر به عنوان مثال بايد داشته باشيم

112332111123 CCnnnnC ijkllkji

كه غير ممكن است، چون:

11231123332211113211 CCnnnnCnnnn ijkllkji


30


1111 1122 1133 1112

2222 2233 2212

3333 3312

1212

1313 1323

2323

0 0

0 0

0 0

0 0

C C C C

C C C

C CC

C

C C

C

بن,ابراين ب,راي اينك,ه ض,رايب تغي,ير نياب,د، باي,د باالجب,ار مس,اوي ص,فر باش,د. ب,ه همين ت,رتيب مي ت,وان ث,ابت ك,رد ك,ه و و و و و و باي,د مس,اوي ص,فر باش,ند و در نتيج,ه

ضريب تقليل مي يابند:13ضرايب در اين حالت به

31


باش,د، مي ت,وان ب,ا اس,تداللي مش,ابه Ox2x3اگ,ر ص,فحه تق,ارن، س,طح ض,ريب 13ب,ه آنچ,ه ارائ,ه ش,د، نش,ان داد ك,ه ب,از هم ض,رايب ب,ه

تقليل مي يابد:

1111 1122 1133 1123

2222 2233 2223

3333 3323

1212 1213

1313

2323

0 0

0 0

0 0

0

0

C C C C

C C C

C CC

C C

C

C

32


به همین ت,رتیب ب,رای م,واد ارتوتروپي,ك )تق,ارن نس,بت ب,ه س,طوح Ox2x3 و Ox1x2:خواهیم داشت )

1111 1122 1133

2222 2233

3333

1212

1313

2323

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0

0

C C C

C C

CC

C

C

C

33

ب( مواد ايزوتروپيك:


مواد ايزوتروپي,ك م,وادي هس,تند ك,ه خ,واص االستيس,يته آنه,ا مس,تقل از جه,ات انتخ,اب ش,ده ب,راي تعري,ف اين خ,واص هس,تند. ب,ه عب,ارت از ان,د ك,ه مس,تقل ارتج,اعي ايزوتروپي,ك داراي ض,رايب ديگ,ر م,واد

جهت محورها مي باشد. به بي,اني ديگ,ر م,وادي ك,ه داراي دو مح,ور تق,ارن متعام,د باش,ند، اين محوره,اي از مس,تقل آنه,ا ارتج,اعي ض,رايب ك,ه دارن,د را خاص,يت

مختصات می باشند. ب,ا تك,رار اس,تدالل ه,ايي نظ,ير آنچ,ه ك,ه آم,د، مي بي,نيم ك,ه در اين گون,ه

U مح,ور – Ox3م,واد عالوه ب,ر خاص,يت تق,ارن نس,بت ب,ه ي,ك مح,ور – مثال نتايج زير را به دست مي دهد:Ox3 و Ox2، تقارن نسبت به محور

11221133

11113333

112211111313 2

1

CC

CC

CCC

34


بنابراين ضرايب ارتجاعي به دو عدد تقليل مي يابد:

1111 1122 1122

1111 1122

1111

1111 1122

1111 1122

1111 1122

0 0 0

0 0 0

0 0 0

10 0

21

02

1

2

C C C

C C

C

C C

C C

C C

35


- نم,ايش ه,اي مختل,ف ض,رايب ارتج,اعي در م,ورد مص,الح 5ارتجاعي خطي ايزوتروپيك

مالحظ,ه نم,وديم ك,ه مص,الح ارتج,اعي خطي ايزوتروپي,ك را مي ت,وان ب,ا دو ض,ريب مش,خص نم,ود. اين دو ض,ريب ب,ه س,ه ص,ورت نم,ايش داده

مي شوند:الف( ضرايب المه

اگ,ر پارامتره,اي را ك,ه ب,ه ض,رايب الم,ه مع,روف هس,تند، ب,ه صورت زير در نظر بگيريم:

1122 1111 1122

1

2C C C

36


در اين صورت خواهيم داشت:

