ДОКАЗАТЕЛЬСТВ

А

«ТЕОРЕ

МЫ ПИФАГО

РА»

БО

ГД

АН

АН

ДР

ЕЕ

ВИ

Ч М

ЕЛ

ЬН

ИК

8 А

20

12

Г.

ТЕОРЕМА ПИФАГОРАВ прямоугольном треугольнике квадрат

гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

У ЕВКЛИДА ЭТА ТЕОРЕМА ГЛАСИТ«В прямоугольном треугольнике квадрат

стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол».В GEOMETRIA CULMONENSIS (ОКОЛО

1400 Г.)«Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу».

ПРОСТЕЙШЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах -по два.

ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЕВКЛИДА Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем

доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны.

Рассмотрим чертеж слева. На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника — BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах.

Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника AHJK Для этого воспользуемся вспомогательным наблюдением: Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половины произведения основания на высоту. Из этого наблюдения вытекает, что площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке), которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK.

Докажем теперь, что площадь треугольника ACK также равна половине площади квадрата DECA. Единственное, что необходимо для этого сделать, — это доказать равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равна половине площади квадрата по указанному выше свойству). Равенство это очевидно: треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Именно — AB=AK, AD=AC — равенство углов CAK и BAD легко доказать методом движения: повернём треугольник CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата — 90°).

Рассуждение о равенстве площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI совершенно аналогично.

Тем самым мы доказали, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катетах. Идея данного доказательства дополнительно проиллюстрирована с помощью анимации, расположенной выше.

Данное доказательство также получило название «Пифагоровы штаны».

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭПШТЕЙНА

1. Проведем прямую EF, на которой лежат диагонали

Двух квадратов, построенных на катетах треугольника

И проведем прямую CD перпендикулярно EF через вер-

Шину прямого угла треугольника.

2. Из точек А и В Продлим стороны квадрата, постро-

енного на гипотенузе треугольника, до пересечения с EF.

3. Соединим полученные на прямой EF точки с противо-

Лежащими вершинами квадрата и получим попарно рав-

Ные треугольники.

4. Заметим, прямая CD делит больший квадрат на две

Равные прямоугольные трапеции, которые можно разбить

На треугольники, составляющие квадраты на катетах. И

Получим квадрат со стороной, равной гипотенузе треугольника.

В С

А D

G

EF

H

MN

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НИЛЬСОНА1. Продлим сторону АВ квадрата, построенного на

гипотенузе треугольника.

2. Построим прямую EF, параллельную ВС.

3. Построим прямую FH, араллельную АВ.

4. Построим прямую из точки D, параллельную СН.

5. Построим прямую из точки А, параллельную СG

6. Проведем отрезок MN, параллельный СН

7. Так как все фигуры, полученные в большем треугольнике равны фигурам в квадратах, построенных на катетах, значит площадь квадрата на гипотенузе равна сумме площадей квадратов на катетах.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО БАТХЕРА

1. Проведем прямую, на которой лежат диагонали квадратов, построенных на катетах треугольника и опустим из вершин квадратов параллельные отрезки на эту прямую.

2. Переставим большие и маленькие части квадратов, расположенные над осью.

3. Разобьем полученную фигуру как указанно на рисунке и расположим их так, чтобы получился квадрат, сторона которого равна гипотенузе треугольника.

СТЕРЕОМЕТРИЯ

Другое обобщение: Теорема Пифагора может быть применена для стереометрии в следующем виде. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, как показано на рисунке. Найдем длину диагонали BD по теореме Пифагора:

где три стороны образуют прямоугольный треугольник. Используем горизонтальную диагональ BD и вертикальное ребро AB, чтобы найти длину диагонали AD, для этого снова используем теорему Пифагора:

или, если все записать одним уравнением:

Этот результат — это трехмерное выражение для определения величины вектора v (диагональ AD), выраженного через его перпендикулярные составляющие {vk} (три взаимно перпендикулярные стороны):

Это уравнение можно рассматривать как обобщение теоремы Пифагора для многомерного пространства. Однако, результат на самом деле есть не что иное, как неоднократное применение теоремы Пифагора к последовательности прямоугольных треугольников в последовательно перпендикулярных плоскостях.