第三章 优化设计数学 模型及其求解

建立正确的数学模型，是解决最优化设计问题的关键。总的说来对数学模型的基本要求为：

1) 数学模型能正确地表达设计问题，准确可靠地保证设计问题所要达到的目的和满足所受的各种限制条件。

2) 建立的数学模型要容易处理，总的推备时间较少，计算过程稳定，计算结果可靠。

第一节 设计变量的确定 设计变量是在设计过程中需要进行选择并最终必

须确定的各项独立参数。虽然凡能影响设计质量或结果的可变参数均可作为设计变量，但设计变量太多，会增加计算的难度和工作量，且会由于问题过份复杂而失去实际意义。设计变量太少，则减小了设计自由度，难以甚至无法得到较佳的优化结果。总的原则应该在确保优化效果的前提下，尽可能地减少设计变量。

在机械优化设计中，对某一种参数是否作为设计变量，必须考察这种参数是否能够控制，实行起来是否便利，制造加工成本如何，以及允许调整范围等实际问题。要把有关参数中对优化目标影响最大的那些独立参数作为设计变量，此外应力求选取容易控制调整的参数 ( 如连杆机构中的杆件长度 ) 作为设计变量。对有关材料的机械性能，由于可供选用的材料往往是有限的，而且它们的机械性能又常常需要采用试验的方法来确定，无法直接控制，所以作设计常量处理较为合理。

那些根据以往经验或资料可确定的参数，受工厂条件限制无法随意变动的参效，也都应取作设计常量，对于应力、应变、压力、挠度、功率、温度等等设计者不能直接判断，而是一些具有一定函数关系式计算出的因变量，当它们在数学上易于消去时，也可不定为设计变量。但如果避免这种参数在数学上有因难测也可取为设计变量。

总之对影响设计质量的各种参数要认真分析，慎重合理地选取设计变量。

第二节 目标函数的建立 目标函数是以设计变量表示设计所要追求的某种性能指

标的解析表达式，用来评价设计方案的优劣程度。 对于不同的机械设计有不同的衡量评价标准。从使用性

能出发，有要求效率最高，功率利用率最好，可靠性最好，测量或运动传递误差最小，平均速度最大或最小，加速度最大或最小，尽可能满足某动力学参数要求等等。从结构型式出发，有要求重量最轻，体积最小等等。也有从经济性考虑，有要求成本最低，工时最少，产值最大等等。而且往往要求同时兼顾几方面的要求。

一般说来，目标函数越多，设计结果越趋完善，但优化设计的难度也相应增加。实际使用中应尽量控制目标函数的数目，抓问题的主要矛盾，针对影响机械设计的质量和使用性能最重要、最显著的问题来建立目标函数，保证重点要求的实现，其余的要求可处理成设计约束来加以保证。

第三节 约束条件的确定 设计约束是考虑边界和性能对设计变量取值的限制

条件，边界约束规定设计变量的取值范围，在机械优化设计中，先对每个设计变量都给出明确的上、下界限约束是完全可能的，实践证明也是很有益的。尽管其中某些约束会由于引入其它约束条件成为不起作用的消极约束，但对求解中确定计算初始点，估计可行区域，判断结果合理性等都会带来好处。

在优化设计中，对于一个性能指标，可以取为目标函数，也可对定为设计约束 ( 或称为性能约束 ) 。例如机械设计中的强度条件、刚度条件、稳定性条件、援动稳定性条件等等。从计算角度上讲，约束函数的检验相对容易处理，因此可利用目标函数和设计约束可以相互置换的特点，根据需要灵活使用。

在确定设计约束时，一般可以比常规设计考虑更多方面的要求，例如工艺、装配、各种失效形式、费用、性能要求等等。只要某种限制能够用设计变量表示为约束函数〔包括经验公式、近似表达式等等 ) ，都可以确定为约束条件。 当然不必要的限制，不仅是多余的，还将使设计可行区域缩小（即限制了设计空间 ) ，进而会影响最优结果的获得。

第四节 最优化方法的选择选择优化方法应综合考虑： 1) 设计变量是连续的还是离散的以及维数的多少。维数较低可选用结构简单易于编程的方法．维数高的则应选择收敛速度较快的方法。

2) 目标函数是单目标还是多目标，目标函数的连续性及其一阶、二阶偏导数是否存在以及是否易于求得，对于求导困难或导数不存在的应避免求导而采用直接法。

常用优化方法的特点和应用范畴

3) 有无约束，约束条件是不等式约束，还是等式约束，还是两者同时兼有。如具有等式约束，显然不能直接采用复合形法，内点惩罚函数法。

随着近年来优化技术的发展，国外已建立各种优化方法的程序包，在国内也不准找到一些通用的优化程序。评价优化程序的准则主要有：

1)通用性。在合理的精度要求下，在一定的计算时间内，能求解出各种不同类型的优化问题的成功率。

2) 有效性。对同一问题在同一精度同一初始条件下，求解优化问题所用计算时间的多少。

3)简便性。指人们所需要准备的工作量大小、包括学习使用程序，编制针对具体优化问题的辅助子程序，程序中所需调用参数的多少，调试操作复杂程度，输入、输出控制方式等等。

实际使用中，除了个别简单问题和学习需要外，一般应尽量选用现有优化程序。因为使用通用优化程序，对不同类型的具体优化问题仅仅只要按规定格式编写目标函数相约束条件子程序。

第五节 计算结果的分析与处理 由于机械设计问题的复杂性，或建模中可能的失误，

对优化计算得到的结果要进行仔细的分析，有时还需要进行适当的处理，以保证设计的合理性。

对设计变量进行过尺度变换或离散型变量作为连续型变量来计算的，则需对其计算结果相应进行反变换和圆整为离散值的处理。

目标函数的最优值．是对计算结果进行分析的重要依据，将它与原始方案的目标函数值作比较，可看出优化设计的效果。若给几个不同的初始点进行计．从其结果可以大致判断出全局最优解。

对计算结果得到的最优解，需要检查它们的可行性和合理性。