АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Начало

ВГУЭС

Оглавление

Составитель

1

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯАЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ(учебная дисциплина)

Составителидоценты кафедры математики

и моделирования ВГУЭС Шуман Галина ИвановнаВолгина Ольга Алексеевна

Начало

ВГУЭС


Составитель Элементы аналитической геометрии на

плоскости

2

Начало

ВГУЭС



СодержаниеСодержание

§ 1. Прямая на плоскости.

§ 2. Угол между двумя прямыми.

§ 3. Взаимное расположение двух прямых.

§ 4. Расстояние от точки до прямой.

§ 5. Кривые второго порядка

§ 6. Полярная система координат

3

Начало

ВГУЭС



§ 1. Прямая на плоскости§ 1. Прямая на плоскости

Линия на плоскости рассматривается (задается) как множество точек, обладающих некоторым, только им присущим геометрическим свойством.

Введение на плоскости системы координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел - ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (то есть равенства, связывающего координаты точек линии).

4

Начало

ВГУЭС




Уравнением линии (или кривой) на плоскости Oxy называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Переменные x и у в уравнении линии называются текущими координатами точек линии.

5

Начало

ВГУЭС




Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды уравнений прямой.

Пусть – заданная точка прямой . Вектор , перпендикулярный прямой , называется нормальным вектором ( или нормалью) этой прямой.

6

Начало

ВГУЭС




Уравнение вида

Называется уравнением прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору .

7

l�⃗�𝑀 0 M

Начало

ВГУЭС




Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые в последнем уравнении, получим

. Обозначим , тогда уравнение примет вид ,

которое называется общим уравнением прямой на плоскости.

8

Начало

ВГУЭС




Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:

1) если то уравнение приводится к виду Это есть уравнение прямой, параллельной оси Ох

9

у

х0

−𝑪𝑩

l

Начало

ВГУЭС




2) если то уравнение приводится к виду прямая параллельна оси Оу

10

y

x0

−𝑪𝑨

l

Начало

ВГУЭС




3) если то получим уравнение

прямой проходящей через начало координат

11

х

у

0

l

Начало

ВГУЭС




4) если уравнение прямой принимает вид или , которая проходит через ось Ох

12

х

у

0

l

Начало

ВГУЭС




5) если , уравнение прямой принимает вид , которая проходит через ось Оу

13

х

у

0

l

Начало

ВГУЭС




Если в общем уравнении прямой

, его можно преобразовать к виду . Обозначив , получим уравнение ,

которое называется уравнением прямой в отрезках

14

у

х0

lb

a

Начало

ВГУЭС




Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором прямой.

Пусть – заданная точка на прямой, – направляющий вектор этой прямой, – произвольная точка прямой l .

15

l

S

Начало

ВГУЭС




Уравнение вида

называется каноническим уравнением прямой или уравнением прямой, проходящей через данную точку, параллельно данному вектору.

16

l

𝑴 𝟎

𝑴�⃗�

Начало

ВГУЭС




В частности, если прямая l параллельна оси Ох, то ее направляющий вектор и уравнение прямой примет вид

или .

Если прямая l параллельна оси Оу, то ее направляющий вектор , уравнение прямой примет вид или .

17

Начало

ВГУЭС




Если в каноническом уравнении положить , где – параметр, переменная величина, и выразить х и у, получим уравнения

которые называются параметрическими уравнениями прямой.

18

Начало

ВГУЭС




Пусть на прямой l заданы две точки – текущая точка этой прямой. Тогда уравнение вида

называется уравнением прямой, проходящей через две данные точки.

19

Начало

ВГУЭС




Пусть – заданная точка на прямой , – угол наклона прямой к оси Ох, . Обозначим ( – угловой коэффициент прямой). Тогда уравнение вида

называется уравнением прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении.

20

Начало

ВГУЭС




Выразим из последнего уравнения:

), обозначим , тогда получим уравнение

,

которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

21

Начало

ВГУЭС




22

x

y

b

0M

l

O

0S

𝒚=𝒌𝒙+𝒃

Начало

ВГУЭС



§ 2. Угол между двумя прямыми


Пусть прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами

,

где , и - углы наклона к оси Ох соответственно.

23

Начало

ВГУЭС





24

x

y

O

�

Начало

ВГУЭС





Если , то

Таким образом

25

Начало

ВГУЭС





Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учитывая, какая прямая является первой, какая - второй, то правая часть формулы берется по модулю, то есть

26

Начало

ВГУЭС





Пусть прямые заданы общими уравнениями

, где – нормальные векторы прямых. Тогда или .

27

Начало

ВГУЭС



§ 3. Взаимное расположение двух прямых


Если , то и . Это означает, что

.

Таким образом, условие параллельности двух прямых, заданных с угловыми коэффициентами, заключается в равенстве угловых коэффициентов этих прямых.

28

Начало

ВГУЭС





Если , тогда или

- условие перпендикулярности двух прямых, заданных с угловыми коэффициентами (угловые коэффициенты двух перпендикулярных прямых обратно пропорциональны и противоположны по знаку).

29

Начало

ВГУЭС





Пусть прямые заданы общими уравнениями

, где – нормальные векторы прямых.

Если , тогда - условие параллельности двух прямых, заданных общими уравнениями.

30

Начало

ВГУЭС





Если прямые заданы уравнениями

, , тогда

-

условие перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями.

31

Начало

ВГУЭС



§ 4. Расстояние от точки до прямой


Пусть прямая задана уравнением

и дана точка , не принадлежащая этой прямой. Обозначим через

расстояние от точки до прямой . Тогда .

32

Начало

ВГУЭС





33

x

y

O

l

d

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Documents

Transcript of АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