Сравнительный анализметодов расчета индексов цен.

Исследование рынковнесовершенной конкуренции

Айзенберг Н.И., Киселева М.А.,Солонина З.В., Филатов А.Ю.

ИСЭМ СО РАН (Иркутск)

http://polnolunie.baikal.ru/me/mat_ec.htm,http://matec.isu.ru

Основные направления работы

1. Сравнительный анализ экономических индексов. Изучение особенностей их динамики при различной интенсивности колебаний цен.

2. Исследование формул расчета фондовых индексов с помощью имитаци -онных моделей.

3. Исследование индексов Дивизиа. Построение непрерывных траекторий изменения цен и объемов.

4. Построение математических моделей естественной монополии. Иссле -дование методов регулирования цен и тарифов на продукты естествен -ной монополии, в том числе, электро - и теплоэнергетики.

5. Разработка математических моделей олигополии при несовершенной эластичности спроса.

Индексы цен.Некоторые расчетные формулы

– средний геометрический

– средний гармонический

– средний арифметический

– Ласпейреса

– Пааше

– Фишера

– Уолша

– Эджворта

n

i

iti

tpG pI

1

n

i

tii

tpH pI

1

1

n

i

tii

tpA pI

1

n

iii

n

ii

ti

tp QPQPIL

11

n

i

tii

n

i

ti

ti

tp QPQPIP

11

21tp

tp

tp IPILIF

n

ii

tii

n

ii

ti

ti

tp QQPQQPIW

11

n

ii

tii

n

ii

ti

ti

tp QQPQQPIE

1

21

1

21

Аналитический подход.Модель с одинаковой эластичностью

iiiii PUPSUPQ ,,

Если , то получаем оптимальные объемы, порождаемые ква -зиоднородной функцией полезности. В этом случае возможно построение аналитического однозначно представимого индекса цен и объемов.

n...1

1

1

1

1

1

1

n

iii

n

i

tii

tUU P

Pt

pt

p AA

Рассмотрено 5 моделей рынка: .1,5,0,0,5,0,1

Возмущенные данные: ,~ t

it

it

i PP .~ t

iti

ti QQ

1. 5% – относительно небольшие колебания цен и объемов;2. 15% – средняя интенсивность колебаний;3. 30% – высокая интенсивность колебаний.

Для каждой из 15 ситуаций проводилось по 100 статистических испытаний.

Определение качества индексовпри расчетах по исходным данным

1. Транзитивность:

2. Обратимость во времени:

3. Отклонение индекса, рассчитанного по постоянной базе, от эталонного индекса:

4. Отклонение индекса, рассчитанного цепным методом, от эталонного индекса:

Вычисляются показатели отклонений индексов по критериям (1)-(4)t

пост.базаперем.базаτp

tp

t IIt

ptp

t II

tаналит.

tпост.база

ppt II

tаналит.

tперем.база

ppt II

Вычисляются средние отклонения по всем периодам

%1001ln1

exp1

T

t

t

T

%1001ln1

exp1

T

t

t

T%1001ln

1exp

1

T

t

t

T

%1001ln1

exp1

T

t

t

T

Отклонения индексовпо всем критериям для δ = –1

Колебания данных Ср.геом Ср.гарм Ласпейр Пааше Фишера Уолша Эджвор

Нарушение теста транзитивности , %

0% 0,00 2,70 2,82 2,70 2,50 5,14 0,55

5% 1,42 4,22 3,21 2,70 2,34 5,27 0,94

15% 8,98 19,10 5,02 4,25 3,51 6,00 2,53

30% 38,74 88,70 9,83 10,74 6,60 9,25 5,81

Отклонения индексов, рассчитанных по постоянной базе, от аналитического индекса , %

0% 0,00 11,21 19,16 11,21 4,02 7,00 0,98

5% 2,98 11,12 19,69 10,64 5,11 8,67 2,89

15% 9,09 14,94 21,86 11,74 9,57 12,31 8,09

30% 19,25 27,58 28,16 18,82 17,81 20,04 16,62

Отклонения индексов, рассчитанных цепным способом, от аналитического индекса , %0% 0,00 13,35 15,98 13,35 1,76 2,60 0,43

5% 2,49 15,03 16,24 12,74 3,20 3,74 2,53

15% 11,62 34,76 17,94 13,38 8,10 8,45 7,75

30% 46,93 131,56 24,32 21,91 16,99 17,45 16,80

Выводы

1. Увеличение интенсивности случайных колебаний цен и объемов ведет к увеличению отклонений индексов цен по тестам транзитивности и обра -тимости во времени, а также их отклонений от аналитических индексов.

