第三节 三重积分
-
Upload
cleo-finch -
Category
Documents
-
view
46 -
download
3
description
Transcript of 第三节 三重积分
一、利用直角坐标计算
dVzyxf ),,( 1、
dxdydzzyxf ),,(
x
y
z
o
D
1z
2z 2S
1S),(1 yxzz
),(2 yxzz
a
b)(1 xyy
)(2 xyy ),( yxDyx
yxzzyxz
),(
),,(2),(1:若
dxdydzzyxfD
yxz
yxz)),,((
),(
),(
2
1
直角坐标系
bxa
xyyxyD
),(2)(1:又若dxdydzzyxf
b
a
xy
xy
yxz
yxz))),,(((
)(
)(
),(
),(
2
1
2
1
b
a
xy
xy
yxz
yxzdzzyxfdydx .),,(
)(
)(
),(
),(
2
1
2
1
D
yxz
yxzdzzyxfdxdy
),(
),(
2
1
),,(
2/32
dxdydzzyxf ),,( 2、
],[ ,),,(:
21 cczDzyx z
若
dzdxdyzyxfc
cDz
)),,((2
1
)()( ),,(),(: 21
zbxzazxyyzxyDz
又若
dzdxdyzyxfc
c
zb
za
zxy
zxy))),,(((
2
1
2
1
)(
)(
),(
),(
2
1
),,(c
cDz
dxdyzyxfdz
z
2
1
2
1
)(
)(
),(
),(),,(
c
c
zb
za
zxy
zxydyzyxfdxdz
z
3/32
例1 化
dxdydzzyxfI ),,( 为三次积分,其中
为 22 2yxz 及 22 xz 所围成的闭区域。
解由
2
22
2
2
xz
yxz,
: xOyDz,得消去.yx 122
.11
,11,22 22222
x
xyxxzyx:
.),,(1
1
2
2
1
1
2
22
2
2
x
yx
x
xdzzyxfdydxI
4/32
例2 化
dxdydzzyxfI ),,( 为三次积分,其
中 由 22 yxz , 2xy, 1y , 0z 围成.
1
1 0
1 22
2 ),,(yx
xdzzyxfdydxI .
解
.11,1
,0:2
22
xyx
yxz
5/32
*例3 将1
0
1
0 0
22
),,(yx
dzzyxfdydx 化为xzy,,的次序.
解 .0 ,10: 22 yxzyDx ].1,0[x.10 ,0 : 2
1 yxzD
.1 ,1 : 2222 yxzxzxD
.21 DDDx
dydzzyxfdxDD
),,(][21
1
0 原式
11
0
12
2
2 ),,(xz
x
xdyzyxfdzdx .
1
0
1
0 0),,(
2
dyzyxfdzdxx
6/32
例4 计算
zdxdydz,其中为三个坐标面及
平面 1 zyx 所围成的闭区域.
zdxdydz解 1
z zy
dxdyzdz1
0
1
0
1
0
z
dyzyzdz1
0
1
0)1(
1
0
2)1(21
dzzz241.x
o
z
y
1
1
1
1 zyx
1 zyyOzD
7/32
解 2
zdxdydz
00 1
1
0
y,xzyx:Dz
dxdyzdz
1
0
2)1(2
1dzzz .
24
1x
o
z
y
1
1
1
zD
z
1 zyx
1
0dz|D|z z
例4 计算
zdxdydz,其中为三个坐标面及
平面 1 zyx 所围成的闭区域.
8/32
例5 计算 dxdydzz
2 , :由 12
2
2
2
2
2
cz
by
ax
所围成的空间闭区域.
x
y
z
o
zD解
a
dzc
zb
c
zaz
c)1()1(2
2
22
2
22
0
2 .154 3abc
原式b
c
z
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
1
0
22
c
z
b
y
a
x:D
c
z
dxdydzz
c
z dz|D|z0
22
9/32
例6 计算 dxdydzxy
21 ,其中由
221 zxy , 122 zx ,1y 围成. 解
dxdzzx
xzxD 2
122
2
dxz
zxx xz
xz]|)
3[(1
2
1 2
2
1
1
321
1
2
.
