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數學解謎—數學史的啟發與應用

國立勤益科技大學基礎通識教育中心劉柏宏

102 年 4 月 10 日於國立嘉義大學

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數學史與數學教學為何需要數學史我們需要什麼樣的數學史數學史能為學生做些什麼數學史能為老師做些什麼數學史真的有效嗎 ?如何使用數學史 ?

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為何需要數學史

為何不需要何謂教學何謂數學何謂教數學

4

需要什麼樣的數學史

人事時地物當時關心的問題當時困難與想法當時解決的方法數學思想的演變

5

6

古埃及數字無位値制之觀念

無零的符號

7

21237730200100020000

8

荷魯斯之眼

9

1/8

1/2

1/41/16

1/321/64

10

古埃及單位分數

16463

641

321

161

81

41

21

11來源：大英博物館網站

古埃及萊因草紙

12

9

8

8

1605.3

第 50題：直徑為 9的圓形面積等於邊長為 8的正方形面積將圓直徑扣去其九分之ㄧ，即餘 8 。做乘法 8 乘以 8 ，得 64 。這就是圓形面積。

能一般化嗎？

13

以分母均相異之單位分數表示

41

21

43

201

41

21

54

?75

14

古埃及乘法基於被乘數加倍的概念3123=?23=1+2+4+163123

=496+124+62+31 =813

3123 =31(1+2+4+16)

1 31

2 62

4 124

8 248

16 496

乘法對加法的分配律

15

這些字母代表什麼意思？

16

羅馬數字I=1

V=5

X=10

L=50

C=100

D=500

M=1000

17

建於 1888 年

1000 300 30

500 50 8

18

古巴比倫帝國

19

古巴比倫地圖泥板

20

古巴比倫的六十進位

21

1,57,46,40 = 1 ⅹ 603 + 57 ⅹ 602 + 46 ⅹ 60 + 40 = 424000

22

古巴比倫數字系統沒有零的符號 ( 以空位表示 )不同數字可能具有相同符號122=2×60+2=7202=2×602+2=

23

耶魯大學 7289 號泥板

24

30

1 24 51 10

42 2535

25

1; 24, 51, 10 = 1+24/60+51/3600+10/216000 = 1.414212963 2 = 1.414213562

30×1.414212963 = 42.42638889 = 42+25/60+35/3600 = 42; 25, 35

耶魯大學 7289 號泥板解碼

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圓面積

面積 = 周長的平方除以12

r 圓周率 π= ？圓周率 π = 3

27 27

今有積三百步。問為圓周幾何？答曰：六十步。開圓術曰：置積步數，以十二乘之，以開方除之，即得周。

+ 現在有個圓形其面積為 300 。問圓周為何？+ 答曰： 60 。+ 開圓算法：將圓面積乘以 12 ，再開方，就得到圓周。

九章算術開圓術

28 28

九章算術劉徽

注九章算術原文

劉徽注

29 29

A'' A

從圓內接正六邊形作圓內接正十二邊形

英家銘老師製作

劉徽割圓術

30 30

A'' A

半周（正六邊形周長的一半）半周（正六邊形周長的一半）

半徑半徑

正六邊形的半周 ×半徑＝正十二邊形面積（非常接近圓面積）英家銘老師製作

劉徽割圓術

31 31

C

ED

B'''''

B''''

E

同樣的道理，正十二邊形的半周 × 半徑＝正二十四邊形面積（超級接近圓面積）

半周（正十二邊形周長的一半）半周（正十二邊形周長的一半）

半徑半徑

英家銘老師製作

劉徽割圓術

32

化圓為矩

r

r

33

《論圓的測量》：圓面積等於一個以此圓半徑為高、圓周長為底之直角三角形的面積阿基米德圓面積公式

r

2r

34

球表面積 = 外切圓柱側面積 =4 r2

r

r

35

球表面積等於外切圓柱側面積

r

2r

36

sinh

r

r sin h

圓球上斜圈面積 2

( sin )

sinr h

= 2 r h

= 圓柱上環圈面積

h

37

38

麥卡托投影地圖

)secln(tan,0

0

yx

為緯度為地圖中心的經度，為經度，

38

39 3939

阿基米德：球表面積 =4 r2 ，所以球體積 =

r

3

34 r

40

阿基米德的驕傲外切圓柱體表面積：圓球表面積

=3:2外切圓柱體體積：圓球體積 =3:2

4141

2500 BC~1500 BC 1500 BC~600 BC 322 BC~185 BC

印度河流域文明約誕生於西元前 2500 年但在西元前 1500 左右突然消失

進入吠陀時代著名經典為吠陀經宗教為婆羅門教孔雀王朝的第三任皇帝阿育王將佛教推廣至全國

西元前 562年釋迦摩尼誕生

印度吠陀時代

42

43

44

吠陀圖形乘法

4545

納皮爾(John Napier, 1550~1617)

