Учитель информатики высшей категории Зигангараева Рамзия Накиповна

Методика преподавания темы «Система счисления»

МОУ Гимназия п.г.т. Б.Сабы

Подготовка учащихся к ЕГЭ по информатике

2009 г

Структура подготовки:

Разбор заданий Задания для

самостоятельной работы

Разбор заданий Справочный

материал

Кодирование чисел в разных системах счисления.

Вычисления в разных системах счисления.

Позиционные системы счисления.

Система счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления

• Система счисления – совокупность приемов и правил для обозначения чисел и действий над ними.

• Системы счисления принято делить на две основные группы: позиционные и непозиционные.

• Алфавит системы счисления – это упорядоченное множество всех символов, используемых для записи чисел в данной системе счисления.

Справочный материал

В непозиционных системах счисления значение цифры не зависит от ее положения в записи числа

Примером может служить римская система счисления.

Римские цифры обозначаются буквами латинского алфавита:

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Примеры:

VI = 5 + 1; IV = 5 – 1; VIII = 5 + 3; XL = 50 – 40;

CCCXXVII = 100 + 100 + 100 +10 +10 +5 + 1 + 1=327;

CCXCIX = 100 + 100 + (-10 + 100) + (-1 + 10) = 299

Позиционная система счисления - это система счисления, в которой величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции в числе.

Например, десятичное число 555. В нем первая цифра 5 означает пять сотен, вторая – пять десятков, а третья – пять единиц.

То есть его можно записать вот так:555 = 5 × 100 + 5 × 10 + 5 × 1 или 555 = 5 × 102 + 5 × 101 + 5 × 100.547,25 = 5 × 102 + 4 × 101 + 7 × 100 + 6 × 10-1 + 5 × 10-2

Любое число в позиционной системе счисления имеет вид:Aq = ±an-1qn-1 + an-2qn-2 +...+ a0q0 + a-1q-1 + a-2q-2 + a-mq-m,

Aq – само число, q –основание системы счисления, ai – цифры данной системы счисления.

Количество используемых цифр в алфавите системы счисления называется ее основанием

Система счисления

Основание Алфавит

Десятичная 10 0 1 2 4 5 6 7 8 9

Двоичная 2 0 1

Троичная 3 0 1 2

Восьмеричная 8 0 1 2 4 5 6 7

Шестнадцатеричная 16 0 1 2 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Перевод чисел в десятичную систему счисления

Пример 1. Найти сумму чисел 1112 + 1118 + 11116.

Решение

1112= 1х22 + 1х21 + 1х20 = 4 + 2 + 1 = 710;

1118= 1х82 + 1х81 + 1х80 = 64 + 8 + 1 = 7310;

11116= 1х162 + 1х161 + 1х160 = 256 + 16 + 1 = 27310.

1112 + 1118 + 11116 = 7 + 73 + 273 = 35310.

Пример 2. Перевести в десятичную систему счисления по схеме Горнера числа 1038; 101012.

Решение

1038 = (1х8 + 0)х8 + 3 = 6710.

101012 = (((1х2 + 0)х2 +1)х2 + 0)х2 + 1= 2110.

Перевод чисел из десятичной в другие системы счисления.Алгоритм перевода целого десятичного числа N в позиционную систему с основанием p

1. Разделить нацело число N на p.

2. Полученный остаток от деления дает цифру, стоящую в нулевом разряде p-ичный записи числа N .

3. Полученное частное снова разделить нацело на p и снова запомнить полученный остаток – это цифра первого разряда, и.т.д.

4. Такое последовательное деление продолжается до тех пор, пока частное не станет равным 0.

5. Цифрами искомого числа являются остатки от деления, выписанные слева направо, начиная с последнего полученного остатка.

Пример.

Перевести десятичное число 20 в двоичную, троичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Решение

q, p –основания системы счисления

q=10, p=2 q=10, p=3 q=10, p=8 q=10, p=16

20 0 20 2 20 4 20 4

10 0 6 0 2 2 1 1

5 1 2 2

2 0

1 1

Результат:2010=101002, 2010=2023, 2010=248, 2010=1416.

Таблица соответствия для двоичной и десятичной систем.

Степень числа 2 Десятичное значение Двоичное значение

20 1 1

21 2 10

22 4 100

23 8 1000

24 16 10000

25 32 100000

26 64 1000000

27 128 10000000

28 256 100000000

29 512 1000000000

210 1024 10000000000

десятеричная двоичная восьмеричная шестнадцатеричная

0 0 0 0

1 1 1 1

2 10 2 2

3 11 3 3

4 100 4 4

5 101 5 5

6 110 6 6

7 111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A

11 1011 13 B

12 1100 14 C

13 1101 15 D

14 1110 16 E

15 1111 17 F

16 10000 20 10

Связь между родственными системами счисления

Пример1. Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления число 1011000010,00110012.

Решение

Разобьем исходное число на группы по 3 цифры, начиная от десятичной запятой, и заменим триады восьмеричными цифрами:

001 011 000 010 , 001 100 100 – двоичное число;

1 3 0 2 , 1 4 4 - восьмеричное число.

Разобьем число на группы по 4 цифры, начиная от десятичной запятой, и заменим тетрады шестнадцатеричными цифрами:

0010 1100 0010 , 0011 0010 - двоичное число;

2 С 2 , 3 2 - шестнадцатеричное число.

Результат: 1011000010,00110012 = 1302,1448 = 2С2,3216.

Пример2. Заменить числа 2607,348 и 6В07,D416 равными им двоичными значениями.

