第一节 时间数列的编制

第三节 长期趋势的测算

第二节 时间数列的分析指标

第四节 季节变动的测算

第九章 时间数列

第五节 循环变动和不规则变 动的测算

第一节 时间数列的编制第一节 时间数列的编制

时间数列时间数列时间数列时间数列把反映现象发展水平的统计指标数把反映现象发展水平的统计指标数值，按照值，按照时间先后顺序时间先后顺序排列起来所排列起来所形成的统计数列，又称形成的统计数列，又称动态数列。动态数列。

现象所属的现象所属的时间时间

反映现象发展水平的反映现象发展水平的指标数值指标数值构成要素构成要素：：

一、时间数列的概念一、时间数列的概念一、时间数列的概念一、时间数列的概念

研究作用研究作用

11 、可以、可以描述社描述社会经济现象的会经济现象的发展状发展状况和结果况和结果 ； ；

22 、可以、可以研究社会经济现象的研究社会经济现象的发展速发展速度、发展趋势和平均度、发展趋势和平均水平水平，探索社会，探索社会经济现象发展变化的规律，并据以对经济现象发展变化的规律，并据以对未来进行统计预测； 未来进行统计预测；

33 、可以、可以利用不利用不同的但互相联系的时同的但互相联系的时间数列进行间数列进行对比分析或相关分析对比分析或相关分析。 。

年份 国内生产总值（亿元） 年份 国内生产总值

（亿元）1979

1980

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

4038.2

4517.8

4862.4

5294.7

5934.5

7171.0

8964.4

10202.2

11962.5

14928.3

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

16909.2

18547.9

21617.8

26638.1

34634.4

46759.4

58478.1

67884.6

74462.6

79395.7

要素一：时间要素一：时间 tt 要素二：指标数值要素二：指标数值aa

1985-1998年中国人口数

100000

105000

110000

115000

120000

125000

130000

1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

年份

人口数（万人）

t

a

1950-1998年中国水灾受灾面积(单位：千公顷）

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

（一） 按数列中所排列指标的表现形式（一） 按数列中所排列指标的表现形式不同分为：不同分为：

绝对数数列

相对数数列

平均数数列 （平均指标数列）（平均指标数列）

（相对指标数列）（相对指标数列）

时点数列时期数列

二、时间数列的种类二、时间数列的种类二、时间数列的种类二、时间数列的种类

（总量指标数列）（总量指标数列）

（ 2 ）时点数列

（ 1 ）时期数列

11 、总量指标时间数列、总量指标时间数列11 、总量指标时间数列、总量指标时间数列由反映一段时期内社会经济现象发展的总量或总和的绝对数所组成的时间数列。由反映一时点上社会经济现象所处的水平的绝对数所组成的时间数列

二者的区别

2、各指标数值大小是否与其时间长短直接相关。

1、各指标数值是否具有可加性

3、各指标的数值的取得方式。是连续登记还是一次性登记。

22 、相对指标时间数列、相对指标时间数列22 、相对指标时间数列、相对指标时间数列 把一系列同类的相对指标按时间先后顺序排列起来所形成的时间数列，称为相对指标时间数列。它反映现象各种数量对比关系的发展变化状况。各指标数值是不能相加的。

33 、平均指标时间数列、平均指标时间数列33 、平均指标时间数列、平均指标时间数列 把一系列同类的平均指标按时间先后顺序排列起来所形成的时间数列，称为平均指标时间数列。它反映客观现象一般水平的发展变动趋势。各指标数值一般来说是不能相加的，但有时为了计算序时平均数，各个指标数值在计算过程中也需相加。

（二） 时间序列按指标变量的性质和数（二） 时间序列按指标变量的性质和数列形态不同可分为：列形态不同可分为：

随机性时间数列

非随机性时间数列 趋势性时间数列

平稳性时间数列

季节性时间数列

三、时间数列变量和形态的识别三、时间数列变量和形态的识别三、时间数列变量和形态的识别三、时间数列变量和形态的识别

自相关 是指时间数列前后期数值之间的相关关系。其相关关系程度的测定就是自相关系数

自相关系数 相关关系程度的测定就是自相关系数

自相关系数的计算自相关系数的计算自相关系数的计算自相关系数的计算 设 x1, x2 ,… ， xt ,… ， xn 是一个时间数列各期观察值，共有 n 项。将前后相邻两期的观察

值一一成对，就有 n-1 对数据，即：

(x1 , x2) , (x2 , x3) ,…, (xt ,xt+1) ,…, (xn-1 , xn)

用 r1 表示他们的相关系数，计算公式如下：

1

1

1

1

211

2

1

111

1

)()(

))((

n

t

n

ttttt

n

ttttt

xxxx

xxxxr

1

11

1 n

ttt x

nx

其中：

1

111 1

1 n

ttt x

nx

r1— 时间延迟 1 的自相关系数，测定前后相邻观察值相关关系程度。同理，可将时间数列中每间隔一期的数据一一成对，组成 n-2 对数据，即 (x1 , x3) , (x2 , x4) ,…, (xt ,xt+2) ,…, (xn-2 , xn)

