4-1實用管理科學

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Ch４敏感度分析與電腦報表解讀第四章 線性規劃：敏感度分析與電腦報表解讀

電腦解 -Lindo

敏感度分析簡介 改變一個參數同時改變

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Ch４敏感度分析與電腦報表解讀

線性規劃問題的電腦解 (1/5)重新檢視第三章力新問題：Max 9X + 10Y 總利潤Subject to (s.t.)

4X + 7Y 4220 切割與染整 ( 或切染 )7X + 6Y 4510 縫合9X + 8Y 7200 組裝6X + 3Y 3600 檢驗與包裝 ( 或檢裝 )X, Y 0

目標函數值為 6850.000 。其最佳解分別為：X=250( 個 ) ， Y=460( 個 ) 。

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線性規劃問題的電腦解 (2/5)

在最佳解右方的欄位為決策變數的「削減成本」，表示決策變數的目標函數係數要「改善」多少，才能使決策變數出現正值。此題共有四條 <= 限制式，從圖可知前兩個限制式為束縛限制式，其「寬裕值」均為 0( 亦即資源全部用完 ) ；後兩個限制式其寬裕值分別為：組裝 1270 小時、檢裝 720 小時的未用人力。

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線性規劃問題的電腦解 (3/5)「對偶價」 (Dual prices) ：其意義為該限制式不等式「右側值」每增加一單位，目標值「改善」量。OBJ COEFFICIENT RANGES ：其意義為只要目標函數中決策變數的係數在此範圍內變動，則最佳解 (decision variables) 不變，此範圍稱之為「最佳化範圍」RIGHTHAND SIDE RANGES ：其意義為只要右側值在此範圍內變動，則限制式之對偶價不變；此範圍又稱之為可行性範圍

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線性規劃問題的電腦解 (4/5)

C2 目前係數 = 10.000000

可允許增量 2.28

可允許減量 = 3.57

最佳化範圍上限 = 10.00 + 5.75 = 15.75

最佳化範圍下限 = 10.00 – 2.28 = 7.72

C2 最佳化範圍為： 7.72 C2 15.75

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線性規劃問題的電腦解 (5/5)以第一條限制式 ( 切染部門 ) 的對偶價 U1 為例：目前右側值 = 4220.000000可允許增量 = 1041.666748 1041.66可允許減量 = 1200.000000可行性範圍上限 = 4220.00 + 1041.66 = 5261.66可行性範圍下限 = 4220.00 – 1200.00 = 3020.00U1 可行性範圍為： 3020.00 RHS1 5261.66

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敏感度分析簡介「敏感度分析」 (Sensitivity Analysis) 是探討線性規劃問題中參數係數的改變，如何影響最佳解。由於此項分析是在已經求得最佳解的情況下，探討參數係數改變對於最佳解的影響，故又稱之為「後最佳化分析」兩大類： 與　第一類：求最佳範圍（電腦報表及圖形分析）

例如 : (7.72 C2 15.75)

jc ib

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重要對偶性質＜＝限制式　←→　 DP >=0> ＝限制式　 ←→　 DP <=0

束縛限制式　 ←→　 DP ≠ 0非束縛限制式　 ←→　 DP ＝　 0

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一次改變一個參數 (1/5)

題目請見課本 p92 範例 4.1 （ Y- 型球袋單位利潤10 元有誤，應為 12 元 ）【解】變數 Y 之係數 C2 最佳化範圍： 7.72 C2 15.75

因新單位利潤 12 元仍在範圍內，故最佳解不變，仍為 X*=250 ， Y*=460

新目標函數 = 9X* + 12Y* = 9(250) + 12(460) = 7770( 元 ) 所以，目標函數已經從 6,850 元增加920(=2460) 元至 7,770 元。

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一次改變一個參數 (2/5)

題目請見課本 p92 範例 4.2 （ Y- 型球袋單位利潤改為 7 元 ）【解】因 Y- 型球袋單位利潤 7 元超出最佳化範圍：7.72 C2 15.75

故最佳解可能已改變，必須重解線性規劃模型。如圖 4.2 示，最佳解為 X=538( 個 ) ，Y=124( 個 ) ，目標函數值為 5,710 元。

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一次改變一個參數 (3/5)第二類：對偶價及可行性範圍 ( 課本 p93 範例4.3)人事部門可多提供 9 人工小時 , 如何安排 ?【解】當限制式右側值改變時，對偶值愈大，則目標函數的改善愈大。發現第二條限制式的對偶值 0.92 元為最大，可知四個部門當中，以增加縫合部門每單位 ( 分鐘 ) 人力，可增加 0.92 元的獲利為最高，其次為切染部門的 0.64 元，另外兩個部門皆為 0 元。

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一次改變一個參數 (4/5)

第二條限制式 U2 的可行性範圍為：3617.15 RHS2 5110.00

縫合部門增援後可用人力為 4510 + 540 = 5050( 分鐘 ) ，仍然在可行性範圍內，故知其對偶值 0.92( 元 / 分鐘 ) 不變，則所增加的最大利潤為： 5400.92 = 496.8( 元 ) ，增加人力後的總利潤： 6850 + 496.8 = 7346.8( 元 ) 。

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一次改變一個參數 (5/5)題目請見課本 p94 範例 4.4( 若縫合部門增加 20小時的人力 )

