財務工程 呂瑞秋著 1

第三章 歐式股票選擇權的評價

Black and Scholes 的模型

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選擇權 選擇權有兩種：買權與賣權 賣權也是一種買賣契約，其擁有者 ( 買入歐式

股票賣權的人 ) 在未來該賣權到期時，有權利以契約上約定的履約價格來賣出標的股票予發行者 ( 賣出歐式股票賣權的人 )

買權的到期價值為 Max(S T -K, 0)

賣權的到期價值為 Max(K-S T, 0)

S T ：標的股票到期價格

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韋納過程 (Wiener process) dwt = wt+dt-wt =ε(dt)1/2 dwt 表示韋納過程在

t 時經過 dt 時間後的變化量或增量， ε 為服從標準常態分配 (standard normal distribution) 的隨機變數

變化量或增量 dwt 與 t 時以前 ( 含 t 時點 )的韋納過程是不相關 ( 馬可夫特性 )

wt 為平均數 (mean)w0 且變異數 (variance) 為 t 的常態分配

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一般化韋納過程 (generalized wiener process)

dxt = xt+dt-xt = μdt +σdwt

xt 的分配為平均數 x0+μt ，變異數為 σ2t的常態分配

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幾何布朗運動 dSt = St+dt-St = μS t dt +σS t dwt

St 服從對數常態分配 (lognormal distribution)

投資股票的平均報酬率與持有時間同步增

加，而投資風險，若以標準差來衡量，與持有時間的平方根同步增加

dtdtSdS tt /

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伊藤過程 (Ito process) dyt = yt+dt-yt = μ(y t ,t) dt +σ(y t ,t) dwt

具有馬可夫特性 韋納過程、一般化韋納過程與幾何布朗運動

其實都是伊藤過程的特例 伊藤過程也常被稱為擴散過程 (diffusion pr

ocess) 伊藤過程有一特性是，即使經某些特定條件

下的函數轉換，仍然維持著伊藤過程的容貌。此即 Ito’s lemma

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Ito’s lemma 若 yt 是一個伊藤過程，其隨機微分式為： dyt = μ(y t ,t) dt +σ(y t ,t) dwt

而且 F 是 y t 與 t 的可微分 (differentiable) 的函數，則 F(y t ,t) 也是一個伊藤過程，其隨機微分式為：

ttt

t

t

tt

t dwtyy

Fdtty

y

F

t

Fty

y

FtydF ),()],(

2

1),([),( 2

2

2

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Ito’s lemma 的應用 St 服從幾何布朗運動

tt dwdtSd )2

1(ln 2

ttt

tt

t

ttt

t

tt dwS

S

tSFdtS

S

tSF

t

tSFS

S

tSFtSdF

),(])(

),(

2

1),(),([),( 2

2

2

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複製法 利用股票與買權 ( 兩種風險資產 ) 來合成

銀行帳戶 ( 無風險資產 ) 以完成評價工作 由買進一單位股票衍生性商品與賣出

單位的股票組合而成 組合的價值為

t

t

S

tSF

),(

tt

ttt S

S

tSFtSFV

),(

),(

dtSS

tSF

t

tSFdV t

t

ttt ])(

),(

2

1),([ 2

2

2

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複製法 (Cont) 又 結合以上可導出著名的 Black-Scholes-Mert

on 微分方程式

此微分方程式加上買權的邊界條件可解出著名的 Black-Scholes 公式

複製法在文獻上也稱為 PDE 法

ttt dtrVdV

),()(),(

2

1),(),( 22

2

tSrFSS

tSFrS

S

tSF

t

tSFtt

t

tt

t

tt

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Black-Scholes 買權公式 )2()1(),( )( dKedStSF tTr

tt

tT

tTrKSd t

))(2/()/ln(1

2

tTdd 12

dxe

yy x

2

)(2/2

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買賣權等價關係 (Put-Call Parity) Ct 代表買權價格， Pt 代表賣權價格

ttTr

tt CKePS )(

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Black-Scholes 賣權公式

tT

tTrKSd t

))(2/()/ln(1

2

tTdd 12

dxe

yy x

2

)(2/2

)1()2(

)]1(1[)]2(1[)(

)(

dSdKe

dSdKeP

ttTr

ttTr

t

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風險中立評價法 計算被評價資產在風險中立世界下未來現

金流量的期望值後，再以無風險利率折現即得該資產之現值

風險中立評價法其實是平賭方法 (Martingale approach) 的一個特例

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風險中立世界股價的隨機過程 運用 Girsanov 定理作機率測度的改變 (pr

obability measure change)

λ=(μ-r)/σ

tttt wdSdtrSdS ~

dtwddw tt ~

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買權的評價方程式

)]0,([)( KSMaxEeC TQtTr

t

)(2

)]})(2

([ln{ln

2

22

)(2

1)( tT

tTrSS

T

T

tT

eStT

Sf

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影響歐式選擇權價值的因素 買權 賣權

標的資產價格 ＋ －

履約價格 － ＋

利率 ＋ －

波動率 ＋ ＋

時間 － 不確定

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選擇權的財務特性 可由買進標的股票與賣出零息債券組合而成 若股價上漲 1% ，則買權價值會上漲超過 1% 標的股價與履約價格同時增加一倍，買權或賣

權價值也隨之增加一倍 當標的股價為 0 時，歐式買權的價值也是 0 歐式買權的價值不會超過標的股價 美式買權在股票無現金股利下，持有者是不會

提前執行。但是，美式賣權就有可能提前執行

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Black and Scholes 模型後續的研究 資產價格服從其他隨機過程 隨機利率下的 Black and Scholes 模型 其他商品的選擇權 美式選擇權 數值方法新奇選擇權