用「ㄒ一ㄣ」營造數學學習情境－一位師資培育者的行動與反省

嘉義大學數學教育所姚如芬

一位師資培育者的自我期許

『為最重要的工作 準備最好的人！』

近幾年研究方向聚焦 「透過數學教學模組的發展 協助中小學教師數學教學專業的成長」 希望經由「課程發展」與「師資培育」兩個面

向，學習如何陪伴教師一起為孩子營造合宜的數學學習情境。

相關的研究結果主要有二： 「各類數學教學模組之發展與實踐」的系列報導 「職前教師與在職教師之數學教學專業成長探

究」的經驗分享

「教學模組」之意涵 (一 )

所謂「教學模組」係指由同一主題貫穿的一系列的教學活動，每個教學活動皆與該主題相關且皆可獨立存在，而教學者可視實際教學的需要自行組裝此些教學活動，無需從頭到尾全數實施。

「教學模組」之意涵 (二 ) 若以「集合」的觀點言之，「教

學模組」就如同一個由許多教學活動（元素）所組成的有主題的「集合」，在此主題之下，教學者可視實際的教學狀況抽取部份「元素」形成一個新「子集」以進行教學，此乃本研究所稱「教學模組」之意涵。

Example of 「時間」教學模組 小丸子的一天 我的假日生活 名勝古蹟之旅 周休二日何處去 環島旅行出發了

壹、緣起不滅 彰化師大整合型計畫 九年一貫課程實施 「由下而上」的課程發展 教師之於課程的角色 師資培育內涵的檢視

貳、牽你的手，走長長的路

一趟用「ㄒ一ㄣ」營造數學學習情境的旅程

用「ㄒ一ㄣ」營造數學學習情境的旅程

「未雨綢繆的職前培力」 「團體運作的支持成長」 「志同道合的『工作坊』式」 「大手牽小手，作伴向前行」

「未雨綢繆的職前培力」 行動研究 「準備階段、基礎階段、實作階段、分享階段

與統整階段」 相關研究工具

「小組實作學習單」 「互評與自評表」 「成長手冊綱要」 「教學模組設計評鑑表」

培育職前教師數學教學設計能力之可行模式

預備階段

鷹架階段

實作階段

分享階段

統整階段

職前教師之任務

課程規劃基本資料調查需求評估

小學數學課程介紹學校本位課程介紹統整課程介紹

實作學習單設計評鑑表

互評與自評表

成長手冊綱要期末問卷

行動研究報告

依個人意願分組準備合作學習

相關文獻閱讀

教學模組設計實作小組各項書面報告

小組口頭報告組間討論與分享

修訂教學模組上傳小組書面報告

培育模式之歷程

師資培育者之行動

「團體運作的支持成長」 -1

「數學教學成長團體」 「發展教學模組」 、 「進行教學研究」

「 OCTL 」模型

「教學模組」設計之考量面向

O C

 T L

圖 1. 「 OCTL」模型

「團體運作的支持成長」 -2 相關的研究工具：

「數學教學成長團體調查問卷」 「從事數學教學研究的看見」問卷 「數學教學設計專業成長調查問卷」

「數學教學成長團體之運作模式」

基礎期

分享與實作期

統整期

轉

承 合

起

教學設計

研究資源

教學資源

情感支持

預備期

數學教學專業成長

學

成

長

團體

教學

數

學教學

數

成

長

團

體

「團體運作的支持成長」 -3 發現：數學教學設計的實作歷程與「數

學教學成長團體」的討論情境確實有助於增進成員的數學知識之縱深與廣度、且幫助其數學課程知識由點狀的理解進展為線狀的連結，進而使其課程知識的結構較為全面性、亦使成員對於學生學習數學的理解產生質變與量變、並有助於成員發現與累積更多豐富可用的教學資源（姚如芬， 2006 ）