蘇格蘭數學家、物理學家兼天文學家熱衷於政治、神學與占星，是個怪咖預言世界末日將在1688 年或者 1700年到來

4646

納皮爾計算尺(Napier Bones)

47

納皮爾計算尺 (骨頭 )(Napier Bones)

48

467853997

49

4678539996431

50

從解方程式到抽象代數中外古文明均發展各類算則 ( 演算法 ) 以見招拆招的方式解決不同的算術問題。西元 1600 年以前算術解法均以文字敘述方式表示。歐洲文藝復興時期掀起三次與四次方程解題大戰。

5151

x3+mx=n 之解

332

332

27422742mnnmnnx

5252

文藝復興時期解方程簡史德費洛 (del Ferro) 解出不完全三次方程式x3+mx=n方特那 (Fontana) 解不完全三次方程式x3+mx2=n卡當諾 (Cardano) 得出 x3+mx=n 公式解，並以代換方式求出一般三次方程式的解四次方程透過代換降為三次方程

5353

五次方程有公式解嗎？

5454

阿貝爾(Niels Henrik Abel, 1802–1829)

生於挪威一生貧困但不潦倒高中時即熟讀歐拉、拉普拉斯、高斯等人之數學作品高中老師 Holmboe ：他充滿無可置信的天分與對數學的熱愛。假以時日必成為最偉大的數學家之一

5555

思考歷程原先證明五次方程式有根式通解。Holmboe和兩位數學家看過之後均認為證明無誤。丹麥數學家 Ferdinand Degen 要求阿貝爾求出方程式 x5+ 2x4 +3x24x+5=0 之解。 阿貝爾發現自己之錯誤。苦思許久後開始嘗試證明五次方程式沒有根式通解。

5656

請閣下審閱在下有關五次方程式無根式解的證明

高斯：這小子是誰？難道不知道我很忙嗎？

56

5757

柯西：咦？那位年輕人的論文被我放到那兒去了？

請閣下審閱在下有關五次方程式無根式解的證明

Abel 於 1826 年 10 月 30提交論文給法國科學院

5858

久無下文，於 1826 年 12 月 26 日又至德國由於盤纏用盡，身染重病，於 1827 年 5 月20返回挪威，繼續整理論文1828 年初吐血，經診斷為肺結核1829 年 4 月 6 日與世長辭1829 年 4 月 8 日德國朋友 Crelle寫信告知：

親愛的朋友，告訴你一個好消息。敝國教育部長已經決定聘僱你到柏林工作！

5959

伽羅瓦 (Évariste Galois,1811-1832) 生於法國，書香世家

12歲以前， Galois 的教育全部由他的母親負責父親在 Galois 4 歲時被選為 Bourg La Reine 的市長16歲開始跟隨 Vernier 老師學習數學，引爆對數學的熱情

6060

一連串的不幸報考工藝大學兩次均名落孫山父親於第二次考試前夕自盡身亡建立「群論」用以證明五次方程式並無根式解存在，於 1829 年 5 月 25 日將論文提交法國科學院

6161

請閣下審閱在下有關五次方程式無根式解的證明

柯西：我原本今天要報告關於伽羅瓦的論文審查結果，不過身體有點不舒服……61

科西原預定1830 年 1 月 18日報告結果 , 不過請假。但是於 1 月 25 日的報告中卻無提及。

6262

請閣下審閱在下有關五次方程式無根式解的證明

傅利葉：不好意思，我已於 5月 16日蒙主寵召，來不及看你的論文……62

1830 年 2月提交論文角逐論文獎

6363

一場死亡約會1832 年 5 月 30 日清晨，一位路人發現腹部中彈的伽羅瓦……1832 年 5 月 31 日上午 10:00伽羅瓦氣絕身亡

Why?