用 r2 表示他们的相关系数，计算公式如下：

2

1

2

1

222

2

2

122

2

)()(

))((

n

t

n

ttttt

n

ttttt

xxxx

xxxxr

2

12

1 n

ttt x

nx

其中：

2

122 2

1 n

ttt x

nx

r2— 时间延迟 2 的自相关系数，测定数列中t 期观察值和 t+2 期观察值相关关系的程度。

当 n 很大时， rk— 时间延迟 k 的自相关系数计算公式为：

kn

t

kn

tktt

kn

tktt

k

xxxx

xxxxr

1 1

22

1

)()(

))((

若一个时间数列所有的自相关系数若一个时间数列所有的自相关系数 rr1 1 , , rr22 , ,

… , … , rrkk 都近似的等于零，表明该时间数列都近似的等于零，表明该时间数列属于随机性时间数列。属于随机性时间数列。若一个时间数列的第一个自相关系数若一个时间数列的第一个自相关系数 rr11

比较大，比较大， rr2 2 , , rr33 渐次减小，从 渐次减小，从 rr44 开始趋近开始趋近于零，表明该时间数列属于平稳时间数列。于零，表明该时间数列属于平稳时间数列。若一个时间数列的第一个自相关系数若一个时间数列的第一个自相关系数 rr11

最大，最大， rr2 2 , , rr33 等多个自相关系数逐渐递减但等多个自相关系数逐渐递减但不不

自相关系数与数列性质的关系：自相关系数与数列性质的关系：自相关系数与数列性质的关系：自相关系数与数列性质的关系：

为零，表明该时间数列属于趋势性时间数为零，表明该时间数列属于趋势性时间数列。列。若一个时间数列的第一个自相关系数若一个时间数列的第一个自相关系数 rr11 ，，rr2 2 , … , , … , rrkk 出现周期性的变化，每间隔若干出现周期性的变化，每间隔若干个便有一个高峰，表明该时间数列属于季个便有一个高峰，表明该时间数列属于季节性时间数列。节性时间数列。

保证数列中各期指标数值的可比性保证数列中各期指标数值的可比性

四、时间数列的编制原则四、时间数列的编制原则四、时间数列的编制原则四、时间数列的编制原则

各期指标数值所属时间可比（各期指标数值所属时间可比（时间长短时间长短应该前后一致应该前后一致））各期指标数值总体范围可比（各期指标数值总体范围可比（总体范围总体范围应该统一应该统一））各期指标数值计算口径可比（各期指标数值计算口径可比（计算方法计算方法应该统一应该统一））各期指标数值经济内容可比（各期指标数值经济内容可比（经济内容经济内容应该统一应该统一））

指标 1952-1957

1958-1962

1963-1965

1966-1976

1977-1986

社会总产值 （亿元）工业总产值（亿元）工业总产值比重（ %）

8283.4

3404.5

41.1

11448.2

6903.3

60.3

6698

3878.1

57.9

47210.7

29553.9

62.6

103902.5

83849.3

80.7

6年

5年

3年

11年

10年

1 、时期指标时间长短前后不一致

3534 2985

1179

3320

1350

3580

1429

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

1995 1996 1997 1998

1995-1998年川、渝国内生产总值

四川 重庆

2 、总体范围不统一

甲厂乙厂乙厂来料加工 , 总加工费 5000 元 , 产品总价值 20000 元

工业总产值的计算原规定 :

甲厂计 20000元乙厂计 20000 元

现规定 :

甲厂计 20000元乙厂计 5000元

3 、计算方法不统一甲厂带料委托乙厂加工产品 , 材料总价值 10000 元 .

10 吨标准煤10 吨煤

4 、经济内容不统一

第二节 时间数列的分析指标

（一）发展水平（一）发展水平 （一）发展水平（一）发展水平

指时间数列中每一项指标数值

反映的是客观现象在各个时间上所达到的规模和发展的程度。它是计算其他时间数列分析指标的基础。

一、现象发展的水平指标一、现象发展的水平指标 一、现象发展的水平指标一、现象发展的水平指标

发展水平发展水平 发展水平发展水平

设时间数列中各期发展水平为：设时间数列中各期发展水平为：

NN aaaa ,,,, 121

最初水平 中间水平 最末水平

（ N 项数据）

（ n+1 项数据）或：或：nn aaaa ,,,, 110

平均发展水平平均发展水平平均发展水平平均发展水平又叫序时平均数序时平均数，，是把时间数列中各期指标数值加以平均而求得的平均数

一般平均数与序时平均数的区别：一般平均数与序时平均数的区别：计算的依据不同计算的依据不同：：前者是根据变量数列前者是根据变量数列计算的，后者则是根据时间数列计算的；计算的，后者则是根据时间数列计算的； 说明的内容不同说明的内容不同：：前者表明总体内部各前者表明总体内部各单位的一般水平，后者则表明整个总体在单位的一般水平，后者则表明整个总体在不同时期内的一般水平。不同时期内的一般水平。

