實驗一 布朗運動實驗

49912011 劉永合49912019 陳昱銓

分工

目的、原理及公式推導—劉永合

儀器、步驟、操作、作圖及數據處理 — 陳昱銓

目的

以顯微鏡觀察水中粒子的布朗運動，求取亞佛加厥常數

原理 何為布朗運動？ 在顯微鏡下觀察懸浮在液體的微小顆粒，可看到顆粒不停地進

行著無規則運動，這是植物學家布朗在 1827 年首先發現的，稱為布朗運動 。顆粒不斷受到液體介質分子的碰撞。在任一瞬間，一個顆粒受到介質分子從各方向的碰撞作用力一般說來是互不平衡的，顆粒就須著淨作用力的方向運動。由於分子運動的無規性，施加在顆粒上的淨作用力漲落不定，力的方向和大小都不斷發生變化，顆粒就不停地進行著無規則的運動。

粒子越小或液體粘性越低或溫度越高時，粒子的運動越活潑。 粒子的成分及密度對其運動沒有影響。 粒子的運動永不停止

設粒子質量 m 密度 ρ ，作用於粒子的力為向下的重力及周圍分子碰撞的作用力，而周圍的碰撞力又分為三種︰

1. 浮力 mg2. 阻力 -fv ，與粒子運動速度成正比，但方

向相反3. 引起不規則運動的亂力 這裡只考慮亂力在水平方向 X 的投影，則重

力與浮力都不出現，運動方程式可寫成：

f ：阻力之比例常數X ：亂力在 x 方向之投影

dt

dx

dt

dx

dx

dx

dt

dxx

dt

dxx

22

2

1

2

12

2

1

將上式同乘 χ

又

Xxdt

dxfx

dmx

td

x2

2

(1)

2

2

dt

xdx

dt

dx

dt

dx

dt

dx

xdt

dx

2

2

11

dt

dx

xdx

d

dt

dxx

2

2

11

dt

dx

xdx

d

dt

dxx

21

2

1

dxdt

xd

xdt

dx

xdt

dxx

222

2

11

2

1 22

2

1

dt

dx

dt

dx

dt

d

dt

dxx

xdt

dx

1=

在代入 (1)

上式為描述單一粒子的運動狀態，

則是對大群粒子求平均。把做布朗運動的粒子視為一大分子，再運用能量均分原理，粒子平均動能就等於：

xXdt

dxf

dt

dxm

dt

dx

dt

dm

222

2 22

xXdt

dxf

dt

dxm

dt

dx

dt

dm

222

22 (2)=0 正、負機率相等

kTdt

dxm

2

1

2

2

且 ，所以 (2) 可改寫成：22

xdt

d

dt

dx

uxdt

d2

令 uxdt

d2

令

)()(' tQutpu m

kTtQ

m

ftP

2)( ; )(

CdxexQey

dxxPdxxP )()()(

t dtm

fdt

m

f

Cdtem

kTeu

tt

0

002

一次微分方程式通解

kTdt

xdf

dt

xd

dt

dm

22

2)(

2

m

kTu

m

f

dt

du 2

=u

tm

ft

m

ft

m

ft

m

ft

m

ft

m

f

Cef

kTee

f

kTeCe

f

kTe

221

2

dt

xdCe

f

kTe

f

kT tm

ft

m

f 222

dtCef

kTe

f

kTxd

tm

ft

m

f

222

Ceef

m

m

kTeCdte

m

kTe

tm

ft

m

ft t

m

ft

m

f0

0

22

1122

22

2

00

22

tm

ft

m

f

t tm

ft

m

fx

ef

mCe

f

m

f

kTt

f

kTx

dtCeef

kT

f

kTxd

212

222

CeCtf

kT

f

Cm

f

m

f

kT

f

Cm

f

m

f

kTet

f

kT

tm

f

tm

f

(3)

懸浮粒子受到流體的阻力以 – fv 表示，而 Stoke 證明

當一半徑為 r 的球，在黏滯係數為 η 的流體中運

動所受阻力和球速成正比，其比例常數為：

則 (3) 中的指數項：

rf 6 mrcmgpoise 1 , 1 ,10 32 取 mrcmgpoise 1 , 1 ,10 32 取

)3

4( 10

2

96 372

rmrm

r

m

f

所以當 t> 秒，指數項可忽略不計， (3) 可改

寫成 =2Dt (4)

其中擴散係數 D = =

間隔 秒量測一次粒子的位移，在 t = n 秒n 次位移分別 、 … .. ，總位移代回 (4)

610

2x tf

kT2

f

kT

πηr6

kT

τ τx1

Δ x2Δ

n

iixx Δ

0

2

332

rN

RT

r

kTDx

0N

Rk

單一粒子取平均 →求出亞佛加厥數

藥品與實驗裝置1. 聚苯乙烯乳膠粒子懸浮液（粒徑

=1.09μm ）2. 顯微鏡3. 40 倍物鏡4. 10 倍目鏡5. 有凹槽的載玻片6. 蓋玻片7. 水平儀

有凹槽的載玻片 1 水平儀 2

實驗步驟1. 樣品製備：

將 1 cc 的乳膠粒子懸浮滴於載玻片凹槽上。輕壓蓋玻片邊緣，用拭鏡紙吸去多餘的懸

浮液。

2. 調整顯微鏡至水平。

3. 放上試片，打開電源調整光線。

4. 以調節輪調整焦距至發現做布朗運動之粒子

5. 每 30 秒記錄一次粒子的坐標，觀察 25 分鐘

6. 若粒子逸出座標範圍，則調整玻片使粒子回到中央，每調整一次需多觀察 30 秒

7. 粒子未接觸方格以 0.5 表示，接觸方格則以整數表示

布朗粒子

未聚焦

震動中

2. 調整顯微鏡至水平。

3. 放上試片，打開電源調整光線。

4. 以調節輪調整焦距至發現做布朗運動之粒子

5. 每 30 秒記錄一次粒子的坐標，觀察 25 分鐘

6. 若粒子逸出座標範圍，則調整玻片使粒子回到中央，每調整一次需多觀察 30 秒

7. 粒子未接觸方格以 0.5 表示，接觸方格則以整數表示

2. 調整顯微鏡至水平。

3. 放上試片，打開電源調整光線。

4. 以調節輪調整焦距至發現做布朗運動之粒子

5. 每 30 秒記錄一次粒子的坐標，觀察 25 分鐘

6. 若粒子逸出座標範圍，則調整玻片使粒子回到中央，每調整一次需多觀察 30 秒

7. 粒子未接觸方格以 0.5 表示，接觸方格則以整數表示

數據處理

1. 由紀錄的（ Xi ,Yi ）坐標，計算（ ΔXi , ΔYi ）

2. 將 ΔXi , ΔYi 合併，得 100 個 ΔX 值3. ΔX 按大小由負到正排列4. 算出 ΔX 的累進機率5. 列表

ΔX 出現次數 出現機率 % 累積機率 %

-5 0 0 0

-4.5 2 2 2

-4 9 9 11

ΔX

出現機率

作常態分佈圖 3

作累積機率圖 4

ΔX

累積機率

6. 帶入式 11 :

0

2

3 rN

RTX

方格線的距離為 8μm  

 

 

 

 

資料來源1. http://www.zak.com.tw/products_detail.php?l=2&pro_id

=181

2. http://blog.yam.com/flash1108/article/12683857

3. http://www.linsgroup.com/Statistics/statistics.html

4. http://content.onlinejacc.org/mobile/article.aspx?articleid=1127956

5. http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%B8%83%E6%9C%97%E8%BF%90%E5%8A%A8維基百科