【解】縫合部門增援後總人力 = 4510 + 1200 = 5710( 分 )因 5,710 分超出範圍： 3617.15 U2 5110.00 ，須重新求解。 最佳解 X*=418( 個 ) ， Y*=364( 個 ) ，目標值為 7,402 元。增援 20 小時力的貢獻： 7402 – 6850 = 552( 元 ) 。每分鐘的貢獻利潤為： 552/1200 = 0.46( 元 / 分鐘 )

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一次可同時改變多個參數 (1/10)

在實務上，管理者作敏感度分析時，可能必須考慮一次同時改變多個參數，其可能的情況有以下三種：

同時改變多個目標函數係數同時改變多個限制式右側值同時改變多個目標函數係數以及限制式右側值

先介紹會用到的兩項法則：目標函數係數改變的 100% 法則 限制式右側值改變的 100% 法則

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一次可同時改變多個參數 (2/10)題目請見課本 p95 範例 4.5 (X- 型與 Y- 型球袋單位利潤分別改為 8 元與 12 元 )【解】由圖 4.1 可算出：X 之係數 C1 最佳化範圍為： 5.72 C1 11.66Y 之係數 C2 最佳化範圍為： 7.72 C2 15.758 元與 12 元分別在 C1 與 C2 的最佳化範圍內，同時改變兩個係數必須計算其總係數改變率是否超過 100% 。

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C1 從 9 減為 8 ，減量為 1 ，可允許減量為3.285714 則 X 係數改變率 = 1/3.2857 0.3043 = 30.43%C2 增量為 2 ，可允許增量為 5.750000 則 Y 係數改變率 = 2/5.7500 0.3478 = 34.78%總係數改變率 30.43% + 34.78% = 65.21% < 100%故最佳解不變，仍 X*=250 ， Y*=460 。新目標函數 = 8X + 12Y = 8(250) + 12(460) = 7520( 元 )目標函數從 6,850 元增加 670 元至 7,520 元。

一次可同時改變多個參數 (3/10)

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一次可同時改變多個參數 (4/10)

題目請見課本 p96 範例 4.6 (X- 型與 Y- 型球袋單位利潤分別改為 11 元與 9 元 )

【解】11 元與 9 元分別在 C1 與 C2 的最佳化範圍內，由於同時改變兩個係數，必須計算其總係數改變率是否超過 100% 。C1 增量為 2 元，可允許增量 2.666667 ，則變數X 係數改變率 = 2/2.6667 0.7500 = 75.00%

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C2 減量為 1 元，可允許減量 2.285714 ，則變數 Y 的係數改變率 = 1/2.2857 0.4375 = 43.75%總係數改變率 75.00% + 43.75% = 118.75% > 100%故最佳解可能已經改變，必須重解線性規劃模型，以求得新的最佳解。最佳解為 X*=538( 個 ) ， Y*=124( 個 ) ，目標函數值為 7,034 元。

一次可同時改變多個參數 (5/10)

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一次可同時改變多個參數 (6/10)題目請見課本 p97 範例 4.7( 支援切染與縫合兩部門分別可多提供 7 與 5 人工小時 )【解】420 分鐘與 300 分鐘在 U1 與 U2 的可行性範圍內，同時改變兩個右側值，必須計算其總右側值改變率是否超過 100%RHS1 增加 420( 分 ) ，可允許增量為1041.6667 ，則 RHS1 改變率 = 420/1041.6667 0.4032 = 40.32%

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一次可同時改變多個參數 (7/10)

因 RHS2 增加 300( 分鐘 ) ，可允許增量為 600.0000 ，則 RHS 改變率 = 300/600.0000 0.5000 = 50.00%

總右側值改變率 40.32% + 50.00% = 90.32% < 100%故知所有對偶價不變。則約可替公司增加利潤 = 420(0.64) + 300(0.92) = 544.8 。

4-25實用管理科學

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一次可同時改變多個參數 (8/10)題目請見課本 p98 範例 4.8( 人事部門考慮將切染部門的人力調撥 8 人工小時至縫合部門 )【解】單位換算： 8 小時 = 480 分480 分都在 U1 與 U2 的可行性範圍內，同時改變兩個右側值，必須計算其總右側值改變率是否超過 100% 。RHS1 減少 480( 分 ) ，可允許減量為1200.0000 ，則 RHS1 右側值改變率 = 480/1200.0000 0.4000 = 40.00%

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一次可同時改變多個參數 (9/10)

因 RHS2 增加 480( 分 ) ，可允許增量為600.0000 ，則 RHS2 右側值改變率 = 480/600.0000 0.8000 = 80.00%

總右側值改變率 40.00% + 80.00% = 120.00% > 100%

原對偶價可能已經改變，故必須重新求解。如圖 4.5 所示，最佳解為 X*=466( 個 ) ， Y*=268( 個 ) ，目標函數值為 6,874 元。此人力調度，確實可為公司增加獲利。

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Ch４敏感度分析與電腦報表解讀一次可同時改變多個參數

(10/10)題目請見課本 p99 範例 4.9 (Y- 型球袋單位利潤為 12 元，切染與縫合兩部門分別增加 7 與 5 小時之人力 )

【解】如圖 4.6 所示，最佳解為X*=233( 個 ) ， Y*=529( 個 ) ，目標函數值為 8,454 元。切染與縫合兩限制式的對偶價皆已改變，分別為 1.2( 元 / 分鐘 ) 與0.6( 元 / 分鐘 ) 。

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HWAll (self-practice)

第一次交作業 -題目 -Ch03: 4, 9; ch04:1, 2, 3

Due date: 10/26-27