（二）平均发展水平（二）平均发展水平 （二）平均发展水平（二）平均发展水平

序时平均数的计算方法序时平均数的计算方法序时平均数的计算方法序时平均数的计算方法⒈⒈ 由由总量指标时间数列总量指标时间数列计算计算序时平均数序时平均数

⑴由时期数列计算，采用简单算术平均法

n

a

n

aaaa

n

ii

n

121

1a 2a 1na na

a

年份年份 能源生产总量（万吨标准煤）能源生产总量（万吨标准煤）19941994

19951995

19961996

19971997

19981998

118729118729

129034129034

132616132616

132410132410

124000124000

1994-19981994-1998 年中国能源生产总量年中国能源生产总量

万吨标准煤8.1273575

124000132410132616129034118729

N

aa

【例】

⑵由时点数列计算

n

a

n

aaaa

n

ii

n

121

①由连续时点数列计算

对于逐日记录对于逐日记录的时点数列可的时点数列可视其为连续视其为连续

a

1a 2a 1na na ※间隔相等时，采用简单算术平均法

序时平均数的计算方法序时平均数的计算方法序时平均数的计算方法序时平均数的计算方法

日期日期 66 月月 11日日

66 月月 22日日

66 月月 33日日

66 月月 44日日

66 月月 55日日

收盘价收盘价 16.216.2元元

16.716.7元元 17.517.5 元元 18.218.2 元元 17.817.8

元元

)(28.175

8.172.185.177.162.16元

n

aa

解解

某股票连续 某股票连续 5 5 个交易日价格资料如下：个交易日价格资料如下：【例】

⑵由时点数列计算

m

ii

m

iii

m

mm

f

fa

fff

fafafaa

1

1

21

2211

①①由连续时点数列计算由连续时点数列计算

※间隔不相等时，采用加权算术平均法

对于逐日记录的对于逐日记录的时点数列时点数列 ,, 每变每变动一次才登记一动一次才登记一

次次

序时平均数的计算方法序时平均数的计算方法序时平均数的计算方法序时平均数的计算方法

某企业某企业 55 月份每日实有人数资料如下：月份每日实有人数资料如下：

日 期日 期 1~91~9 日 日 10~1510~15 日 日 16~2216~22 日 日 223~313~31 日日

实有人数实有人数 780 784 786 783780 784 786 783

)(7839769

9783778667849780人

f

afa解解

【例】

②由间断时点数列计算

每隔一段时间登记一次，表现为

期初或期末值

※间隔相等相等 时，采用简单序时平均法

222254433221 aaaaaaaa

42222

54433221 aaaaaaaa

1522

5432

1

a

aaaa

1a 2a 3a 4a 5a一季度初

二季度初

三季度初

四季度初

次年一季度初

122 12

1

n

aaa

a

a

nn

一般有：

序时平均数的计算方法序时平均数的计算方法序时平均数的计算方法序时平均数的计算方法

时间 3 月末 4 月末 5 月末 6 月末

库存量 ( 百件 ) 66 72 64 68

百件67.6714

2

686472

2

66

a

解解：：第二季度的月平均库存额为：第二季度的月平均库存额为：

某商业企业某商业企业 19991999 年第二季度某商品库年第二季度某商品库存资料如下，求第二季度的月平均库存存资料如下，求第二季度的月平均库存

额额

【例】

※间隔不相等不相等 时，采用加权序时平均法

222433221 aaaaaa

211

22

12

12

433221

aaaaaa

90天 90天 180天1a 2a 3a 4a一季度初

二季度初

三季度初

次年一季度初

121

11

232

121

222

n

nnn

fff

faa

faa

faa

一般有：

时间 1 月 1日

5 月 31日

8 月 31日

12 月 31日

社会劳动者人数 362 390 416 420

万人75.396435

42

4204163

2416390

52

390362

a

单位：万人某地区某地区 19991999 年社会劳动者人数资料如下年社会劳动者人数资料如下【例】

解解：：则该地区该年的月平均人数为：则该地区该年的月平均人数为：

⒉⒉计算相对数时间数列的序时平均数计算相对数时间数列的序时平均数

基本公式基本公式b

ac

b

ac

i

ii :则若时间数列

⑴ ⑴ aa 、、 bb 均为时期数列时均为时期数列时

ac

a

b

cb

b

a

nb

na

b

ac

1

序时平均数的计算方法序时平均数的计算方法序时平均数的计算方法序时平均数的计算方法

月 份 一 二 三计划利润（万元） 200 300 400

利润计划完成程度（﹪） 125 120 150

某化工厂某年一季度利润计划完成情况如下某化工厂某年一季度利润计划完成情况如下

因为因为 ba

c计划利润实际利润

完成程度利润计划

所以，该厂一季度的计划平均完成程度为 ：所以，该厂一季度的计划平均完成程度为 ：

﹪4.134400300200

4005.13002.120025.1

b

cb

b

ac

【例】【例】

nb

bbb

naaaa

b

ac

nn

nn

221

21

121

⑵ ⑵ aa 、、 bb 均为时点数列时均为时点数列时

122

122

121

121

nb

bbb

na

aaa

b

ac

nn

nn

⑶ ⑶ aa 为时期数列、为时期数列、 bb 为时点数列时为时点数列时

月 份 三 四 五 六 七 工业增加值（万元） 11.0 12.6 14.6 16.3 18.0

月末全员人数（人） 2000 2000 2200 2200 2300

【例】【例】已知某企业的下列资料：已知某企业的下列资料：

要求计算： 要求计算： ①①该企业第二季度各月的劳动生产率 ；该企业第二季度各月的劳动生产率 ；②②该企业第二季度的月平均劳动生产率；该企业第二季度的月平均劳动生产率；

