http://gorkunova.ucoz.ru

Правильнаяпризма

Типовые задачи

ЕГЭ - В9

B

D1

C

A1

В правильной четырёхугольной призме (А…D1) известно, что AC1 = 2BC . Найдите угол между диагоналями BD1 и CA1 . Ответ дайте в градусах.

A

B C

D

A1

B1 C1

D1

№ 1

O

x

xx600

O

BD1 ∩ CA1 = 0 BD1 , CA1 BCD1A1

BCD1A1 - прямоугольник

Диагонали прямоугольника равны

и точкой пересечения делятся пополам

Пусть ВС = х, тогда АС1 = 2х

значит, ОВ = ОС = ВС = х

ВОС - равносторонний

(BD1, CA1) = ВОС = 600

Ответ: 600

Углы равностороннего треугольника по 600

В С

В1С1

В правильной треугольной призме (А…С1) все ребра которой равны 3 . найдите угол между прямыми АА1 и ВC1 . Ответ дайте в градусах.

A

B

C

A1

B1

C1

№ 2

3

3

Основания призмы – равносторонние треугольники

Боковые грани призмы - квадраты

(АА1, ВС1) = (СС1, ВС1) = ВС1С

ВС1 – диагональ квадрата ВВ1С1С

ВС1С – острый угол равнобедренного, прямоугольного ВС1С (С = 900)

Острые углы прямоугольного равнобедренного треугольника равны 450

АА1 = СС1

Ответ: 450

Найти (АА1, ВС1)

В правильной шестиугольной призме (А…F1) все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точками В и Е .

A

B

C

A1

B1

C1

№ 3

D

E

F

D1

E1

F1

А

F

E D

C

B

O

Рассмотрим ВЕ в правильном шестиугольнике:

Наиб. диагонали правильного шестиугольника делят

его на 6 равносторонних треугольника со стороной 1.

1

1

1

1

1

1 11

1

11

1

ВЕ = ЕО + ОВ

ВЕ = 1 + 1 = 2

Ответ: ВЕ = 2

В правильной шестиугольной призме (А…F1) все ребра которой равны 1, найдите угол ACC1 . Ответ дайте в градусах.

A

B

C

A1

B1

C1

№ 4

D

E

F

D1

E1

F1

ACC1 = 900

в правильной призме боковое ребро

перпендикулярно основанию призмы,

а значит всем прямым, которые лежат

в основании

СС1 (А…Е)

АС (А…Е)

Ответ: 900

В правильной шестиугольной призме (А…F1) все ребра которой равны 1, найдите угол DAB . Ответ дайте в градусах.

A

B

C

A1

B1

C1

№ 5

D

E

F

D1

E1

F1

Основания призмы – правильные шестиугольники

D

A B

C

E

FO

Наибольшие диагонали правильного 6-угольника, делят его на 6 равносторонних

треугольника углы которых по 600

DAB = OAB = 600

Ответ: 600

В правильной шестиугольной призме (А…F1) все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла AD1D . Ответ дайте в градусах.

A

B

C

A1

B1

C1

№ 6

D

E

F

D1

E1

F1

А

F

E D

C

B

O

1 1

1

AD – противолежащий катет AD1D

21

1 DD

ADDtgAD

DD1 – прилежащий катет AD1D

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника

называется отношение противолежащего катета

к прилежащему катету

Ответ: 2

В правильной шестиугольной призме (А…F1) все ребра которой равны √5, найдите расстояние между точками В и Е1 .

A

B

C

A1

B1

C1

№ 7

D

E

F

D1

E1

F1

А

F

E D

C

B

O

ВE1 – гипотенуза ВEE1 (E = 900), ЕЕ1 = √5

21

21 EEBEBE

Рассмотрим ВЕ в правильном шестиугольнике:

Наиб. диагонали правильного шестиугольника делят

его на 6 равносторонних треугольника со стороной √5.

ВЕ = ЕО + ОВ

ВЕ = √5 + √5 = 2√5

5255201 BE

√5

√5

√5

Ответ: ВЕ1 = 5

E

A

B C

DО

F

В правильной шестиугольной призме (А…F1) все ребра которой равны 8, найдите угол между прямыми FА и D1E1 . Ответ дайте в градусах.

A

B

C

A1

B1

C1

№ 8

D

E

F

D1

E1

F1

Основания призмы – правильные шестиугольники

Боковые грани призмы - квадраты

E1D1 ║ EDE1D1 = ED

FA ║ CDFA = CD

(FА, E1D1) = (СD, ED) = EDС

1 способ: по формуле угла правильного многоугольника

n

)n(n

01802

В нашем случае n = 6, подставляем

В формулу, получим 6 = 1200

2 способ:Наибольшие диагонали правильного 6-угольника, делят его

на 6 равносторонних треугольника, углы которых по 600

EDС = CDO + EDO = 600 + 600 = 1200

тогда угол между прямыми равен 600Ответ: 600

Найти (FA, E1D1)

O

В правильной шестиугольной призме (А…F1) все ребра которой равны 1, найдите расстояние между точками А и Е1 .

A

B

C

A1

B1

C1

№9

D

E

F

D1E1F1

А

F

E D

C

B

O

M

A

F OM

1

0,5

600

1 способ: по т. Пифагора:

АМ2 = AF2 – FM2 = 1 – ¼ = ¾

2 способ: АМ = АF . sin600 = 1 . √3/2 = √3/2

AE1 – гипотенуза AEE1 (E = 900)

21

21 EEAEAE

Рассмотрим АЕ в правильном шестиугольнике:

Наиб. диагонали правильного шестиугольника делят

его на 6 равносторонних треугольника со стороной 1.

АЕ = 2 . АМ

где АМ – высота равностороннего AOF

АЕ2 = 4 . АМ2

АЕ2 = 4 . ¾ = 3

11

24131 AE

Ответ: АЕ1 = 2