2. При разной эластичности зависимости объемов товаров от цен сохраня -ются общие тенденции поведения индексов. IFp, IWp, IEp во всех случаях имеют наименьшие смещения по требованиям обратимости и транзити -вности, наименьшие отклонения от аналитического индекса и наиболее устойчивы к росту колебаний цен и объемов товаров. Наиболее чувстви -тельны индексы IpA, IpH и IpG; ILp и IPp дают средние результаты.

3. При расчете по невозмущенным исходным данным значения индексов имеют определенную последовательность. Во всех случаях наименьшее значение имеет индекс IpH, а наибольшее – IpA. Во всех ситуациях, кроме нулевой эластичности, индексы IFp, IWp, IEp находятся в диапазоне меж -ду ILp и IPp. Изменение последовательности индексов, рассчитанных раз -ными методами, от периода к периоду свидетельствует об увеличении случайных колебаний цен.

Индексы Дивизиа.Построение непрерывныхтраекторий цен и объемов

Pi(k) – уровень цены в момент времени k для товара i = 1,…,n .Qi(k) – интенсивность потока объемов в момент времени k для товара i = 1,…,n .Vi(k) – интенсивность потока стоимости в момент времени k для товара i = 1,…,n

Индексы Дивизиа цен IpD и объемов IqD:

dkkPkQ

dkkdPkQ

IT

iii

iii

TpD

/

exp

dkkQkP

dkkdQkP

IT

iii

iii

TqD

/

exp

1. Индексы цен и объемов Дивизиа всегда согласованны, т.е. их произведение всегда дает индекс стоимости.

2. Индексы Дивизиа можно представить как произведение индексов Дивизиа за последовательные периоды.

1

1, ,T

t

ttpD

TpD II

1

1, .T

t

ttqD

TqD II

Значения индекса цен Дивизиапо различным траекториям

Траек-тории

ЛинейнаяЭкспонен-циальная

Со степенями

Ершова I Ершова II Период k=6 k=1/6

1992 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

1993 8,80 8,75 8,47 8,753 8,47 8,41

1994 25,31 25,08 24,43 25,11 24,28 24,05

1995 52,39 51,91 50,57 51,98 50,65 50,14

1996 58,03 57,47 56,06 57,55 56,11 55,54

1997 63,98 63,37 61,81 63,46 62,39 61,76

1998 133,30 131,90 128,90 132,1 129,7 128,00

1999 163,20 161,40 157,90 161,7 158,6 156,50

2000 192,50 190,40 186,20 190,7 187,3 184,70

2001 234,10 231,60 226,50 231,9 227,7 224,50

Проверка требования стоимостипо различным траекториям

Траек-тории

ЛинейнаяЭкспонен-циальная

Со степенями

Ершова I Ершова II Индекс

стоимости Период k=6 k=1/6

1992 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,00

1993 8,7 8,7 9,3 8,7 7,8 7,8 8,65

1994 27,61 27,6 26,1 27,6 25,9 25,9 27,57

1995 55,5 55,5 54,1 55,5 52,4 52,3 55,44

1996 62,5 62,5 62,2 62,4 59,3 59,2 62,37

1997 69,2 69,1 69,2 69,1 66,5 66,5 69,03

1998 132,8 132,8 132,8 132,8 133,7 133,8 132,58

1999 149,3 149,2 151,6 149,2 148,1 148,1 149,05

2000 190,2 190,2 189,9 190,1 187,5 187,5 189,89

2001 251,9 252,0 251,4 251,6 251,6 251,7 251,44

Выводы

1. Индексы Дивизиа не решают проблему выбора метода расчета ин -декса цен. При аппроксимации индекса Дивизиа известными дискрет -ными формулами индексов получаем существенно различающиеся меж -ду собой значения. При этом осуществляется переход к цепным индек -сам, которые имеют ряд отрицательных черт.