「志同道合的『工作坊』式」 2001 年暑假 「數學教學模組發展工作坊」 「數與計算」、「量與實測」、「圖形

與空間」、以及「統計與機率」 「大車拼」教學模組

「大手牽小手，作伴向前行」 大學與小學的結合 歷時二年的合作式行動研究 1. 學校本位的分數教學模組宋江陣、校園植物、慶生會、鄉土踏查及資訊融入等

2. 一系列分數概念的補救教學 數 fun興中 -- 舞動數學生命力 ~~

参、收割與分享－ 建構「數學教學模組資料庫」

職前教師所設計之教學模組 「學校本位」教學模組設計成品 「統整課程」教學模組設計成品

在職教師所設計之教學模組

「網路知識學園」

「學校本位」教學模組設計成品 北港牛墟烤肉行 布袋漁港巡禮 阿里山快樂丘之旅 民雄采風之旅 白河蓮花節 蘭潭小童軍

大家來「打貓」 安平、平安 戰地之旅 澎湖逍遙遊 東石傳說 北斗之旅 墾丁風情 綠島小夜曲

金門縣鄉鎮圖

綠島小夜曲

東石傳說－ㄇ字型的家

船仔頭 三合院 正身 護龍

「統整課程」教學模組設計成品 快樂的耶誕節 淡水線捷運之旅 動物追追追 超級比一比 與我們生活息息

相關的「圓」 核四？合適？

歡天喜地過新年 歡喜迎新年 歡度耶誕 水資源 鬥陣來去逛夜市 跟著時間走 快樂過耶誕 這是個什麼數？

各位同學，以下是聖誕老公公準備挑選買的禮物：

禮  

物

抱枕 盆栽 糖果 布娃娃 衣服

價錢 30.9

元15.2

元10.5

元13.7 元 25.4 元

神奇迷宮 1

神奇迷宮 2

在職教師教學模組設計成品 時間 重量 分數 小數 因數 四邊形與角 長條圖與折線圖 圖形與空間 圓

柱體與錐體 時間運算 七巧板 商高定理 變數與函數 多項式乘法 因式分解 推理幾何 商高定理（ GSP版）

『網路知識學園』

肆、展望—未來發展

弱勢學習者的數學學習輔導 案例教學在數學師資培育之應用

弱勢學習者的數學學習輔導

新移民女性之子女 原住民 社經文化不利者 數學低成就者

「新移民女性」子女的數學學習 -1

在全球化趨勢與人口大遷移的潮流中，台灣的人口面貌也逐漸地改觀；近二十年來遽增的跨國聯姻，使得「新移民女性」之子女數日益增多。然而，過去關於此類新興族群的報導大都鎖定在生活適應或較為一般性的教育問題，至於其『數學』學習情形的探究則較為欠缺。

「新移民女性」子女的數學學習 -2

雲林、嘉義、台南三縣共 14所國小、28個二年級班級、 777名學童，其中含有「新移民女性」子女 92 名

「國小一年級數學基本能力測驗」 『關於「新移民女性」子女的數學教

育』教師問卷 調查研究

「新移民女性」子女的數學學習 -3

嘗試了解研究樣本中「新移民女性」子女關於「國小一年級數學內容」的學習表現、同時並進行各類的學習表現差異分析；

接著探究「新移民女性」子女在數與計算、量與實測、圖形與空間、統計、以及代數等五大數學主題中的解題表現；

另外亦透過問卷探訪受測教師關於『「新移民女性」子女的數學教育』之觀點與作法

「新移民女性」子女的數學學習 -4

不論是在各數學主題或總得分方面，研究樣本中「新移民女性」子女的數學學習表現之個別差異情形極大；

若比較五個數學主題的表現，則樣本中的「新移民女性」子女在「統計」主題之表現最佳，其次依序為「圖形與空間」、「量與實測」、「數與計算」，而在「代數」主題之平均表現最差；

「新移民女性」子女的數學學習 -5

若與一般生比較，儘管整體樣本中的「新移民女性」子女在「總分」以及「量與實測」、「圖形與空間」此二主題的得分平均數顯著低於一般生（達 0.05的顯著水準），但並非所有地區的「新移民女性」子女其數學學習表現均較一般學童低落＊

不同母親國籍的「新移民女性」子女在各數學主題的學習表現之差異性皆未達顯著水準。

「新移民女性」子女的解題表現 -1

有關 92 名「新移民女性」子女在「數與計算」主題的解題表現

「能進行 2個一數、 5個一數、 10個一數等活動」、「能運用數表達多少、大小、順序」、「能做一位數的連加」、「認識「個位」與「十位」的位名，並進行位值單位的換算」、以及「能認識 1元、 5元、 10元、 50 元等錢幣幣值，並做 1 元與 10 元錢幣的換算」對大部份的個案而言皆非難事；不過，仍有部份個案對於基數與序數的概念混淆不清，亦有個案因欠缺「位值」概念無法正確解答。此外，由於對於題意的認識不清，致使部分個案在「使用＋、－、＝做橫式紀錄，並解決生活中的問題」表現稍弱。

「新移民女性」子女的解題表現 -2有關 92 名「新移民女性」子女在「量與實測」

主題的解題表現 「能認識長度，並做直接比較」、「能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較物體的長短」、以及「能認識常用時間用語，並報讀日期與鐘面上的整點、半點的時刻」對於大部分的「新移民女性」子女個案而言並非難事。不過仍有少數個案對於長針與短針所表徵的時與分之二維判讀仍有待加強。此外，有將近半數的個案誤以為 9月的第一天是從星期一或星期日開始；而對於起始點並非在原點的刀片長度之判讀，亦有超過半數的學童無法成功解題。