③③该企业第二季度的劳动生产率。该企业第二季度的劳动生产率。

a

b

四月份： 人元6300220002000

100006.121

c

五月份： 人元4.6952222002000

100006.142

c

六月份： 人元1.7409222002200

100003.163

c

解：①解：①第二季度各月的劳动生产率：第二季度各月的劳动生产率：

③③该企业第二季度的劳动生产率该企业第二季度的劳动生产率：：

cN

b

aC

人元28.20714

142

220022002000

22000

100003.166.146.12

②②该企业第二季度的月平均劳动生产率该企业第二季度的月平均劳动生产率：：

人元76.6904

142

220022002000

22000

33.166.146.1210000

b

ac

平均发展水平计算总结平均发展水平计算总结

序时平均方法

总量指标

时期数列 简单算术平均

时点数列

连续时点

间隔相等 简单算术平均间隔不等 加权算术平均

间断时点

间隔相等 两次简单平均间隔不等 先简单后加权

相对指标、平均指标

视情况选用：先平均再相除、先加总再相除、加权算术平均、加权调和平均等

11 、增长量、增长量 11 、增长量、增长量 又称增长水平，它是报告期水平与基期水平之差，反映报告期比基期增长的水平。说明社会经济现象在一定时期内所增长的绝对数量。

增长水平 = 报告期水平 - 基期水平

其计算公式为：

（三）增长量和平均增长量（三）增长量和平均增长量 （三）增长量和平均增长量（三）增长量和平均增长量

设时间数列中各设时间数列中各期发展水平为：期发展水平为： nn aaaa ,,,, 110

11201 ,,, nn aaaaaa

00201 ,,, aaaaaa n 逐期增长量累计增长量

二者的关系二者的关系⒈ 011201 aaaaaaaa nnn

⒉ niaaaaaa iiii ,,2,11010

22 、平均增长量、平均增长量22 、平均增长量、平均增长量 逐期增长量的序时平均数逐期增长量的序时平均数

n

aa

n

aan

n

iii

011)(

平均增长量

年距增长量年距增长量年距增长量年距增长量 本期发展水平与去年同期水平之本期发展水平与去年同期水平之差，目的是差，目的是消除季节变动的影响消除季节变动的影响

niLaa iLi ,,2,1124 ；或增长量年距

11 、发展速度、发展速度11 、发展速度、发展速度 指报告期水平与基期水平的指报告期水平与基期水平的比值，说明现象的变动程度比值，说明现象的变动程度

设时间数列中各设时间数列中各期发展水平为期发展水平为：： nn aaaa ,,,, 110

二、现象的发展速度分析指标二、现象的发展速度分析指标 二、现象的发展速度分析指标二、现象的发展速度分析指标

（一）发展速度和增长速度（一）发展速度和增长速度 （一）发展速度和增长速度（一）发展速度和增长速度

11

2

0

1 ,,,n

n

a

a

a

a

a

a环比发展速度

定基发展速度00

2

0

1 ,,,a

a

a

a

a

a n

（年速度）（年速度）

（总速度）（总速度）

环比发展速度与定基发展速度的关系环比发展速度与定基发展速度的关系：：

12

1

1

2

0

1

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

0a

an

1

0

00

1

0

i

iii

a

a

a

a

a

a

a

a),2,1(

1

nia

a

i

i

年距发展速度年距发展速度年距发展速度年距发展速度

niLaa

i

Li ,,2,1124 ；或展速度年距发

﹪速度发展

基期水平基期水平报告期水平

速度增长

100

22 、增长速度、增长速度22 、增长速度、增长速度指增长量与基期水平的比值，指增长量与基期水平的比值，说明报告期水平较基期水平说明报告期水平较基期水平增长的程度 增长的程度

环比增长速度环比增长速度环比增长速度环比增长速度

定基增长速度定基增长速度定基增长速度定基增长速度

年距增长速度年距增长速度年距增长速度年距增长速度

﹪10011

1

i

i

i

ii

a

a

a

aa

﹪10000

0

a

a

a

aa ii

﹪100

i

Li

i

iLi

a

a

a

aa

说说明明说说明明

发展速度与增长速度性质不同。前者发展速度与增长速度性质不同。前者是动态相对数，后者是强度相对数；是动态相对数，后者是强度相对数； 定基增长速度与环比增长速度之间定基增长速度与环比增长速度之间没有直接的换算关系。没有直接的换算关系。