4528
1
11 :
2) , (
2 2
2 2
1z xz x D
x z y
ydy dxdz xzx
后 先
原式dz
zxxdx
x
x 21
221
1
1
1
22
2
10/32
二、利用柱面坐标计算).,,( zM 的柱(面)坐标点
x
y
z
o
),,( zyxM
),( rPr
.
,sin
,cos
zz
y
x
柱坐标与直角坐标的关系
为常数
为常数z
为常数
三族柱坐标面:圆柱面;
半平面;平 面.
),,( zyxM
),( rPr
z
x
y
z
o
),( P
,
11/32
例7 计算
zdxdydzI , 其中 是
4222 zyx 与 zyx 322 所围立体.
解
zz
y
x
sin
cos
由,
z
z
3
42
22
.3
,1
z即知交线
:对在上面的 上
2
3
2
42
0
3
0
dzzddI上 .4
13
:对在下面的 下 下I
.4
13
4222 zyx
zdV:下上
上
zdV0
上
zdV
13/32
另解
zyx
zyx
3
422
222
.yx
,z
3
122
即交线为
zyxDz
dxdyzdzI3:
1
022
上
.4
13同前
下 I .4
13
222 4:
2
1zyxDz
dxdyzdz
1
03zdzz
2
1
2 )4( dzzz
例7 计算
zdxdydzI , 其中 是
4222 zyx 与 zyx 322 所围立体.
14/32
例8 计算
dxdydzyxI )( 22 , 其中是曲线
zy 22, 0x 绕 oz 轴旋转一周而成的曲面与两平面 ,2z 8z 所围立体.
解
0
22
x
zy 绕 oz 轴的旋转曲面 .zyx 222
,zzyx 2 2 Ω 22 所围立体与为记
I 则
8 24
0
2
0 221
dzdrd
柱坐标
2 22
0
2
0 221
dzdd =
345
625
336 .
15/32
另解
0
22
x
zy 绕 oz 轴的旋转曲面 .zyx 222
I 则
zyxDz
dxdyyxdz2:
228
222
)(
z
dddz2
0
22
0
8
2
极坐标
8
2
20
4 |4
12 dzz
.336
例8 计算
dxdydzyxI )( 22 , 其中是曲线
zy 22, 0x 绕 oz 轴旋转一周而成的曲面与两平面 ,2z 8z 所围立体.
16/32
三、利用球面坐标计算).,,( rM的球(面)坐标点
为常数r
为常数
为常数
圆锥面;球 面;
半平面.
三族球坐标面:
.cos
,sinsin
,cossin
rz
ry
rx
球坐标与直角坐标的关系
Px
y
z
o
),,( zyxM
r
z
y
xA
17/32
dxdydzzyxf ),,(
.sin)cos,sinsin,cossin( 2 ddrdrrrrf
球坐标系中的体积元素
,sin2 ddrdrdv
d
r
x
y
z
o
dr
dsinr
rd
d
d
sinr
18/32
例9 计算
dxdydzyxI )( 22 ,其中 是
222 zyx 与 az )0( a 所围的立体.
解 1 采用球面坐标
az ,cos
ar 222 zyx ,
4
drrddIa
4
0
cos
0
342
0sin
da
)0cos
(5
1sin2
5
54
0
3 .10
5a
19/32
解 2 采用柱面坐标 ,: 222 ayxD
aa
dzddI
2
0
2
0
a
da0
3 )(2 .10
5a
222 zyx , z
222:
22
0)(
zyxD
a
z
dxdyyxdzI或
za
dddz0
22
00
.
105a
dzza
04
0|
4
12
例9 计算
dxdydzyxI )( 22 ,其中 是
222 zyx 与 az )0( a 所围的立体.
