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第 五 章 图 论 ( 第二部分 )

1. 通路2. 图的连通性

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1. 通路[ 定义 ] 通路 pseudo path 设 G ＝ (V ， E) 是图， v0， vn是 G 中两点。若 G 中结点序列 v0v1 … vn满足： vi与 vi+1相邻 (0 i ＜ n), 则该序列称为从 v0到 vn的通路。 两个端点相同的通路称为回路（环或圈）。 通路中包含的边数称为该通路的长度。 注意： (1) 通路中允许有重复的结点和边。

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A

B

C D

E

通路举例

通路： ADEBDEA回路： ACDBCEA回路： ABCDEA

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A

B

C D

E 简单通路： ADEBD简单回路： ACDBCEA

[ 定义 ] 简单通 ( 回 ) 路 各边均不相同的通路称为简单通路。 各边均不相同的回路称为简单回路

简单通 ( 回 ) 路

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基本通 ( 回 ) 路[ 定义 ] 基本通 ( 回 ) 路 结点各不相同的通路称为基本通路。 中间结点各不相同的回路称为基本回路。

A

B

C D

E基本通路： ACEBD基本回路： ABCDEA

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有向通 ( 回 ) 路 [ 定义 ] 有向通 ( 回 ) 路 若通路 v0v1 … vn各边是有向边，且 vi-1和 vi分别是有向边的始点与终点，则称该通路为有向通 ( 回 ) 路。

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通路定理 [ 定理 ] 通路定理 在 n 阶图 G 中，如果有顶点 u 到 v （ u v ）的通路，那么 u 到 v 必有一条长度小于等于 n1 的基本通路。

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通路定理证明 定理：在有 n 个顶点的图 G 中，如果有顶点 u 到 v 的通路，必有长度不大于 n-1 的基本通路。证明： (1) 先证明 u 和 v 之间存在基本通路 若 uv 之间的通路 P 中有相同的顶点，则从 P 中删除相同顶点之间路径，直到 P 中没有相同顶点，这样得到的路径为 u 和

v 之间的基本通路。 (2) 再证基本通路长度不大于 n-1 （反证法）设 u 和 v 之间的基本通路的长度≥ｎ。 ∵ 一条边关联两个顶点， ∴长度≥ｎ的基本通路上至少有ｎ＋１个顶点。 ∴ 至少有两个相同顶点在 u 和 v 之间的基本通路上，这与基本通路的性质“任意两个顶点不同”相矛盾。 ∴ 基本通路的长度 <= n - 1

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路径：回路定理 [ 定理 ] 回路定理 在有 n 个顶点的图 G 中，如果有顶点 v到自身的通路，那么必定有一条从 v 到 v的长度不大于 n 的基本回路。

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连通性定义 [ 定义 ] 两结点连通 ( 可达 )

若 u 与 v 之间有通路相连，则称 u 与 v 连通（可达）。 规定：任意顶点与自身连通。 [ 定义 ] 连通无向图

任意两个顶点都连通的无向图

a

b c

d e

f

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有向图的连通性 强连通的有向图

任意两个顶点都是互相连通的。 单向连通的有向图

任意两个顶点，至少从一个顶点到另一个是连通的 弱连通的有向图

底图连通的

b c

a

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强连通图性质（补充） 定理：一个有向图 G 是强连通的当且仅当Ｇ中有一条包含所有顶点至少一次的回路。证明： ： Ｇ中有一条包含所有顶点的回路，显然强连通。 /* 连通图的定义 */

：如果 G 强连通， G 中的顶点为 v1， v2，… .vn, 设 v1到v2路径为 P1， v2到 v3的路径为 P2 ，……， vn到 v1 的路为 Pn ，将 P1， P2，… ... Pn连起来，此路是一条包含 G中所有顶点的回路。

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有向图连通性举例 判断下面给出的图是强连通图、单向连通图还是弱连通图。

A B

C

DE

F

A B

C

DE

F

A B

C

DE

F

A B

D C

E

强连通图弱连通图强连通图单向连通图

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无向图的连通分支 [ 定义 ] 连通分支（ connected component ）

设图 G’ 是无向图 G 的子图的，如果：(1) G’ 是连通的，(2) G’ 不是任何其它连通子图的真子图（极大性）则称 G’ 是 G 的连通分支。

G

[ 定义 ]连通图：只有一个连通分支的图。

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无向图连通分支举例例 请指出下图G的连通分支数。

v3

v4

v5

v6

v7

v1

v2

G

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有向图的连通分支 [ 定义 ] 强（单向、弱）连通分支 设图 G’ 是有向图 G 的子图的，如果：

(1) G’ 是强连通（单向连通、弱连通）的，(2) G’ 不是任何其它强连通（单向连通、弱连通）子图的真子图（极大性）则称 G’ 是 G 的强连通分支 / 强分支（单向连通分支 / 单向分支、弱连通分支 / 弱分支） 。

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有向图的连通分支举例

强分支 : <{v1,v2,v3,v6},{e1,e2,e5,e6,e7}> 、<{v4},> 、 <{v5}, > 、 <{v7}, > 、 <{v8}, > 、单向分支 : <{v1,v2,v3,v4,v6},{e1,e2,e3,e5,e6,e7}> 、 <{v4 ,v5},{e4}> ， <{v7,v8},{e8}>