增长增长 1%1% 的的绝对值绝对值增长增长 1%1% 的的绝对值绝对值

指现象每增长指现象每增长 1﹪1﹪ 所代表所代表的实际数量的实际数量

定基增长速度增长定基增长速度增长1%1% 的绝对值的绝对值

环比增长速度增长环比增长速度增长1%1% 的绝对值的绝对值

100100

1000

00

00 a

aaa

aaa

n

n

100100

1001

11

11

n

nnn

nnn a

aaa

aaa

各环比发展速度的平均各环比发展速度的平均数，说明现象每期变动数，说明现象每期变动的平均程度 的平均程度

平均发展速度平均发展速度平均发展速度平均发展速度

平均增长速度平均增长速度平均增长速度平均增长速度 说明现象逐期增长的平说明现象逐期增长的平均程度 均程度

﹪发展速度平均

增长速度平均

100

（二）平均速度（二）平均速度 （二）平均速度（二）平均速度

平均发展速度的计算平均发展速度的计算平均发展速度的计算平均发展速度的计算

11 、 几何平均法（水平法）、 几何平均法（水平法）11 、 几何平均法（水平法）、 几何平均法（水平法）

即有 nGn Xaa 0

n

nGGnn

GGG

aXaXaa

XaXaaXaa

01

2

01201

,

,,

从最初水平 a0 出发，每期按一定的平均发展速度 发展，经过 n 个时期后，达到最末水平 an ，有

GX基本要求基本要求

计算公式计算公式

nnn

nn

nG XXXXR

a

aX 21

0

总速度 环比速度

以各期环比发展速度作为变量求几何平均以各期环比发展速度作为变量求几何平均数，即把 数，即把 nn 个环比发展速度连乘后的 个环比发展速度连乘后的 nn 次方根。次方根。

﹪04.1116885.15550

9371 55 GX

解：平均发展速度为：解：平均发展速度为：

平均增长速度为平均增长速度为：：﹪﹪﹪ 04.1110004.1111 GX

【例】【例】计算计算 19951995～～ 20002000 年间我国职年间我国职工年平均工资的平均发展速度及平均工年平均工资的平均发展速度及平均增长速度（资料见增长速度（资料见 PP279279 表表 8-18-1 ）： ）：

有关指标的推算有关指标的推算 ::

几何平均法（水平法）几何平均法（水平法） 几何平均法（水平法）几何平均法（水平法）

nGnG XaanXa 00 ,则最末水平和、已知

⒈⒈推算最末水平推算最末水平 aann ：：

⒉预测达到一定水平所需要的时间 n ：

G

n

nG

X

aan

aXa

lg

lglg

,

0

0

所需要的时间为：

则达到最末水平和、已知

⒊⒊计算翻番速度 ：计算翻番速度 ：

2lg

lglg2 0

0

aam

a

a nnm 有，由

翻番数

解：解： 万吨6.562202 5.10 m

n aa

【例】【例】已知某化肥厂已知某化肥厂 20002000 年的产量为年的产量为 2020 万吨，万吨，如果如果 20102010 年产量翻年产量翻 1.51.5 番，将会达到多少？ 番，将会达到多少？

﹪3.1217986

405001 14 GX

平均增长速度为平均增长速度为：：

番34.22lg

7986lg40500lg

m解：解：

【例】【例】 19801980 年我国生产水泥年我国生产水泥 79867986万吨，万吨，19941994 年达到年达到 4050040500万吨，计算万吨，计算 19801980 年至年至19941994 年我国水泥产量翻了几番？每年平年我国水泥产量翻了几番？每年平均增长速度为多少？均增长速度为多少？

平均发展速度的计算平均发展速度的计算平均发展速度的计算平均发展速度的计算

22 、方程法（累计法）、方程法（累计法）22 、方程法（累计法）、方程法（累计法）

从最初水平 a0 出发，每期按一定的平均发展速度 发展，经过 n 个时期后，达到各期实际水平之和等各期实际水平之和等于各期推算水平之和于各期推算水平之和

X

基本要求基本要求

01

21

10

11

aaXXXX

Xaaa

n

ii

nn

n

i

in

ii

n

ii

即

，推算水平，实际水平

n

nn XaXaa

XaXaaXaa

01

2

01201

,

,,

计算公式的推导计算公式的推导计算公式的推导计算公式的推导由基本要求有，各期推算水平分别为

各期定基发各期定基发展速度之和展速度之和

（该一元（该一元 nn 次方程的正根即为平均发展速度）次方程的正根即为平均发展速度）

①① 逐渐逼近法逐渐逼近法 ②② 查“累计法查对表”法查“累计法查对表”法

【例】【例】某公司某公司 20002000 年实现利润年实现利润 1515 万元，计万元，计划今后三年共实现利润划今后三年共实现利润 6060 万元，求该公司万元，求该公司利润应按多大速度增长才能达到目的。 利润应按多大速度增长才能达到目的。

151.104

0

,3,60,15

23

01

23

3210

XXXX

aaXXX

naaaan

ii

，解得

，即则

已知解：解：

求解方法求解方法求解方法求解方法 （关于 的一元 n 次方程）

X

累计法查对表递增速度 间隔期 1 ～ 5年平均每年

增长﹪各年发展水平总和为基期的﹪1 年 2 年 3 年 4 年 5 年

… … … … … …14.9 114.90 246.92 398.61 572.90 773.17

15.0 115.00 247.25 399.34 574.24 991.04

15.1 115.10 247.58 400.06 575.57 1075.57

… … … … … …

15092.106.066.0

66.01.015.1

﹪则平均发展速度为

两种方法的比较两种方法的比较 ::