2. Принципиальным при построении непрерывного индекса Дивизиа является выбор траектории изменения цен и объемов в течение рас -сматриваемого периода. Так как не существует сведений о непрерывной динамике измеряемых явлений, то значение индекса будет зависеть от предложенного самим исследователем пути.

Естественная монополия

Оптимальным результатом деятельности монополии является результат,который обеспечивает наибольший совокупный избыток (потребитель -ский избыток + прибыль монополии)

D

AC

MC

2

1

Q

P

D

AC

MC2

1

Q

P

Большие мертвые потери Малые мертвые потери

1 – «первое наилучшее решение»,2 – «второе наилучшее решение».

Методы регулированияестественной монополии

Регулировать с целью выхода на «первое наилучшее решение»:

Субсидии, ценовая дискриминация, особые тарифы и др.

Возможно ли введение конкуренции

Регулировать с целью выхода на «второе наилучшее решение»:Цены Рамсея, ценовые лимиты,

норма отдачи и др.

Вводить одну из форм

конкуренции

Большие мертвые потери

Малые мертвые потери

Нет Да

Выводы

1. Тарифы должны быть разными для разных групп потребителей в зависимости от предельных издержек обслуживания этих групп и эластичности их спроса. Число групп должно быть как можно боfль -шим. Если у регулирующего органа стоит задача социальной защиты населения, то нельзя следовать принципу обратной эластичности, про -диктованного ценами Рамсея.

2. Тарифы для каждой группы потребителей должны быть блочными понижающимися многоставочными, включать фиксированную плату за доступ к рынку. Число блоков в тарифе должно быть как можно боfльшим. Цены внутри блока следует устанавливать соответственно эластичности и предельным издержкам. Для социальной защиты насе -ления необходимо использовать повышающийся блочный тариф.

3. Общий уровень тарифов должен позволять фирме покрывать свои издержки, включая нормальную прибыль. Необходимо проводить периодические корректировки, отражающие изменения спроса и затрат производства.

ОЛИГОПОЛИЯ

БЕЗ СГОВОРА

СО СГОВОРОМ

ЦЕНОВАЯ

КОЛИЧЕСТВЕННАЯ

Равновесие Курно

Равновесие Штакельберга(лидер – последователь)

Неравновесие Штакельберга(лидер – лидер)

Модель Бертрана

Модель Эджворта

Модель с возрастающимипредельными издержками

Модель с несовершеннойэластичностью спроса

Модель Форхаймера

Картель

Картель +конкурентное окружение

Модель СпенсаМОДЕЛИ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ВХОДА

Модель Салопа

Модель дуополии Бертрана

рынка потеря - ,0

рынкадележ - ,2

рынка захват - ,

21

21

21

1

pp

ppQ

ppQ

q

Дилемма заключенного

не созн. созн.

не созн. 15сут / 15сут 10 лет / 0

созн. 0 / 10 лет 5 лет / 5лет

4 руб. 3 руб.

4 руб. 10тыс / 10тыс 0 / 12тыс

3 руб. 12тыс / 0 5тыс / 5тыс

Парадокс БертранаРавновесие на рынке с небольшим количеством фирмдостигается при продаже продукции по издержкам.

Фирмы не в состоянии обеспечить себе положительную прибыль, производя однородную продукцию.

Bpaq b

2

1

121

123

1211

1211,,,

2

1

2

1 Bapqaa

pp

qq

Модель дуополии в матричном виде

Bpaq b

n

1

...11

1

1

...............1

...1

1

1

1...

1

1

1

1...

11

1

,...

,...

,...

3

2

1

3

2

1

nnnn

nnnn

nnnn

nnnn

a

aaa

p

ppp

q

qqq

nn

Bapq

Модель олигополии в матричном виде (n фирм)

При повышении цены в j-фирме на 1 руб. объем продаж в ней падает на b, у конкурента растет на b.При повышении цены в первой фирме дополнительно на величину b сокращается весь рынок, и этобремя равномерно ложится на обе фирмы в размере b/2

iii cqqTCbpapQ ,

n

jjpb

n

nbpna

nq

211 1

11

nibpnpbn

nbp

n

na

nq i

n

ijjji ,...,2,

11

1

1

,21

*...*,...*,... 323232 nnn qqqqpppp

Модель олигополии в скалярном виде

Кривые реакции

n

pnnn

cnba

nn

ppnb

bpnbcnapp

1

11

11

1

*,12

*1*

*1

11

1*,*1

1111 bp

n

nbp

n

na

nqbpnbpna

nq

12

122

*,121 21

nnn

cba

nn

cba

cpnnn

cba

cp

Рассмотренные варианты значений

1Изменение цены в любой из фирм приводит к изменению объема ее продаж, не зависящему от количества конкурентов. В то же время, при большом числе фирм на рынке влияние на каждого из конкурентов становится минимальным

