第三章 風險值與市場風險

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第三章 風險值與市場風險. 衡量風險工具 風險值 衡量風險值的方法 共變異法及其應用 歷史模擬法 蒙地卡羅模擬法. 市場風險 (Market Risk). 市場風險是因商品市場價格變動而導致損失的風險 。 諸如利率、匯率、股價等金融工具的價格波動,有可能導致投資機構發生損失 。 其衡量期間可以短到一天。 風險的衡量通常是將其量化為一定金額或相對於某一標竿的金額。. 衡量風險工具. 敏感度 (sensitivity) 波動度 ( Volatility ) 風險值 (Value at risk, VaR). 敏感度. - PowerPoint PPT Presentation

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第三章 風險值與市場風險第三章 風險值與市場風險衡量風險工具風險值衡量風險值的方法共變異法及其應用歷史模擬法 蒙地卡羅模擬法

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市場風險市場風險 (Market Risk)(Market Risk)市場風險是因商品市場價格變動而導

致損失的風險。 ◦諸如利率、匯率、股價等金融工具的價格

波動,有可能導致投資機構發生損失。◦其衡量期間可以短到一天。◦風險的衡量通常是將其量化為一定金額或

相對於某一標竿的金額。

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衡量風險工具衡量風險工具

敏感度 (sensitivity)波動度 ( Volatility ) 風險值 (Value at risk, VaR)

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敏感度敏感度衡量某風險因子的變動對目標資產價值的

影響程度,常以「 Delta 」稱之。 例如債券的價格隨市場利率之變動而變動,

其風險因子為市場利率,敏感度就是債券價格對市場利率的微分,也就是說債券價格的 Delta 值為 Dollar Duration

$1DurationDollar

)1(D

r

tC

r

Pt

tb

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標準差標準差

標準差缺點◦風險因子的機率分配若非對稱分配,則會有偏

誤發生。◦給予期望值兩邊相同的權數,然而根據最近所

發展的展望理論 (prospect theory) ,相較於負報酬投資人對正報酬給於較重的偏好。

N

iiX XEx

N 1

2)]([1

1

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風險值 風險值 發軔於 1994 年 10 月摩根銀行( J.P.

Morgan )發表一個新系統,稱為「風險矩陣( RiskMetrics )」。

1995 年巴塞爾銀行監督管理委員會提出銀行的內部模型法,將風險值作為一般市場風險資本適足性的依據

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風險值定義風險值定義在一定期間、一定信賴水準下,風險

性資產在正常的情況下,預期最大的損失金額

XXPr

ZXVaR

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常態分配假設常態分配假設

損益 X

1-α

X的機率分配

1%

μX*

VaR

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VaRVaR 特徵特徵VaR 將風險量化

◦ 風險值的單位為金額 (Dollar amount) ,而不是以往常使用的標準差或比率(如夏普指數);

VaR 是在有風險的情況下所測度的風險◦ 風險值乃是以統計學的技巧所計算出來的估計值,

也是在一定信賴水準下的估計值,而非確定值;VaR 乃是針對正常的巿場情況下所進行的估計

◦ 因此風現值無法告訴你巿場劇烈波動時的最大可能損失,

◦ 如 9 1 1 恐怖攻擊事件,此時所需的就是壓力測試(Stress testing) 與情境分析 ( S c e n a r i o analysis) 了。

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風險值風險值在實務上要衡量某單一資產( W )的

風險值通常需要知道以下三件事:◦W 在下一期的機率分配◦期間 t 有多長◦W 在當期的價值 W0

10-Day, 99%, VaR=$10 million◦ 10 天內該公司有 1% 的機會發生超過 1000 萬元的損失。

ΔtσZWWE(W)VaR Rα0*

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對對 VaRVaR 的批評 的批評

分配具厚尾 (Fat-tailed) 現象 分配具偏態 (skewed) 現象 統計參數並不穩定

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衡量衡量 VaRVaR 的類型與方法的類型與方法 絕對風險值 V.S. 相對風險值單一資產 V. S. 資產組合直接衡量 V.S. 線型轉換局部評價 (Local Valuation) V.S. 完全