几何平均法几何平均法研究的侧重点是最末水平；方程法方程法研究的侧重点是各年发展水平的累计总和。

平均发展速度的计算平均发展速度的计算平均发展速度的计算平均发展速度的计算

几何平均法：几何平均法：nGn Xaa 0

01

21aaXXXX

n

ii

nn

方程法：方程法：

时间数列的速度分析指标时间数列的速度分析指标

时间数列的水平分析指标时间数列的水平分析指标发展水平

增长量

平均发展水平

平均增长量

增长速度发展速度

平均增长速度平均发展速度

动态平均指标

动态比较指标

33 、应用平均发展速度应注意的问题、应用平均发展速度应注意的问题33 、应用平均发展速度应注意的问题、应用平均发展速度应注意的问题

平均发展速度要和各环比发展速平均发展速度要和各环比发展速度结合分析；度结合分析；总平均发展速度要和分段平均发总平均发展速度要和分段平均发展速度结合分析；展速度结合分析；总平均发展速度要联系基期水平总平均发展速度要联系基期水平进行分析。进行分析。速度指标和水平指标要结合运用速度指标和水平指标要结合运用

第三节 长期趋势的测算

影响时间数列变动的因素可分解为影响时间数列变动的因素可分解为：：（ 1）长期趋势（ T）（ 2）季节变动（ S）（ 3）循环变动（ C）

（ 4）不规则变动（ I）

可解释的变动

—不可解释的变动

一、时间数列的构成一、时间数列的构成一、时间数列的构成一、时间数列的构成

长期趋势长期趋势长期趋势长期趋势 现象在较长时期内 受某种根本性因素作用而形成的总的变动趋势

季节变动季节变动季节变动季节变动 现象在一年内随着季节的变化而发生的有规律的周期性变动

循环变动循环变动循环变动循环变动 现象以若干年为周期所呈现出的波浪起伏形态的有规律的变动

不规则变动不规则变动不规则变动不规则变动是一种无规律可循的变动，包括严格的随机变动严格的随机变动和不规则的突发不规则的突发性影响很大的变动性影响很大的变动两种类型

1950-1998年中国水灾受灾面积(单位：千公顷）

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

45000

循环变动 C （ Cyclical ）

不规则变动 I （ Irregular ）

季节变动 S （ Seasonal ）

长期趋势 T （ Trend ）

1979-1998年中国国内生产总值环比指数

100101102103104105106107108109110111112113114115116

年份

%环比指数（）

经济周期 : 循环性变动

繁荣拐点

繁荣拐点

衰退拐点

萧条拐点复苏拐点

时间数列的组合模型时间数列的组合模型时间数列的组合模型时间数列的组合模型

（ 1 ）加法模型： Y=T+S+C+I

计量单位相同计量单位相同的总量指标的总量指标

对长期趋势对长期趋势产生的或正产生的或正或负的偏差或负的偏差

（ 2 ）乘法模型： Y=T·S·C·I

计量单位相同计量单位相同的总量指标的总量指标

对原数列指对原数列指标增加或减标增加或减少的百分比少的百分比

常用模型常用模型

把握现象随时间演变的趋势和规律； 对事物的未来发展趋势作出预测； 便于更好地分解研究其他因素。

(( 一一 )) 测定长期趋势的意义：测定长期趋势的意义：

二、长期趋势的测算意义及表现形式二、长期趋势的测算意义及表现形式二、长期趋势的测算意义及表现形式二、长期趋势的测算意义及表现形式

(( 二二 )) 长期趋势的表现形式：长期趋势的表现形式：①①直线趋势直线趋势 ②②非直线趋势非直线趋势

三、长期趋势的测算方法三、长期趋势的测算方法三、长期趋势的测算方法三、长期趋势的测算方法

（一）趋势修匀法（一）趋势修匀法（一）趋势修匀法（一）趋势修匀法

11 、时距扩大法、时距扩大法11 、时距扩大法、时距扩大法

时距扩大法是对长期的时间数列资料进行时距扩大法是对长期的时间数列资料进行统计修匀的一种简便方法。当原数列中各统计修匀的一种简便方法。当原数列中各期指标上下波动，使现象变化规律表象不期指标上下波动，使现象变化规律表象不明显时，可以通过扩大数列时间间隔，对明显时，可以通过扩大数列时间间隔，对原数列资料加以整理，以反映现象发展的原数列资料加以整理，以反映现象发展的趋势趋势 ..

22 、移动平均法、移动平均法22 、移动平均法、移动平均法

对时间数列的各项数值，按对时间数列的各项数值，按照一定的时间间隔进行照一定的时间间隔进行逐期移动逐期移动，计，计算出一系列算出一系列序时平均数序时平均数，形成，形成一个新一个新的时间数列。的时间数列。以此削弱不规则变动的以此削弱不规则变动的影响，显示出原数列的长期趋势。影响，显示出原数列的长期趋势。

移动平均法的移动平均法的含义含义

⒉⒉计算各移动平均值，并将其编制成计算各移动平均值，并将其编制成时间数列时间数列

一般应选择一般应选择奇数项奇数项进行移动平均；进行移动平均；若原数列呈若原数列呈周期变动周期变动，应选择现象的，应选择现象的变动周期变动周期作为移动的时距长度。作为移动的时距长度。

移动平均法的步骤移动平均法的步骤：：

⒈⒈确定移动时距确定移动时距

移动平均法移动平均法移动平均法移动平均法

a.a.奇数项移动平均奇数项移动平均 ::