Решение

Заменим каждую цифру числа 2607,348 восьмеричной триадой:

2 6 0 7 , 3 4 – восьмеричное число;

010 110 000 111, 011 100 – двоичное число.

Результат: 2607,348 = 10110000111,0111002.

Заменим каждую цифру числа 6В07,D416 шестнадцатеричной тетрадой:

6 B 0 7, D 4 – шестнадцатеричное число;

0110 1011 0000 0111, 1101 0100 –двоичное число.

Результат: 6В07,D416 =110101100000111,1101012.

Разбор заданий

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2010 г.

А1. Дано А=9D16, В=2378. Какое из чисел С, записанных в двоичной системе, соответствует условию A<C<B ?

1) 100110102 2) 100111102 3) 100111112 4) 110111102

Решение. (1 способ).

Через десятичную систему А=9D16=9·161 + 13·160= 144 + 13=157, В=2378=2·82 + 3·81 + 7·80=128 + 24 + 7=159.

Ответы запишем в десятичной системе:

1) 100110102 =1·27 + 1·24+ 1·23+ 1·21=128+16+8+2=154

2) 100111102 = 1·27 + 1·24+ 1·23 + 1·22 + 1·21 =128+16+8+4+2=1583) 100111112 = 1·27 + 1·24+ 1·23 + 1·22 + 1·21 + 1·20 = 128 + 16 + 8 + 4

+ 2+1=159 4) 110111102 = 1·27 + 1·26+ 1·24 + 1·23 + 1·22 + 1·21 = 128 + 64 + 16 + 8 +4+2= 222. Между 157 и 159 будет число 158.

Значит, ответ – 2.

(2 способ) Через двоичную систему счисления:

9 = 10012 и D16=11012, значит А=9D16=100111012.

2= 0108 , 3= 0118 , 7= 1118 , значит В=2378=10011112.

100111012 < 100111102 < 10011112 , C=100111102

Ответ – 2.В3. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 49 записывается в виде 100. Укажите это основание.Решение.4910= 100х, 49 = 1·х2 + 0·х1 + 0·х0, х2 = 49, х = 7.Проверка: 1007 = 1·72 = 49.Ответ: 7.

А4.Чему равна сумма чисел Х и Y, если Х=1101112 и Y=1358.

Результат представьте в двоичном виде. 1) 110101002 2) 101001002 3)100100112 4) 100101002

Решение. Х=1101112 Y=1358 = 10111012

Сумма: 1101112 + 10111012 = 100101002

таким образом, верный ответ – 4 .

B31. Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 10, 11, 12, …, 17 в системе счисления с основанием 5.

Решение:переведем все указанные числа в систему счисления с

основанием 5: 10 = 205, 11 = 215, 12 = 225, 13 = 235, 14 = 245, 15 =

305, 16 = 315, 17 = 325 .

считаем цифры 2 – получается 7 штуктаким образом, верный ответ – 7 .

1 Источники заданий:http://kpolyakov.narod.ru

Задания для самостоятельной работы

Задачи для тренировки1:1. Как представлено число 8310 в двоичной системе

счисления?1) 10010112 2) 11001012 3) 10100112 4) 1010012

2. Сколько единиц в двоичной записи числа 195?1) 5 2) 2 3) 3 4) 4

3. Сколько единиц в двоичной записи числа 173?1) 7 2) 5 3) 6 4) 4

4. Как представлено число 25 в двоичной системе счисления?1) 10012 2) 110012 3) 100112 4) 110102

5. Как представлено число 82 в двоичной системе счисления?1) 10100102 2) 10100112 3) 1001012 4) 10001002

6. Как представлено число 263 в восьмеричной системе счисления?

1) 3018 2) 6508 3) 4078 4) 7778

1 Источники заданий:http://kpolyakov.narod.ru

7. Как записывается число A8716 в восьмеричной системе счисления?1) 4358 2) 15778 3) 52078 4) 64008

8. Как записывается число 7548 в шестнадцатеричной системе счисления?1) 73816 2) 1A416 3) 1EC16 4) A5616

9. Дано: , . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству ?

1)11010011 2) 11001110 3) 11001010 4) 1100110010. Вычислите сумму чисел x и y, при x = 2718, y = 111101002.

Результат представьте в шестнадцатеричной системе счисления.1) 15116 2) 1AD16 3) 41216 4) 10B16

11. Вычислите сумму чисел x и y, при x = A116, y = 11012. Результат представьте в десятичной системе счисления.1) 204 2) 152 3) 183 4) 174

8322a 164Db

12. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4.

13. В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается в виде 110. Укажите это основание.

14. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 27 оканчивается на 3.

15. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 26, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на 22?

16. Укажите, сколько всего раз встречается цифра 3 в записи чисел 19, 20, 21, …, 33 в системе счисления с основанием 6.

17. Десятичное число, переведенное в восьмеричную и в девятеричную систему, в обоих случаях заканчивается на цифру 0. Какое минимальное десятичное число удовлетворяет этому условию?

ЗаключениеДля подготовки к ЕГЭ по информатике

нужно выбирать задания из имеющихся на сегодняшний день в базе данных контрольно-измерительных материалов (КИМ), из демонстрационных КИМ за прошедшие годы.

Желаю вам творческих успехов в новом учебном году.

Ресурсы

http://www.ege.edu.ru/

http://kpolyakov.narod.ru/

http://g2p.tatar.ru/rus/ege_documents_2009_rus.htm

http://www.it-n.ru/communities.aspx?cat_no=85737&tmpl=com( форум)

Литература. Угринович Н.Д. Информатика и информационные технологии. Учебник для 10-11 классов. – М.: Бином Лаборатория знаний, 2002г.