評價 (Full Valuation)◦局部:共變異法 (Variance-Covariance

Method)◦完全:歷史模擬法 (Historical Simulation

Method) 、蒙地卡羅模擬法 (Monte-Carlo Simulation Method)

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單一資產單一資產假定一筆 1 億元的債券投資,其價值

在未來一年的標準差為 0.135億,則在 99% 的信賴水準下其風險值為:

)(32.01135.033.2 億VaR

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資產組合風險值資產組合風險值 -- 共變異法 共變異法

Ri = 第 i 項資產的報酬率 Rp = 資產組合的報酬率 wi = 持有第 i 項資產的比例 (權數 ) W = 總投資金額

nnp RwRwRwR 2211

ww

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w

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NNNN

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ijjijjiiipp

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1

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1

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222)(

WwwZWZVaR pp

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例例 3.3 3.3 股權投資股權投資任選 3 檔股票 250 天的股價資料如

(表 3.3 ),其中:統一、中鋼、台積電分別以權數 0.3 、 0.3 、 04形成資產組合,總投資金額為 1000 萬,請計算在 99% 的信賴度下,未來一天的風險值為何?

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風險因子線型轉換風險因子線型轉換 ------ 單一風險因單一風險因子 子

X1= 風險因子V= 資產報酬率d= 敏感度Zα= 在 1-α的信賴度下的標準常態隨機變數值

)( 1XfV

XdXX

VV

)()( XdZVZVaR

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以債券之利率風險為例 以債券之利率風險為例

Pb = 債券的市價r = 市場殖利率 (risk factor)D* = 修正後存續期間 (modified duration)σ(r) = 市場殖利率的標準差

drPDdP bb )(r

DD

1

drDPdP bb 0

)()( 0 drZDPdPZVaR bb

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風險因子線型轉換風險因子線型轉換 ------ 多風險因子 多風險因子 假定資產報酬與風險因子為線型關係

),( 1 NXXfV

TV DCD2

TDCDZVaR

NN

N

XdXdXd

XX

VX

X

VX

X

VV

2211

21

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例例 3.23.2 投資國外債券投資國外債券美國的投資人投資以德國馬克計價的 4 年

期零息債券,面額為 100 (百萬),其市場價格為 Pb,其他相關參數如(表 3.2 ),請求出在 %99 信賴度下該投資的風險值。參數 值投資金額 ($)期限Maturity (T)債券市場利率 (r)利率之標準差 ( σr )匯率 Exchange rate (EX)匯率標準差( σEX )利率與匯率之相關係數 (ρr,ex)存續期間 (Dollar duration)

100 (百萬 )4 年5%0.8%1.5 USD/DEM0.03 USD/DEM-0.6313.41

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三種方法的比較三種方法的比較共變異法 歷史模擬法 蒙地卡羅模擬

計算速度 ★★★★ × ★

處理非線性能力 × ★★★★ ★★★★

處理非常態能力 × ★ ★★★★

與歷史資料的相關性

★★ ★★ ×

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歷史模擬法歷史模擬法 (( Historical Simulation MethoHistorical Simulation Methodd ) )

利用投資組合中各資產過去的歷史價格變動量,配合各資產目前的價格,計算各資產的未來價格模擬值

將步驟 1 所求得的投資組合中各資產價格模擬值,依目前所持有資產之部位權重,重新計算投資組合的價值,如此可得出 100筆投資組合價值的模擬值。

以各資產目前價格計算投資組合目前價值 比較步驟 2 所求出之未來價值模擬值與資產目前的價值,如此可得

出 100筆未來報酬模擬值。 將所建構的未來報酬模擬值由小到大排序,在給定信賴水準為 1-α

下,依百分位數即可得出風險值。

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例例 3.4 3.4 歷史模擬法之股權投資風險歷史模擬法之股權投資風險值值投資人平均將資金投資於統一、中鋼、聯電、台積電四檔股票,選取 2000 年11 月 30日之前 200 天的日報酬率為歷史資料(如表 3.5 ),並根據歷史模擬法求算每一元投資於該投資組合未來一天在 99% 信賴度下的風險值。