1t 2t 3t 4t 5t 6t 7t原数列原数列

移动平均移动平均3

321 ttt 3

432 ttt 3

543 ttt 3

654 ttt 3

765 ttt

新数列新数列 2t 3t 4t 5t 6t

移动平均移动平均移正平均移正平均新数列新数列

原数列原数列 1t 2t 3t 4t 5t 6t 7t

441 tt

452 tt

463 tt

474 tt

3t 4t 5t

移动平均法移动平均法移动平均法移动平均法

b.b.偶数项移动平均偶数项移动平均 ::

某种商品零售量

0

5

10

15

20

25

30

第一年 第二年 第三年 第四年

某种商品零售量

0

5

10

15

20

25

30

第一年 第二年 第三年 第四年

原数列原数列三项移动平均三项移动平均

五项移动平均五项移动平均四项移动平均四项移动平均

移动平均对数列具有平滑修匀作用，移动项数越多，平滑修匀作用越强； 由移动平均数组成的趋势值数列，较原数列的项数少， N为奇数时，趋势值数列首尾各少 项； N为偶数时，首尾各少 项；

局限局限：：不能完整地反映原数列的长期趋势，不便于直接根据修匀后的数列进行预测。

2

1N2

N

移动平均法的特点移动平均法的特点移动平均法的特点移动平均法的特点

（二）配合趋势线法（二）配合趋势线法（二）配合趋势线法（二）配合趋势线法

是通过数学方法对时间数列配合一条是通过数学方法对时间数列配合一条理想的理想的趋势方程趋势方程 ，使其与原数列曲线，使其与原数列曲线达到最优拟合达到最优拟合

直线趋势方程直线趋势方程 btay ˆ

曲线趋势方程曲线趋势方程taby ˆ

2ˆ ctbtay

…………

趋势线拟合法的基本程序趋势线拟合法的基本程序趋势线拟合法的基本程序趋势线拟合法的基本程序

判断趋势类型判断趋势类型

计算待定参数计算待定参数

利用方程预测利用方程预测

定性分析定性分析

判断趋势类型

绘制散点图

分析数据特征

趋势线拟合法的基本程序趋势线拟合法的基本程序趋势线拟合法的基本程序趋势线拟合法的基本程序当数据的一阶差分趋当数据的一阶差分趋近于一常数时，可以近于一常数时，可以配合配合直线方程直线方程当数据的二阶差分趋当数据的二阶差分趋近于一常数时，可以近于一常数时，可以配合配合二次曲线方程二次曲线方程当数据的环比发展速当数据的环比发展速度趋近于一常数时，度趋近于一常数时，可配合可配合指数曲线方程指数曲线方程

t yi 一阶差分 yi - yi-1

1234n

a + ba + 2ba + 3ba + 4b

a + nb

—bbbb

btay ˆ直线趋势方程直线趋势方程趋势线的选择趋势线的选择趋势线的选择趋势线的选择

t yi 一阶差分 二阶差分1234n

a + b + ca + 2b + 4ca + 3b + 9c

a + 4b + 16c

a + nb + n2c

—b+3cb+5cb+7c

b+(2n-1)c

——2c2c2c

2ˆ ctbtay 抛物线趋势方程抛物线趋势方程趋势线的选择趋势线的选择趋势线的选择趋势线的选择

t yi yi / yi-1

1234n

abab2

ab3

ab4

abn

—bbbb

taby ˆ指数曲线趋势方程指数曲线趋势方程趋势线的选择趋势线的选择趋势线的选择趋势线的选择

2tbtaty

tbnay

tbya

ttn

yttynb

22 )(

用用最小平方法 最小平方法 求解参数求解参数 aa 、、 bb ，有，有

11 、直线趋势的测定、直线趋势的测定11 、直线趋势的测定、直线趋势的测定

tbay ˆ直线趋势方程：直线趋势方程：

经济意义：经济意义： 数列水平的数列水平的平均增长量平均增长量

年份 t GDP (y) ty t2

1986198719881989199019911992199319941995199619971998

123456789

10111213

7610.68491.39448.09832.2

10209.111147.712735.114452.916283.117993.719718.421454.723129.0

7610.616982.628344.039328.851045.566886.289145.7115623.2146547.9179937.0216902.4257456.4300677.0

149

162536496481100121144169

合计 91 182505.8 1516487.3 819

【例】【例】已知我国已知我国 GDPGDP 资料（单位：亿元）如资料（单位：亿元）如下， 拟合直线趋势方程，并预测下， 拟合直线趋势方程，并预测 19991999 年的水年的水平。平。

ty

tbya

ttn

yttynb

tty

ytn

89.131268.4848ˆ

68.484813

9189.1312

13

8.182505

89.1312

9181913

8.182505913.151648713

)(

,819,3.1516487

,8.182505,91,13

222

2

即直线趋势方程为：

则

已知解解

亿元14.232291489.131268.4848ˆ1999 y预测预测

btay ˆy

ta

y

a

0 1 2 3 4 5 6 7

求解求解 aa 、、 bb 的简捷方的简捷方法法求解求解 aa 、、 bb 的简捷方的简捷方法法

0 1 2 3-1-2-3

0 t

取时间数列中间项为原点取时间数列中间项为原点

当当 t = 0t = 0 时，有时，有

2tbty

nay

yn

ya

t

tyb

2

tbya

ttn

yttynb

22 )(

2tbtaty

tbnay

NN 为奇数时，令为奇数时，令 t = …t = … ，， -3-3 ，， -2-2 ，， -1-1 ，， 00 ，， 11 ，， 22 ，，33 ， …， …NN 为偶数时，令为偶数时，令 t = …t = … ，， -5-5 ，， -3-3 ，， -1-1 ，， 11 ，， 33 ，， 55 ， …， …