21111C

در اين ص,ورت رابط,ه ماتريس,ي تنش – ك,رنش ب,ه ص,ورت زي,ر در خواهد آمد:

yz

xz

xy

zz

yy

xx

yz

xz

xy

zz

yy

xx

e

e

e

e

e

e

200000

020000

002000

0002

0002

0002

37


با اس,تفاده از ق,رارداد ان,ديس ه,اي تك,راري، رابط,ه بين تنش و ك,رنش ب,راي مص,الح ارتج,اعي خطي ايزوتروپی,ک ب,ه ص,ورت زي,ر نوش,ته مي

شود:

ji

ji

ee

ij

ij

kkijijij

1

0

2

مي توان نشان داد كه رابطه زیر نیز برای رابطه تنش- كرنش صحيح است:

ijkkijije

2

1.

)23(2

38


ب( ضرايب هوك

- اگ,ر درم,ورد اجس,ام ارتج,اعي خطي ايزوتروپی,ک، ب,ه ج,اي ض,رايب به صورت زير استفاده كنيم:ν و Eالمه از ضرایب

)1(2)(2

)21)(1(

)23(

E

EE

را م,دول ارتج,اعي و را ض,ريب پواس,ون مي ن,اميم، در اين E كهصورت روابط تنش-كرنش به صورت زير در خواهد آمد:

39


yz

xz

xy

zz

yy

xx

yz

xz

xy

zz

yy

xx

e

e

e

e

e

e

E

E

E

E

EE

EEE

1

01

001

000)21)(1(

)1(

000)21)(1()21)(1(

)1(

000)21)(1()21)(1()21)(1(

)1(

كه مي توان آن را با استفاده از قرارداد انديسي به صورت زير نیز نشان داد:

ji

jio

eE

eE

ij

ij

ijkkijij

1

)1()21)(1(

40


مي توان نشان داد كه رابطه تنش – كرنش زير نيز صادق است:

1(1 )ij ij ij kke

E

الزم ب,ه ذك,ر اس,ت ك,ه ض,ريب را م,دول ارتج,اعي برش,ي ن,يز نشان مي دهند. G مي نامند وآن را با

ح,الت زي,را ن,اميم، مي يافت,ه تعميم ه,وك ق,انون را م,ذكور رواب,ط تعميم يافت,ه ح,الت ي,ك بع,دي ق,انون ه,وك اس,ت ك,ه ب,ا رابط,ه

نمايش داده مي شود .

41


پ( مدول حجمي و مدول برشي

ي,ا ك,رنش حجمي را تغي,ير حجم واح,د حجم ابت,دا الزم اس,ت ك,ه در تعريف نماييم. كرنش حجمي عبارت است از :

z

w

y

v

x

ue

eeee

V

zzyyxxiiV

اگر تنش هاي وارد بر جزئي از جسم به صورت هيدرواستاتيكي باشند، يعني:

, 0 ,xx yy zz ijp i j

42


در اين صورت با توجه به رابطه خواهيم داشت:

3

2 (3 2 ) 2

, 0,3 2

xx

xx yy zz ij

pe p

pe e e e i j

با توجه به تعريف كرنش حجمی نتیجه مي شود كه:

3

23223

3

k

k

pppev

ضريب انبساط و انقباض kكه در آن حجمي و يا ضريب تغيير حجم ماده و یا

ناميده مي شود .مدول حجمی

43


ن,يز G و kرواب,ط تنش – ك,رنش را مي ت,وان ب,ر حس,ب دو ض,ريب تعريف كرد.