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歷史模擬法的優點歷史模擬法的優點 簡單方便:只要過去歷史資料的建檔

與新資料的不斷加入,在相同方法下,可循環使用資料庫。

可處理非線型、非常態的風險因子:例如選擇權的 gamma 、 vaga 風險,或機率分配的厚尾 (fat tails) 現象,歷史模擬法均可完全補捉。

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歷史模擬法的缺點歷史模擬法的缺點 歷史資料不足時,會導致偏誤發生,風險值的估計

可信度不高。 僅僅使用一條樣本 ( 已實現 ) 數列,代表性不足。

如果一些重大事件不在其中,不表示這些重大事件未來不會發生,反之,如果重大事件包含其中,有可能因其所佔比重過大,而高估重大事件的發生。

對於波動度暫時增加的情況無法處理,尤其是對結構性的改變 (如股價漲跌限制 )無法反應,以致偏誤發生。

過去資料均以相同權數 (weight) 計算,忽略了近期資料的相對重要性。

如果是計算一龐大的資產組合的風險值時,歷史模擬法所要計算的數據太過龐大,嚴重影響計算的速度

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拔靴法(拔靴法( Bootstrap MethoBootstrap Methodd ) )

利用投資組合中各資產過去的歷史價格變動量,進行重複抽樣1000筆

將抽出的價格變動量,加上各資產目前的價格,計算出各資產的未來價格模擬值

將各資產的未來價格模擬值依目前所持有之部位,重新計算該資產組合的價值

以各資產目前價格計算資產組合目前價值 比較步驟 2 所求出之未來價值模擬值與資產目前的價值,如此可得

出 1000筆未來報酬模擬值。 將所建構的未來報酬模擬值由小到大排序,在給定信賴水準為 1-α

下,依百分位數即可得出風險值。

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例例 3.53.5 拔靴法法之股權投資風險拔靴法法之股權投資風險值值

延伸例 3.4 ,並使用拔靴法求算每一元投資於統一、中鋼、聯電、台積電四檔股票之投資組合未來一天在 99% 信賴度下的風險值。

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蒙地卡羅模擬法蒙地卡羅模擬法 (Monte Carlo Simulation, (Monte Carlo Simulation, MCS)MCS) 選取描述資產價格變動路徑的模式 (隨機過程與

參數 ) 抽取N個隨機亂數 ε1, ε2, ε3, …,εn ,代入資產

價格路徑中計算出一條可能的價格路徑 St+1, St+2, St+3, …, St+n 。

在特定的一組價格下計算資產 (或資產組合 )在 T時點的價值 Ft+n=FT 。

重複步驟 2 與步驟 3 ,計算出 K 條模擬的價格路徑,假定 K=10000 ,則,

綜合模擬結果,建構資產報酬分配,並以此計算資產 (或資產組合 ) 的風險值

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資產價格模擬資產價格模擬 (Simulating a Price Path)(Simulating a Price Path)

dtSS tttt 1)1,0(~ Nt

dtSSS ttttt 1)1,0(~ Nt

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蒙地卡羅模擬法蒙地卡羅模擬法幾何布朗運動 (Geometric Brownian

Motion, GBM)

)1,0(~ Nt

dzSdtSdS ttttt

dtdz

Wiener Process

tzz iii 1 )1,0(~ Nt

,,,2,1),(11 NtttSSS tttt

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例例 3.63.6 蒙地卡羅法計算台積電風險蒙地卡羅法計算台積電風險值值台積電過去兩年的平均日報酬率為 -

0.00257 、標準差為 0.0315 ,若台積電初始價格為 56.48 ,以蒙地卡羅法模擬台積電未來 100 天的價格路徑30條,進而計算在 95% 信賴度下的風險值。

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【圖【圖 3.33.3 】】 3030條台積電價格模條台積電價格模擬圖擬圖

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97

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1數列

2數列

3數列

4數列

5數列

6數列

7數列

8數列

9數列

10數列

11數列

12數列

13數列

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17數列

18數列

19數列

20數列

21數列

22數列

23數列