「新移民女性」子女的解題表現 -3有關 92 名「新移民女性」子女在「圖形與空間」主題的解題表現

「能描繪或仿製簡單平面圖形」與「能認識直線與曲線」這兩類關於「平面圖形」相關概念、以及「能描述某物在觀察者的前後、左右、上下及兩個物體的遠近位置」這樣的空間概念對於大部分的「新移民女性」子女個案而言在解題上並無困難；然而在有關「簡單形體的立體堆疊」之解題表現則較弱，有將近半數的學生無法「看見」存在於立體圖形背後的正方體。

「新移民女性」子女的解題表現 -4

有關 92 名「新移民女性」子女在「統計」主題的解題表現

由於 92 名「新移民女性」子女在「能對生活中的事件或活動做初步的分類與紀錄」的解題答對率幾乎接近百分之百，顯示「統計」主題的學習對個案而言並未構成困難。

「新移民女性」子女的解題表現 -5有關 92 名「新移民女性」子女在「代數」

主題的解題表現 對於半數左右的個案而言，要用算式或是以文字描述出自己的解題想法，是比較困難的；此外，題目中若有大量的文字敘述，容易導致許多「新移民女性」子女個案產生較大的解題困擾。

「新移民女性」子女的解題表現 -6

整體觀之，相較於其他四個數學主題，92 名個案在「代數」主題之解題表現最差。

一般而言，此 92 名「新移民女性」子女在數學解題上易有之迷思與一般學童的迷思相近。

教師關於『「新移民女性」子女的數學教育』之觀點與作法 （一）超過半數的受訪教師不認為班上「新移民女性」

子女的數學學習表現普遍較弱。（二）大多數的受訪教師不會因為班上有「新移民女

性」子女而採用與其生活經驗相關的例子來解說數學概念。

（三）部分受訪教師會針對「新移民女性」子女的數學表現調整教學。

（四）只有少數受訪教師會引導學生去理解：數學知識形成過程中可能隱含的文化偏見。

（五）超過半數以上的受訪教師大致同意學校有關注到「新移民女性」子女的學習或適應問題，但對「新移民女性」子女的「數學教育」並未特別重視。

各類研究之關連性

數學教學模組的發展與實踐+

弱勢學習者數學學習探究↓

「數學教 /學研討案例」↓

多元文化的數學師資培育

案例教學在數學師資培育之應用

“數學敎 /學 Q&A”之編寫 在職師資培育之應用 職前師資培育之應用

「數學學習研討案例」 利用學童之數學學習迷思，轉化製

作為「 問題情境」，並從情境中引出可供討論的數學學習或教學問題，目的是希望透過教師間討論，能刺激並引導教師發現情境中學童的數學學習困境，同時思考解決之道。

「數學教學研討案例」 利用教師（含職前與在職教師）之數學

教學迷思或教學當時並未妥善處理的教學狀況，轉化製作成「 問題情境」，並從情境中引出可供討論的數學教學問題，目的是希望透過教師間討論，能刺激並引導教師發現情境中的數學教學盲點，同時思考解題之道。

「數學教 /學研討案例」的成分 教學單元 教學目標 教學對象 學生預備經驗 「 問題情境」描述 問題討論與可能解法 （教 /學問題 Q&A）

數學學習研討案例示例

教學單元：向左走向右走 教學目標：在真實的情境轉換時，能正確辨認左右方向。 教學對象：國小四年級 學生預備經驗：具備對於基本的左右方向之認知 教學情境：　　　老師在複習過基本方向概念語詞後，出了下列問題

向左走向右走向左走向右走

1. 小婷從家裡出發走到路口，想走到露營區應該往（ ）轉。（填左或右）2. 如果小婷放學後從學校走到路口，要到馬場騎馬的話，應該往（ ）轉。（填左或右）

學校

馬場 露營區

家

結果老師發現小書第一題答對，但是第二題答錯。且小書在圖上自行標示露營區為「右」，馬場為「左」。

教學問題 Q&A ：Q1 請問小書的學習迷思為何？Q2 教師應該如何協助小書破除迷思？

A1. 小書的學習迷思主要是誤認左右方向為絕對性，從小書在試卷上自行標示露營區　　為「右」，馬場為「左」的行為中。可發現他在一開始作答時，即認定他所看到　　左右方向是固定的，因此，當參考點的位置改變，小書由面向學校改變為面向家　　裡時，小書的左右方向並未隨之相對改變，也因而影響他第二題的作答。導致小　　書雖然知道走的路線，卻無法察覺左右方向亦隨之改變。A2. 教學建議：　　 (1) 重新復習左右方向　　 (2) 以實際操作讓學生發現方向為相對性，例：

　　　　 a. 讓兩位學生面對面，請他們同時舉起右手，此時兩位學生雖然　　　　　都舉右手，但是彼此看來卻是不同方向的手。　　　　 b. 讓一位同學指出自己的左邊，然後轉身再一次指出，藉此讓學　　　　　　　　生發現，左右方向會根據自己面對的方向而有所改變。