داريم: و ، بنابراين خواهيم داشت:

kkijkkijijij

kkijkkijijkkijijij

kGe

ekeeGeGkeG

9

1)

3

1(

2

1

)3

22()

3

2(.2

44


ت( تعيين حدود ضرايب ارتجاعي ) (

اگ,ر ميل,ه ب,اريكي از مص,الح ارتج,اعي خطي ايزوتروپي,ك را تحت اث,ر ق,رار دهيم، باي,د ط,ول آن زي,اد ش,ود. يع,ني تنش كشش,ي

: كرنش خواهيم داشت – ، پس با توجه به روابط تنش

01

EE

e xxxx همواره مثبت است. Eپس ضريب ارتجاعي

اگرج,زء ك,وچكي از مص,الح م,ذكور را تحت تنش هيدرواس,تاتيكي ق,رار دهيم باي,د حجم آن زي,اد ش,ود. يع,ني ك,رنش (p>0)كش,ش

. ب,ا توج,ه ب,ه حجمي آن باي,د مثبت باش,د. ب,ه عب,ارت ديگ,ر: روابط تنش - كرنش داريم

0 kk

pev

45


و با توجه به رابطه خواهيم داشت :

2

1

بديهي اس,ت ك,ه اگ,ر جس,م ت,راكم ناپ,ذير باش,د، در اين ص,ورت ب,ه ازاي كلي,ه مق,ادير تنش ه,اي هيدرواس,تاتيك، در جس,م تغي,ير حجمي رخ نمي

: . در اين صورت خواهيم داشت دهد. يعني kوv

2

1

در آزم,ايش ب,رش مس,تقيم، ج,زئي از جس,م را ك,ه تحت اث,ر تنش ه,اي برش,ي ق,رار گرفت,ه اس,ت، در نظ,ر مي گ,يريم. ف,رض مي ك,نيم ك,ه . در اين ص,ورت ب,ديهي اس,ت ك,ه خواه,د ب,ود. ب,ا توج,ه ب,ه رواب,ط

0تنش- كرنش خواهيم داشت:2

1 G

Ge xyxy

v

pe

k

46


چون مي باشد و است پس بايد

ولي در عم,ل مق,ادير ض,ريب پواس,ون منفي در ط,بيعت ي,افت نمي شود، بنابراين مي توان نوشت:

2

10 v

47


ث( رواب,ط تنش – ك,رنش برحس,ب ض,رايب ارتج,اعي در دستگاه مختصات استوانه اي:

1

1

1

1 1 1, ,

rr rr zz

rr zz

zz zz rr

r r rz rz z Z

e v vE

e v vE

e v vE

v v ve e e

E E E

1درمختصات كروي نيز داريم :( )

1( )

1( )

1 1 1, ,

rr

rr

rr rr

r r r r

e v vE

e v vE

e v vE

v v ve e e

E E E

48


خطي 6 ارتج,,اعي اجس,,ام كرنش,,ي ان,,رژي چگ,,الي )ايزوتروپیک برحسب ضرايب ارتجاعي

ijij eU .2

10

ض,رايب برحس,ب داريم:

U نش,ان داديم ك,ه و - قبال، ي,ك ض,ريب را ن,يز وارد مي ك,نيم. ب,ه U0 ، ام,ا ب,راي خ,ود

عبارت ديگر :

)])(1(2)(2)[(2

1

])()1[(2

1

])1[(1

2222220

20

zxyzxyxxzzzzyyyyxxzzyyxx

kkijij

kkijijij

EU

EU

Ee

49


داريم:Gو k از طرف ديگر برحسب ضرايب

از طرف ديگر با استفاده ضرايب المه داريم:

0

2

0

2 .

1

21

2

ij ij ij kk

ij ij

ij ij kk

e e

U e

U e e e

220

0

)(18

1)(

3

1

4

12

1

9

1

3

1

2

1

kkkkijij

ijij

kkijkkijijij

kGU

eU

kGe

50


22222220 2

2

1zxyzxyzzyyxxzzyyxx eeeeeeeeeU

از رابط,ه ب,اال نتيج,ه مي ش,ود ك,ه هميش,ه چگ,الي ان,رژي كرنش,ي و در نتيجه كل انرژي ذخيره شده در تمام اجسام مقداري مثبت است.