20/32
例10 求 2222 2azyx 与 22 yxz 所围立体的体积. 解 采用球面坐标。
由2222 2azyx ,2ar
22 yxz ,4
a
drrdd2
0
2
0
2
0sin4
4
0
3
3
)2(sin2
da
.)12(34 3a
由三重积分的性质知
dxdydzV
21/32
解 2)( zyx )(2222 zxyzxyzyx
例11 计算
dxdydzzyx 2)( ,其中 是由
22 yxz 和 2222 zyx 所围空间闭区域。
dVyzxy )(
左右对称
;0 zxdV
前后对称
;0
dVx2 ;2
dVy轮换对称、yx
dVzx )2( 22原式
2
2
2 2221
0
2
0)cos2(
dzzdd
柱坐标
).89290(60
22/32
四、小结1 、直角坐标下 dV=dxdydz, 柱坐标下 dV= dddz,
球坐标下 dV=r2sin drdd 。2 、三重积分计算的基本方法——化为累次积分(降维
数:化为三次(定)积分、二次积分(一次定积分和一次二重积分)。
积分顺序与定限顺序相反——先积分者后定限。3 、关键——选择适宜坐标系和累次积分顺序。根据: 1 )积分域的形状(分块少,表达简便) 边界主要为直角坐标面(柱坐标面、球坐标面)——
直角坐标(柱坐标、球坐标); 2 )被积函数的形式(各层积分中的原函数易求) 含 x2+y2 —— 柱坐标,含 x2+y2 +z2—— 球坐标。4 、利用对称性、轮换对等性等等化简计算。
23/32
五、 * 重积分的换元法
则
若
,0)(
],,[]),([ ,)( 1],[
tx
baxCtxx
1 、定积分
时;当 0)( ,)())(( txdttxtxf
dttxtxf |)(|))((],[
=
.0)( ,)())(( 时当 txdttxtxf
dxxfba ],[
)(
=
24/32
则
、若
,0),(
),(
, ,),(),( 1
vu
yx
DDCvuyyvuxx uvxyDuv
2 、二重积分
dudvvu
yxvuyvuxf
uvD|
),(
),(|)),(),,((
=
dxdyyxfxyD
),(
特别, dxdyyxfxyD ),(
极坐标变换
ddfD )sin,cos(
25/32
则
、、若
,0),,(
),,( , ,
),,(),,(), ,(
1
wvu
zyxC
wvuzzwvuyywvuxx
uvwxyzuvw
3 、三重积分
dudvdwwvu
zyx
wvuzwvuywvuxfuvw
|),,(
),,(|
)),,(),,,(),,,((
=
dxdydzzyxfxyz
),,(
26/32
特别,
;dzddzfz
),sin,cos(
dxdydzzyxfxyz
),,(柱坐标变换
.sin
)cos,sinsin,cossin(
2
ddrdr
rrrfr
dxdydzzyxfxyz
),,(球坐标变换
27/32
例 12
解所围成的闭区域.
轴和直线轴、由计算
2
,
yx
yxDdxdyeD
xy
xy
,, xyvxyu 令
.2
,2
uvy
uvx
则
,DD
D
x
y
o
2 yx
D
u
v
o
vu vu
2v
.22
;0
;0:
vyx
vuy
vux即
29/32
),(),(
vuyx
J
,21
21
21
21
21
D
v
u
D
xy
xy
dudvedxdye21故
v
v
v
u
duedv2
021
2
0
1 )(21
vdvee .1 ee
D
u
v
o
vu vu
2v
30/32
例 13
解
所围成的闭区域.
为椭圆其中计算
1
,1
2
2
2
2
2
2
2
2
b
y
a
x
Ddxdyb
y
a
x
D
.20,0,0,0 rba其中
,sin
,cos
bry
arx变换作广义极坐标
},20,10),{( rrDD
31/32