子空间 运算 交与和 直和
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1
子空间子空间 运算运算
交与和交与和
直和直和
第十三讲
2
§4 子空间§4-1 子空间的定义及例子
.的一个子空间是也是线性空间,则称子集,如果
的非空是是线性空间,定义:设
V
WW
VWV
.算封闭中定义的加法和数乘运对的子空间的充要条件是是那么
的非空子集,是线性空间定理:设
VW
VW
VW
GA13
3
)().(
,0
,.
011
ANspacenull
AA
R
AXAn
nm
记为的零空间称为的作用下化为它在的子空间这个空间是一个线性空间的解全体构成,则:设例
一组基。的基础解系就构成它的
时当
0
,)(dim
,)(,}0{)(
AX
rnAN
rArAXRXAN n
1 2exp1: ( ) , , ,n mV F 给定 的一组向量
4
的子空间,是且对加法和数乘封闭
是非空
)(,
},,2,1,{1
FV
miFkkW
n
m
iiii
.
,16
的列空间称为的列向量生成的空间由:设例
A
AA nm
.,,,
,,,,),,,(
21
2121
的生成空间称为记为
m
mmL
.)(
,)()(dim
},{),,()(
),,,(
1
1
的一组基极大线性无关组就是的列向量组的
则记
AR
AArAR
RXAXAALAR
AAAn
n
n
5
0 1
1
0
N
2A N
( ),N A A ( )R A
设为 5阶方阵,
的化零空间 的列空间试求 A 和0 0 1
0 0 1
0 0 1
0 0
0
A
解: 1 0 0
0 1 0
( ) , ,0 0 1
0 0 0
0 0 0
R A
( ) 1 0 0 0 0 , 0 1 0 0 0T T
N A
Exp2:
6
§4-2 子空间的运算
.},{
.},{,)(,8
21
22112121
212121
21
的和与称为
的交与称为的两个子空间是:设定义
WWWWWW
WWWWWWFVWW n
).(},0{
.)(:1exp
32121
213
RVWWWW
oyzWxWRV
那么平面为轴,表中,在
.)(),,( 分解唯一任 kajaiaaaa zyxzyx
).(,
.)(:2exp
32121
213
RVWWyWW
oyzWoxyWRV
轴则平面表平面,表中,在
7
表示不唯一。
)()()(
任
][
)(),,(
kajajiakajaia
kajaiaaaa
zyxzyx
zyxzyx
.10 均为子空间:两个子空间的交与和定理
.
0000,0:
21
2121
非空由证WW
WWWW
222111222
1112121
21
,
,,
,,
WWW
W
WW
,,,其中则
又设
.
.
2121
212211
WWkkk
WW
)()(
8
左右
有右任
212)2(1)1(
)2()1(11
,,
,
,:
WWWW
prooft
iii
s
iii
.
,,,,,
,,
1121
22
1121
右左右,左右,线性表出,可由
且有左而任
ts
WW
nnn FV 11 ,,)(
1 1 2 1
1 2 1 1
, , , , , ,
( , , , , , ).s t
s t
W W
W W L
2命题 :设 则
9
)dim()dim(dimdim
12
212121 WWWWWW (维数公式)定理
;,,,,,,
.)(dim,dim,dim:
111
211
2121
rtt
t
WWW
tWWsWrWproof
,的基把它扩充为的基,是
设
.,,,,, 112 sttW 的基把它扩充为
2W1W )1(,0
,,,,,,
11
1111
21111
sstt
rrtttt
strtt WW
设
的基恰为,,要证
10
sstttt
tWW
1111
121 ,,, 使故存在
,,,1,0
,,,,,, 211
si
W
i
stt
得线性无关。的基为而
,)1(,01 式中代回特别 st
).dim()dim(dimdim
,,,,,,,,
,,1,0
,,,,,
212121
111
11
WWWWWW
ri
strtt
i
rtt
线性无关于是得
线性无关得:又由
11
.1000
0010
0101,},,{
;0100
0011,},0{19
2
1
基为
基为:例
RzyxzxyxW
RyxyxxW
241325421
5432121
).(),,,(),,,,(
eeeeRMeeeeLeeeeeLWW
1 2 3 4 1 2
1 1( ) ( ),
1 0k e e k e e W W k
215421
524412
))(()(
)(),(
deeabceae
decebeeeadcbaRMdc
ba
e1 e2
e3 e4 e5
12
§4- 3 子空间的直和
1 2
1 2 1 2 1
2 1 2
9 : , ( ) ,
0 ,
, .
nW W V F
W W W W W
W W W
定义 设 是 的子空间如果 则称 为子空间与 的直和 记为
:4
,,)(,: 2121
个命题等价则以下的子空间是设定理 WWWFVWW n
.000
0)4(
;
,,,)3(
);dim()dim()dim()2(
};0{)1(
21
221121
21
21
即中元素和的方法唯一,与表为
分解式唯一任
WW
WWW
WWW
WW
13
,0dim),2()1(: 21 WWproof 由维数公式立得,
则的基的基取
则设)(
m
r
W
WmrW
mWrW
,,
,,,,dim
,dim,dim),3(2
12
11
21
.0
,)4()3( 21
向量的分解式唯一方法唯一,中元素和的与表为
WWW
,,
.,,,,,,
,dim,,,,,,
11
11
在此基下坐标唯一任的基为线性无关
且
W
W
mrWW
mr
mr
唯一2
21
121
11
,WW
xxm
iiir
r
iii
14
,)(
,)(
},{)()(
000
0
014
21
21
于是
则若WW
WW
.},{
.
2121 0
0
WWWWW 即必的分解式不唯一,矛盾则
1 2
1 2 1 1 2 2
{0} ,
, , .
W W W
W W
至少有一个
分解式唯一
命题
.,)(
)(
212
1
WWVWFV
FVW
n
n
使的子空间的子空间,怎么样去找是若
15
中的补子空间在称为 )(12 FVWW n
(其不唯一)
1 1
1 1 2 1
( )
.m n
m m n m n
W V F
W
从 选基 , ,扩充为空间 的基< >, , , ,则 ,
,若要求正交补则唯一。
0 1W
2W2W1W
1
2
16
1 2
3 4 5
1 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 1 0 0.
1 0 0 0 0 1
k k
k k k
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5k e k e k e k e k e
1 3
1 4
2 3
50
k k
k k
k k
k
1 2 3 4 5, 0k k k k k k