كه از بسط نتيجه مي شود: 2

0

1

2ij ij kkU e e e

51

تئ,وری مس,ائل ه,ای وی,ژگی دوم: بخش - دوم فص,ل ارتجاعی

( مسائل تئوري ارتجاعي7

الف( مقدمه- هنگ,امي ك,ه ص,حبت از ح,ل مس,ائل االستيس,يته مي ش,ود، در ح,الت كلي ه,دف، تع,يين تنش ه,ا، ك,رنش ه,ا و تغي,ير مك,ان ه,ا در جس,م جام,د

االستيكي است كه به صورتي خاص بار گذاري شده است.بايس,تي مانن,د ه,ر مس,ئله ابت,دا ب,راي ح,ل مس,ائل محي,ط االس,تيك، -ب,راي ديگ,ر، مجه,والت مس,ئله ش,ناخته ش,ده و س,پس مع,ادالت الزم

- ب,راي ح,ل ي,ك مس,ئله ارتج,اعي باي,د ش,ش مؤلف,ه تنش، ش,ش مؤلف,ه رسيدن به حل مسئله، مورد استفاده قرار گيرند.تع,يين گ,ردد. نق,اط جس,م كلي,ه تغي,ير مك,ان در ك,رنش و س,ه مؤلف,ه

مجه,ول وج,ود دارد. ب,راي تع,يين اين 15بن,ابراين در ه,ر نقط,ه از جس,م 15 معادل,ه ح,اكم ب,ر مس,ئله اس,تفاده مي ش,ود. اين 15مجه,والت از

معادله عبارتند از:

بخش دوم: ويژگي های مسائل تئوري ارتجاعي

52

تئ,وری مس,ائل ه,ای وی,ژگی دوم: بخش - دوم فص,ل ارتجاعی

- سه معادله تعادل:

رابطه تنش - كرنش :6-

رابطه كرنش – تغيير مكان: 6-

0, ijij B

, ,

1

2ij i j j ie u u

vijijkkijijij eeee .2.2

- هرگ,اه ب,راي ح,ل مع,ادالت ف,وق، آنه,ا را برحس,ب مؤلف,ه ه,اي تغي,ير عن,وان ب,ه مزب,ور ه,اي مؤلف,ه ك,ه آنج,ا از نم,اييم، تنظيم مك,ان متغيره,اي مس,تقل ب,ه ك,ار گرفت,ه مي ش,وند، احتي,اجي ب,ه بك,ار گ,رفتن مع,ادالت س,ازگاري نيس,ت. ولي اگ,ر مع,ادالت م,ذكور برحس,ب مؤلف,ه ه,اي مؤلف,ه اينك,ه ب,ه توج,ه ب,ا گردن,د، تنظيم ك,رنش ي,ا تنش ه,اي مع,ادالت از اس,تفاده اي,نرو از نيس,تند، يك,ديگر از مس,تقل مزب,ور

)سازگاري الزامي مي باشد. )

{ }

i ij ij

ij ij i

Displacement Method Stiffness Method u e

Force Method e Compatibility Equations u

��

53

تئ,وری مس,ائل ه,ای وی,ژگی دوم: بخش دوم- فص,ل ارتجاعی

- شرايط مرزي نيرويي در سطح جسم يا مرز سيستم،

- شرايط مرزي تغيير مكاني در سطح جسم يا مرز سيستم،

- تركيب شرايط مرزي نيرويي و شرايط مرزي تغيير مكاني در سطح جسم يا مرز سيستم.

- ب,راي ح,الت اول ت,رجيح داده مي ش,ود ك,ه كلي,ه مع,ادالت ح,اكم ب,ر مس,ائل تئ,وري االستيس,يته را برحس,ب تنش ه,ا بي,ان نم,ود. چ,ون عام,ل بوج,ود آورن,ده مجه,والت م,ورد نظ,ر، نيروه,اي حجمي و س,طحي اعم,ال

شده به جسم مي باشند.