年份 t t GDP (y) ty t2

1986198719881989199019911992199319941995199619971998

123456789

10111213

-6-5-4-3-2-10123456

7610.68491.39448.09832.2

10209.111147.712735.114452.916283.117993.719718.421454.723129.0

-45663.6-42456.5-37792.0-29496.6-20418.2-11147.7

014452.932566.253981.178873.6107273.5138774.0

3625169410149

162536

合计 91 0 182505.8 238946.7 182

ty

yn

ya

t

tyb

ttyy

nt

89.131291.14038ˆ

91.1403813

8.182505

89.1312182

7.238946

,182,7.238946,8.182505

,1307

2

2

即直线趋势方程为：

则

，项为原点，有取中间项第解解：：

亿元14.23229789.131291.14038ˆ1999 y预测预测

季节变动（ Seasonal ）：指某些客观现象在一年之内随季节的更替而出现某种有规律性的明显变动。

第四节 季节变动的测算

一、季节变动及测算意义一、季节变动及测算意义一、季节变动及测算意义一、季节变动及测算意义

（一）季节变动（一）季节变动（一）季节变动（一）季节变动

此变动具有一定的周期性，且各年变动强度大致相同，具有一定的稳定性。

•饮料的生产量及销售量在一年内的变化•用电量在一年之内的增减•蔬菜价格在一年内的波动•鲜花销售每年的几个旺季•每年旅客运输的高峰期……

季节变动的原因：一是自然四季的更替，即气候的变化；二是人们的民族风俗习惯。

季节变动事例：季节变动事例：季节变动事例：季节变动事例：

某种商品零售量

0

5

10

15

20

25

30

第一年 第二年 第三年 第四年

btay

t t

yy ˆyy ˆ

（二）季节变动测算的意义（二）季节变动测算的意义（二）季节变动测算的意义（二）季节变动测算的意义

测算季节变动的意义： 1. 掌握季节变动的周期、规律及数量界限，便于预测未来，积极应对； 2. 克服其对人们经济生活的不良影响，提高经济效益和安排好人民生活。

二、季节变动的测算方法二、季节变动的测算方法二、季节变动的测算方法二、季节变动的测算方法

（一）按月（一）按月 (( 季季 )) 平均法平均法（一）按月（一）按月 (( 季季 )) 平均法平均法 测算季节变动的主要方法是计算季节比率，已反映季节变动的程度。

季节比率（季节指数）：某个季节数据水平与各季节数据平均水平的平均比值。

0

5

10

15

20

25

第一年 第二年 第三年 第四年

季节比率之和 = 4

季节比率的概念

按月 ( 季 ) 平均法的假设：没有循环变动和长期趋势的影响。即：

ISyy 则季节比率 S 的求解程序为：

SyIISy 首先：

然后： SySy

按月按月 (( 季季 )) 平均法平均法按月按月 (( 季季 )) 平均法平均法

按月 ( 季 ) 平均法的计算过程：

第一步，求各年同季（同月）平均数：

设有 n 年 m 季的数据， y ij 为第 i 年第 j 季的数据

nyyn

iijj

1

第二步，求各季或各月的总平均数： myy

m

jjij

1

第三步，求出季节比率： ijjij yyS

%100)(

)(.

总平均数季全期各月平均数季各月

IS即 :

使用趋势剔除法的原因

yy 当存在向上的长期趋势时，原资料平均法对于每年前面季节的季节比率有所贬低，对后面季节的季节比率则有所夸大。反则反之。

趋势剔除法的基本过程趋势剔除法的假设：没有循环变动影响。即：

ISTy 第一步，使用移动平均法产生新数列。 TISIST

第二步，用原数列各值与新数列各值相除，得到相对数数列。

ISTIST

第三步，计算相对数数列的平均水平。 SIIS

某种商品零售量

0

5

10

15

20

25

30

第一年 第二年 第三年 第四年 第五年

7046.05616.0

5061.12277.1

四季度三季度

二季度一季度

SS

SS

ISTy Ty

STy

季度年份

第一年第二年第三年

三年合计

同季平均数季节指数％

全 年

12 个季度合计

12 个季度平均100％

一 二 四三

季度

（ 2 ）趋势增量

（ 1 ）同季平均数

（ 4 ）季节指数％

平 均

12 个季度平均

100％

一 二 四三

（ 3 ） = （ 1 ）－（ 2 ） 总平均（无趋势）

季节变动的测定需要 3 年或更多年份的资料作为基本数据进行分析，以便较好地消除偶然因素的影响，使季节变动的规律性反映得更加符合实际。

注意