1 nУвеличение числа конкурентов резко усиливает реакцию потребителей на из -менение цены одного из них. В этом случае продажи каждого из (n-1) конку -рентов изменяются на фиксированную величину, вне зависимости от их числа. Продажи самой фирмы меняются прямо пропорционально числу конкурентов.

nn 12 Реакция потребителя на изменение цены в одной из фирм при увеличении числа конкурентов усиливается, однако для конкурентного рынка влияние всего вдвое сильнее, чем в случае дуополии. Если p2=p3=…=pn=p*,

*21

* 1 bpbpan

q

Табл. 1. Основные экономические показатели фирм в зависимости от их числа. 1 n 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 1 1 1 1 1 1 1 p1 80,0 73,9 69,7 66,8 64,6 62,9 61,5 60,4 59,5 p* 85,0 77,1 71,9 68,3 65,7 63,7 62,2 61,0 60,0 q1 45,0 31,9 24,7 20,1 17,0 14,7 13,0 11,6 10,5 q* 35,0 27,1 21,9 18,3 15,7 13,7 12,2 11,0 10,0 1 1350 762 487 338 248 190 150 121 100 * 1225 734 478 334 246 189 149 121 100 2575 2231 1921 1673 1478 1321 1194 1088 999

Табл. 2. Основные экономические показатели фирм в зависимости от их числа. nn 12

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1,33 1,5 1,6 1,67 1,71 1,75 1,78 1,8 p1 80,0 69,6 64,5 61,5 59,5 58,1 57,1 56,3 55,6 p* 85,0 71,6 65,6 62,2 60,0 58,4 57,3 56,5 55,8 q1 45,0 32,7 25,4 20,7 17,5 15,1 13,3 11,9 10,7 q* 35,0 28,8 23,3 19,4 16,6 14,5 12,8 11,5 10,4 1 1350 643 369 239 166 123 94 74 60 * 1225 622 363 236 165 122 94 74 60 2575 1888 1460 1183 993 855 750 668 602

Табл. 3. Основные экономические показатели фирм в зависимости от их числа. 1 n

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 p1 80,0 64,5 58,1 55,1 53,5 52,5 51,9 51,5 51,2 p* 85,0 65,4 58,4 55,2 53,5 52,6 51,9 51,5 51,2 q1 45,0 33,8 26,3 21,4 18,0 15,5 13,6 12,1 10,9 q* 35,0 30,9 25,2 20,9 17,7 15,3 13,5 12,0 10,9 1 1350 489 214 109 63 39 26 18 13 * 1225 477 211 109 63 39 26 18 13 2575 1442 848 545 376 274 208 163 131

Выводы

1. В модели олигополии с несовершенной эластичностью спроса есть рав -новесие Нэша с различными ценами и объемами поставок одинаковых фирм-производителей.

2. Увеличение числа фирм на рынке и усиление реакции потребителя на разницу цен приводит к снижению и выравниванию цен, снижению при -былей фирм (в том числе, суммарной) и их выравниванию, однако даже при большом количестве фирм, все они в состоянии получать прибыль.

3. При высоких ценах возможна ситуация «инверсии»: дорогой фирме вы -годнее занять дешевый сегмент рынка, выиграв в объеме продаж сильнее, чем потеряв в удельной прибыли. При низких ценах ситуация обратная.

4. В двухуровневой модели «лидер-последователи» в равновесии Нэша ли -дер, повышая цену, увеличивает свою прибыль, но (в отличие от коли -чественной олигополии Штакельберга) последователи увеличивают свои прибыли еще сильнее. Симметричный случай дорогого лидера реализуется только в ситуации сговора.

5. На основе ценовой дискриминации олигополисты могут получать при -быль больше монопольной.

Спасибоза внимание!