( xi )ي,ا z و y و xت,ابعي از مختص,ات - هري,ك از مجه,والت مي باش,ند. اين تواب,ع ب,ه گون,ه اي هس,تند ك,ه بايس,تي در م,رز سيس,تم ي,ا

( را ارض,اء Boundary Conditionsجس,م م,ورد بررس,ي، ش,رايط م,رزي )توانن,د مي زي,ر مختل,ف ب,ه س,ه ص,ورت م,رزي اين ش,رايط نماين,د.

مشخص گردند:

, ,ij ij ie u

54

- ب,راي ح,الت دوم ت,رجيح داده مي ش,ود ك,ه كلي,ه مع,ادالت ح,اكم ب,ر مس,ائل تئ,وري االستيس,يته را برحس,ب مؤلف,ه ه,اي تغي,ير مك,اني بي,ان نم,ود. چ,ون عام,ل بوج,ود آورن,ده مجه,والت م,ورد نظ,ر تغي,ير مك,ان ه,اي

اعمال شده به جسم مي باشند.


تئ,وري ب,ر مس,ائل ت,وان كلي,ه مع,ادالت ح,اكم ب,راي ح,الت س,وم مي -االستيس,يته را برحس,ب تنش ه,ا بي,ان نم,ود ي,ا برحس,ب مؤلف,ه ه,اي تغي,ير

( -Displacement Methodب( معادالت تئوري ارتجاعي برحسب تغيير مكان ها )روش تغییر مکان مكاني.

معادله حاكم بر مسائل تئوري ارتجاعي را مي توان به سه 15- معادله مؤلفه هاي تغيير مكان ها تقليل داد. براي اين منظور كافي است كه روابط بين تنش ها و كرنش ها را در معادالت تعادل قرار

داد و سپس كرنش را بر حسب مؤلفه هاي تغيير مكان نوشت.

( ) i ij ijDisplacement Method Stiffness Method u e

55


روابط تنش – كرنش عبارتند از:vijijkkijijij eeee .2.2

معادالت تعادل عبارتند از:0, ijij B

روابط كرنش – تغيير مكان عبارتند از:

, ,

1

2ij i j j ie u u

را در رواب,ط تنش – ك,رنش ق,رار مي دهيم ) ف,رض مي eij - ابت,دا مي همگن و جس,م ايزوتروپي,ك ارتج,اعي خطي مص,الح ك,ه ش,ود

باشد، بدين معني كه مستقل از مختصات نقاط مي باشند(: , , ,ij i j j i ij k ku u u

56


kkijijjiij uuu ,,,

0,2

ii

kki B

x

uu

كه در آن ك,رنش حجمي مي باش,د و اپراتور الپالس

مي باشد. بسط رابطه مذكور نتيجه زير را به دست مي دهد:

0

0

0

332

3

222

2

112

1

Bux

e

Bux

e

Bux

e

v

v

v

,0رابطه حاصل را در معادالت دیفرانسیل تعادل قرار مي دهيم: ijij B

31 2

1 2 3v

uu ue

x x x

توجه شود که داریم:

57


( مشهور است.Navier Equationsمعادالت مذكور به عنوان معادالت ناويه )

- ب,ا ح,ل مع,ادالت ديفرانس,يل م,ذكور و ارض,اي ش,رايط م,رزي )تغي,ير جس,م نق,اط كلي,ه در مك,ان تغي,ير مؤلف,ه س,ه ن,يرويي(، و مك,اني مش,خص مي گردن,د. بع,د از ب,ه دس,ت آوردن مؤلف,ه ه,اي تغي,ير مك,ان، ب,ا اس,تفاده از رواب,ط ك,رنش – تغي,ير مك,ان، ك,رنش ه,ا ب,ه ص,ورت منحص,ر بف,رد ب,ه دس,ت مي آين,د و ب,ا اس,تفاده از رواب,ط تنش – ك,رنش، تنش ه,ا حاص,ل مي ش,وند. الزم ب,ه ي,ادآوري اس,ت ك,ه در اينج,ا ض,روري نمي باش,د ك,ه مع,ادالت س,ازگاري ك,رنش ه,ا كن,ترل ش,وند، چ,ون ك,رنش ه,ا،

U از تغيير مكان ها به دست مي آیند. مستقيماشرايط مرزي نيرويي را مي توان به صورت زير بيان نمود:

T

iijij S

PTn .