6464

群 (group) 的定義群是由一個集合 G 以及一個運算 * 所組成的結構 (G,*) ，並滿足下列條件：(1)封閉律 (closure): aG, bG a*b G(2)結合律 (association): a*(b*c)=(a*b)*c(3) 單位元 (identity): e a*e=a(4)逆元 (inverse): a1 a*a1=e

6565

伽羅瓦的貢獻 19世紀以前，數學家求解方程式一直是以方程式的次數分類。但伽羅瓦卻改以探究方程式根的結構分類。將向來依據操作演算的求解方程進階到抽象代數的領域。

6666

數字拼版遊戲1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 12 15

13 14 11

6767

數字拼版遊戲1 2 3 4

6 7 8 12

5 10 11 15

9 13 14

68

古埃及分數表示法的疑惑古埃及分數表示法要求將任何分數都分解為分母相異的單位分數之和。是否所有的分數都可以用這種方式表示？

工作坊問題 ( 一 )

69

9

8

8

古埃及萊因草紙第 50題：直徑為 9 的圓形面積等於邊長為 8 的正方形面積。你能猜出當時他們是如何得到這個算法？

工作坊問題 ( 二 )

70

阿基米德在《論圓的測量》中證明： 圓面積等於一個以此圓半徑為高、圓周長為底之直角三角形的面積。你能猜出他是怎麼得到這個想法？

阿基米德圓面積公式

r

2r

工作坊問題 ( 三 )

71

工作坊問題 ( 四 )古巴比倫流傳一個遺產分配的故事。一老翁有七位兒子，老翁過世後遺囑交代，老么分得 2兩黃金，老六比老七多 1/6 ，老五比老六又多 1/6 ，餘依此類推。左邊泥板從倒數第二行開始記載著七位兒子分得的黃金重量。但考古學家發現倒數第四行最後一個數字模糊了，你能算出該數字為何嗎？

72

為什麼阿基米德求出球表面積 =4 r2後，能立即猜測出球體積 =

r

3

34 r

工作坊問題 ( 五 )

73

請解釋利用吠陀圖形乘法求 21×32=672 的原理工作坊問題 ( 六 ~1)

6 7 2

74

請解釋利用吠陀圖形乘法求 12×34=408 的原理工作坊問題 ( 六 ~2)

3

108

75

請解釋納皮爾骨頭的乘法原理工作坊問題 ( 七 )

7676

數字拼版遊戲1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 15 14

請問如何將左圖中的 14 與 15 對調成右圖？請解釋你的作法或想法？ 工作坊問題 ( 八 )

77

78

球體面積與體積

總底面積 = 球體面積圓錐體積 =1/3( 底面積 ×

高 )3

34 r 球體體積 = 　　 球體面積

r 31

r

7979

數字拼版遊戲1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 12 15

13 14 11

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 13 14 11

倒置 6次

8080

數字拼版遊戲1 2 3 4

6 7 8 12

5 10 11 15

9 13 14

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 2 3 4 6 7 8 12 5 10 11 15 9 13 14

倒置 10次

8181

數字拼版遊戲1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 15 14

如何移動才能將 14 與 15調換？

倒置數為 1 ，奇數，不可能！

8282

數字拼版遊戲1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 15 14

倒置數為 1 ，奇數，不可能！

工作坊問題 ( 八 )

8383

問題的啟示

只要掌握問題的基本結構，不必逐步運算就可以知道答案！

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數學史能為老師做些什麼

理解學生學習的困難教材安排的指引對數學知識與思考本質的認識

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教材安排的指引

以歷史觀點取代現今觀點安排教材歷史發展困難之所在亦可能為學生認知障礙之所在 (種系發生學 )歷史上數學家之智慧可做為現今教學之啟發

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數學史是有效的教學媒介嗎 ?

Annie Seldon: Is there any evidence showing that including the history of mathematics is effective in the teaching of mathematics?教學的目的什麼樣的教學才叫有效無任何證據顯示數學史可以幫助學生考高分發展其數學觀點並進一步改進學習行為

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如何“使用”數學史 ?

如何在已嫌擁擠的課程中擺入數學史 ?教數學史就是在教數學本身數學史不可以和課程分離“整合”數學史與課程而不僅是在教學中“使用”數學史

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宏觀數學

微觀數學

透視數學