　　　　　 (3) 教師統整結論，之後再出類似題目，驗證學生是否精熟。

數學學習研討案例示例

東西南北

教學單元：東西南北 教學目標：能確認參考點並辨識出東西南北的基

本方位。 教學對象：國小四年級 學生預備經驗：具備對於基本的方向之認知。 教學情境： 教師復習基本的方向概念，以此為基礎介紹東南

西北的意義、用法，在課堂結束前發給學習單，學習單內容如下：

如上圖。請問：請問學校在小華家的哪個方向？（請用東南西北回答）請問小華家在燈塔的哪個方向？（請用東南西北回答）

結果老師發現小美認為，學校在小華家的東方，而小華家在燈塔的北方。(六 ) 、教學問題：Q1. 請問小美的學習迷思為何？

Q2. 教師應該如何協助小美破除迷思？

小華家 學校

燈塔

日出

A1. 小美的學習迷思可能是忽略圖示給予的方向線索，也就是日出的方向代表著東方的意思；也可能是以為圖上方恆為北方，所以判定圖的右方為東方，因此認為：學校在小華家的東方，而小華家在燈塔的北方。

A2. 教學建議： 教師應分兩種狀況進行方位教學：一為真實情境的方位判斷、一為

地圖上的方位判斷。在真實情境中，東西南北的方位是固定的，不會因為個體的旋轉或移動而有所改變 ；然而在地圖上，東西南北方向的定位可能因繪圖者的角度會有所轉變（例如：圖上方未必恆為北方），但東方的對向是西方，而南方的對向是北方，此四者間的相對位置是不會改變的。因此，教師應特別叮嚀學生在看圖回答方位時，首先要注意圖中所給的方向線索，若無特別標示，才依習慣上圖示的上方為北方來作答。

結合校園景況讓學生了解真實情境中的東西南北方位 教師可將學生帶至校園，引導學生找出東西南北四方位，並且

透過轉向等活動讓學生了解：不管自己面向哪個方向，東西南北方位在真實的情況中都是不變的。

引導學生練習地圖上的方位判斷 讓學生在紙張上畫出東西南北的十字方位，教師發令練習，例如：指定前

方為北方，學生依照老師的指示旋轉紙張對齊教師要求的方向，同理多加練習幾次，藉此讓學生熟習不同地圖上東西南北方向的轉換。

接著讓學生將紙張上的十字方位與題目附圖中所提示的線索相對照，以確認圖示的方向，幫助學生做出正確答案。

教師統整結論，之後再出類似題目，驗證學生是否精熟。

“數學敎 /學 Q&A”之編寫 -1

一、透過文獻探討、 數學教學模組的研究發現、以及小學教師提供等，蒐集與整理學童之數學學習迷思， 然後轉化成為「數學學習研討案例」。 主要結果

共計編寫出 25個「數學學習研討案例」，依適用年級整理、表列。

“數學敎 /學 Q&A”之編寫 -2

二、透過在職教師提供、或研究者到校教學訪視的課室觀察與記錄、以及數學教材教法課之學生試教等，蒐集教師之數學教學盲點， 然後轉化成為「數學教學研討案例」。 主要結果

經由一年來的蒐集與整理，共計編寫出 7個「數學教學研討案例」，依適用年級整理、表列。

“數學敎 /學 Q&A”之編寫 -3 具體成果

1. 「數學教 /學研討案例」手冊2. 「數學教 /學研討案例」敎師用版

在職師資培育之應用 職前師資培育之應用

伍、從教育「數學」到數學「教育」

數學教育界的唐吉珂德 「數學」 vs. 「教育」 「把數學學好」 vs.「和數學做好朋友」

數學教育中的「人文關懷面」

用『ㄒㄧㄣ』營造數學學習情境 用「欣」開啟我們的學習意願－願意學

習為孩子營造合宜的數學學習情境 用「心」感受孩子的學習並反省自身的

教學 用「新」創造數學教學活動，以豐富孩

子的學習視野 用「馨」營造愉悅的數學學習情境，好讓所有的孩子都能夠快樂地學習數學！