(Ti شدت نيروهاي سطحي در واحد سطح ST.)است

(nj كوسينوس هاي هادي سطح STاست كه نيروي Pi .)بر آن سطح وارد مي شود

58


:داريميا

321

321

321

nnnT

nnnT

nnnT

zzyzxzz

zyyyxyy

zxyxxxx

رابط,ه م,ذكور ب,ا در نظ,ر گ,رفتن اين نكت,ه ب,ه دس,ت آم,ده اس,ت ك,ه ك,ه اين ب,ر باش,د ك,ه عالوه اي ب,ه گون,ه باي,د تنش در جس,م توزي,ع نيروه,اي ب,ه نس,بت نماي,د، ارض,اء را داخلي جس,م تع,ادل مع,ادالت خ,ارجي وارد ب,ر س,طح جس,م ن,يز در ح,ال تع,ادل باش,د. اگ,ر نيروه,اي ادام,ه تنش ه,اي داخلي ب,ه ط,ور فرض,ي ب,ر جس,م را خ,ارجي وارد تص,ور نم,اييم، براح,تي مع,ادالت تع,ادل م,ورد نظ,ر ب,ه دس,ت مي آين,د

)تعادل چهار وجهي بي نهايت كوچك در سطح جسم(:jij

T

iiTjiji n

S

PTSnP ... kkijijjiij uuu ,,,

59


- بنابراين شرايط مرزي بر حسب تغيير مكان ها عبارتند از:

kkijijjii unnuuT ,,,

از بسط رابطه مذكور، سه شرط مرزي زير را خواهيم داشت:

V

V

V

ennx

un

x

un

x

uGn

x

un

x

un

x

uGT

ennx

un

x

un

x

uGn

x

un

x

un

x

uGT

ennx

un

x

un

x

uGn

x

un

x

un

x

uGT

333

32

3

21

3

13

3

32

2

31

1

33

232

32

2

21

2

13

3

22

2

21

1

22

131

32

1

21

1

13

3

12

2

11

1

11

60


(Force Methodپ( معادالت تئوري ارتجاعي برحسب تنش ها ) روش نیروها –

- ب,ديهي اس,ت ك,ه چنانچ,ه تنش ه,ا مش,خص باش,ند، مي ت,وان ب,ا اس,تفاده مالحظ,ه ام,ا نم,ود. محاس,به را ه,ا ك,رنش تنش، – ك,رنش رواب,ط از نم,وديم ك,ه ه,ر ن,وع توزي,ع ك,رنش در جس,م امك,ان پ,ذير نمي باش,د، زي,را باي,د مع,ادالت س,ازگاري را ارض,اء توزي,ع ك,رنش در جس,م، در حقيقت نماي,د ت,ا اين ك,ه مؤلف,ه ه,اي تغي,ير مك,اني منحص,ر ب,ه ف,ردي ب,ه دس,ت آين,د.

ابتدا معادله سازگاري زير را در نظر مي گيريم:22

332

23

222

32

232

2x

e

x

e

xx

e

فرض مي كنيم كه: 332211

EEExEEExGxx112233

22

2331122

23

223

32

2

22

(1)

{ }ij ij iForce Method e Compatibility Equations u ��

61


كه پس از ساده كردن آن به رابطه زير خواهيم رسيد:

32

232

22

2

23

2

22

332

23

222

.121

xxxxxx

تع,ادل خ,واهيم از مع,ادالت دوم و س,وم داشت:

21

12

2

22

3

23

3

32 Bxxxx

31

13

3

33

2

32

2

23 Bxxxx

معادله دوم

معادله سوم

(3)

(2)

(4)

62


و از رابط,ه س,وم تع,ادل نس,بت x2اگ,ر از معادل,ه دوم تع,ادل نس,بت ب,ه نم,اييم، خ,واهيم x3ب,ه ب,ا هم جم,ع نت,ايج حاص,ل را بگ,يريم و مش,تق

داشت:

3

3

31

132

23

332

2

2

21

122

22

222

23

322

23

232

x

B

xxxx

B

xxxxxxx

(6)

مشتق مي گيريم:x1همچنين از معادله اول تعادل نسبت به

22 21311 12 1

21 1 2 1 3 1

0B

x x x x x x

1

121

112

31

132

21

122

x

B

xxxxx

(5)

63


( جايگذاري مي كنيم:5حاصل را در معادله )

2 22 223 33 311 22 1 2

2 2 23 2 1 2 3 1 2 3

2 BB B

x x x x x x x x

(7)

( قرار مي دهيم و نتيجه زير را بدست مي آوريم:2( را در معادله )7معادله )

3

3

2

2

1

121

22

21

2

1122 11

x

B

x

B

x

B

xx (8)

64


- اگ,ر دو معادل,ه س,ازگاري مش,ابه ديگ,ر را اس,تفاده ك,نيم و عملي,ات مشابهي را روي آن انجام دهيم، خواهيم داشت:

3

3

1

1

2

222

22

22

2

2222 11

x

B

x

B

x

B

xx

2

2

1

1

3

323

22

23

2

3322 11

x

B

x

B

x

B

xx

(9)

(10)

( خواهيم داشت:10 و 9 و 8از جمع سه رابطه مذكور )

3

3

2

2

1

12

1

1

x

B

x

B

x

B

(11)

65


( جايگزين مي كنيم و نتايج زير در 10 و 9 و 8( را در روابط )11رابطه )نهايت حاصل مي شوند:

1

1

3

3

2

2

1

121

2

112 2

11

1

x

B

x

B

x

B

x

B

x

2

2

3

3

2

2

1

122

2

222 2

11

1

x

B

x

B

x

B

x

B

x

3

3

3

3

2

2

1

123

2

332 2

11

1

x

B

x

B

x

B

x

B

x

(14)

(13)

(12)

66


به روش مشابه مي توان سه معادله سازگاري را به صورت زير به دست آورد:

1

2

2

1

21

2

122

1

1

x

B

x

B

xx

2

3

3

2

32

2

232

1

1

x

B

x

B

xx

3

1

1

3

13

2

312

1

1

x

B

x

B

xx

67


شش رابطه اخير را مي توان با استفاده از نماد انديسي به صورت يك معادله زير نوشت:

2

2 1

1 1ji

ij iji j j i

BBvdiv B

x x v x x

��

كه در آن داريم:

3

3

2

2

1

1

x

B

x

B

x

BBdiv

شش رابط,ه اخ,ير در حقيقت هم,ان مع,ادالت س,ازگاري مي باش,ند ك,ه مع,ادالت س,ازگاري ب,ه و ان,د بي,ان ش,ده تنش ه,اي مؤلف,ه ب,ر حس,ب

( معروف مي باشند.Beltrami - Michellبلترامي – ميشل )

68


- بنابراين توزيع تنش در يك جسم بايد روابط زير را ارضاء نمايد:

الف( سه معادله تعادل

Beltrami – Michellب( شش معادله سازگاري

پ( شرايط مرزي نيرويي

در حالتي كه نيروهاي حجمي وجود نداشته باشند یا مقادیر ثابتی باشند، به صورت زير در مي آيند: Beltrami – Michellمعادالت سازگاري

01

1 22

jiij xx

(در دستگاه مختصات دكارتي)

69


در دستگاه Beltrami – Michell- براي نوشتن معادالت سازگاري مختصات كروي يا استوانه اي فقط كافي است كه اپراتور

را بدانيم. به عنوان مثال مي توان نشان داد كه در دستگاه مختصات استوانه اي اپراتورهاي به صورت زير مي

باشند :

22

2

2

2 11

11

zrrr

rr

z

BB

rrB

rrBdiv z

r

میشل در غیاب نیروهای حجمی، در – معادالت سازگاری بلترامیدستگاه مختصات استوانه ای به صورت زیر نوشته می شوند:

01

1422

2

22

2

rrr

rrrrr

011

1

1422

2

22

2

rrrrrr

rr

70


01

12

22

zzz

0421

1

122

2

rrrr

rrrr

02

.

1

1

122

22

rrzr

zzrz

02

.1

122

22

rrzr

zrzzr

که در آنها داریم: نیز پیش از این در دستگاه مختصات استوانه ای تعریف شده است.

71


ت( منحصر بفرد بودن جواب برای مسائل تئوری هدف این است که نشان دهیم که جواب مسائل تئوری ارتجاعی، ارتجاعی

منحصر بفرد می باشند )فرض می شود که تغییر شکل ها کوچک بوده و روابط تنش – کرنش خطی می باشند(.

برای اثبات منحصر بفرد بودن جواب از برهان خلف استفاده می کنیم:

فرض می کنیم که جسمی تحت نیروهای حجمی و نیروهای سطحی وارد بر سطح در حال تعادل است. اگر چنانچه جواب ها

منحصر بفرد نباشند، الاقل دو سری جواب به صورت زیر می توان 32122112211برای مسئله در نظر گرفت: ,,,...,,,...,, uuuee

32122112211 ,,,...,,,...,, uuuee

72


معادله حاکم بر مسئله و شرایط مرزی یکسانی را ارضاء 15که باید نمایند. بنابراین برای جواب سری اول باید داشته باشیم:

ii

ijij

ijij

uu

Tn

B

.

0,

ST روی

SU روی

و برای جواب سری دوم نیز باید داشته باشیم:

ii

ijij

ijij

uu

Tn

B

.

0,

ST روی

SU روی

73


اگر روابط مذکور را به طور متناظر از همدیگر کم نماییم، در این صورت خواهیم داشت:

,0

. 0

0

ij ij j

ij ij j

i i

n

u u

سه رابطه حاصل، توزیع جدیدی را از تنش نشان می دهند که با نیروهای سطحی صفر و نیروهای حجمی صفر در حال تعادل بوده و

تغییر مکان صفر دارند. Suدر روی سطح چنانچه جسمی تحت تأثیر هیچ گونه نیروهای خارجی )سطحی و حجمی( نباشد و بر آن تغییر مکان هایی نیز اعمال نگردد، بدیهی

است که انرژی کرنشی در آن ذخیره نمی گردد. پیش از این نشان همیشه مثبت بوده و تابع درجه دوم U0 دادیم که چگالی انرژی

کرنش ها می باشد.

74


U چگالی انرژی در وقتی انرژی کرنشی در جسمی صفر باشد، اجباراکلیه نقاط آن باید صفر باشد و این در صورتی امکان دارد که کلیه مؤلفه های کرنش ها صفر باشند. وقتی کلیه مؤلفه های کرنش در –کلیه نقاط جسم صفر باشند، در این صورت با توجه به روابط تنش کرنش، باید کلیه مؤلفه های تنش در کلیه نقاط جسم صفر باشند. بنابراین در کلیه نقاط جسم )با توجه به اصل اجتماع اثر قوا( باید

0: داشته باشیم ijij

بنابراین دو سری جواب در نظر گرفته شده برای مسئله باید یکسان باشند و از اینجا یکتا بودن و منحصر بفرد بودن جواب مسائل تئوری

– ارتجاعی )در حالت تغییر شکل های کوچک و روابط خطی تنش کرنش( نتیجه می شود.

تئوری الاستیسیته

Documents

Transcript of تئوری الاستیسیته