弱分支 : <{v1,v2,v3,v4,v5,v6},{e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7}> 、 <{v7 ,v8},{e4}>

v8

G

v2

v1 v6

v3

v5

v4e2

e1

e7

e6 e5

e3

e4

v7

e8

例 请指出下图G的所有强分支、单向分支和弱分支。

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有向图连通分支举例 请给出下图的所有强分支、单向分支和弱分支

强分支：G[{A}]、G[{E}]、G[{F}]、G[{B}]、G[{C}]、G[{D}] 、 G[{P,Q,S,T}]

单向分支： G[{A,E,F}]、G[{B,C,D}]、G[{A,B,C,D}]、 G[{A,C,D,E}]、G[{P,Q,S,T}]

弱分支： G[{A,B,C,D,E,F}] ， G[{P,Q,S,T}]

A B

C

DE

F

P Q

ST

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•若若 nn 阶图阶图 GG 的邻接矩阵为的邻接矩阵为 A=(aA=(aijij))n×nn×n ，， V(G)={vV(G)={v11,v,v22,…,v,…,vnn},}, 则：则：（（ 11 ）若ａ）若ａ ijij ＝ ＝ 11 ，表明，表明 vvii 到到 vvjj 有一条边，即有一条边，即 vvii 到到 vvjj 连通连通；；（（ 22 ）若）若ａａ ijij ＝０，表明＝０，表明 vvii 到到 vvjj 没有长度为没有长度为 11 的通路。的通路。

ｂ ij 的值表示 G中Ｖ i 到Ｖ j 长度为２的通路条数。

Ｂ＝Ａ2＝ nnijb )(

ｂij＝

n

kkjikaa

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图的连通性：连通性质讨论

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[ 定理 ]若 G 的邻接矩阵为 A ，则矩阵Ａ m 的元素 bij 表示 vi 到 vj 长度为ｍ的通路条数。

连通性质讨论 ( 续 )

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可达矩阵 [ 定义 ] 可达矩阵 若ｎ阶有向图Ｇ的邻接矩阵为 A ，令

B = A+A2+…+An-1 +An

将 B 中不为 0 的元素改为 1 ，为 0 的元素不变，修改后所得到的矩阵 (bij)nn称为 G 的可达矩阵。 图 G 从 vi点到 vj点有通路当且仅当？bij = 1

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图的连通性与可达矩阵 有向图的连通性（ n1 ）： 设有向图 G的可达矩阵为 B(1) Ｇ强连通(2) Ｇ是单向连通的

无向图的连通性（ n1 ）： 设无向图 G的可达矩阵为 B Ｇ连通

B 中元素全为１B中所有关于主对角线对称的两个元素中至少一个值为１

B中元素全为１

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连通性证明题举例 1[ 试证 ]：若ｎ个顶点的无向图 G=(V,E) 连通，则 |E| （ｎ－１）。证明： (归纳法 ) (1) ｎ＝２，由 G连通可知 : |E| 1= ｎ－１ ,定理成立。 (2) 假设ｎ＝ｋ时 ,结论成立 ,即 |E| ｋ－ 1. (3) 证法一 : 当ｎ＝ｋ＋１时，由递归假设可知 :|E| ｋ－ 1. 任选 G中一个结点 v 若 G-v 连通 , 则 |V(G-v)|=k, 故由递归假设 |E(G-v)| ｋ－ 1; 而由 v与 G-v 至少有一条边相连可知 : |E||E(G-v)|+1 ｋ ; 若 G-v 不连通 ,不妨设 G-v 中有 m个连通分支 G1,G2,…,Gm, 设 |V(Gi)|=xi; 显然 ,对所有 i=1,2,3,…,m, 都有 :xi<k. 由归纳假设可知 E(Gi)xi-1, 而 v与每个连通分支至少有一条边相连 ,故 E(Gi)m+i=1m(xi-1)= m+i=1mxi-m=i=1mxi=k.

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连通性证明题举例 1( 续 ) (3) 证法二 : 显然 , 在ｋ＋１个顶点中，不存在孤立顶点，否则， G 不连通。即 G 中所有顶点度数至少为 1 。 1) 若 G 中无度为１的顶点，则 G 中所有顶点的度数和≥ 2k ＋２。 进而，由握手定理可知： |E| ≥k+ １。 命题得证。 2) 若 G 中至少存在一个度数为 1 的顶点，设为 v 。 令 G’=G-v, 则 G’ 有 k 个顶点且 G’ 连通。 根据递归假设 E(G’) ｋ－ 1 ， 故 |E|=E(G’)+v 与 G’ 相连的边数 k-1+1=k. 命题得证 .

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连通性证明举例 2 证明：若 G 是简单图，设为 G 的顶点的最小度，若 >[|V(G)|/2]-1 ，则 G 是连通图。 证明：（反证法） 假设 G不是连通图。 则 G中至少存在两个连通分支，不妨设G中的两个连通分支分别为G1和G2，且|V(G1)||V(G2)|。 则有： |V(G1)|[|V(G)|/2]。 而由 G是简单图可知：G1中任意顶点v的度数满足： d(v) |V(G1)|-1 [|V(G)|/2]-1 进而， d(v) [|V(G)|/2]-1，这与前提条件 >[|V(G)|/2]-1矛盾。 因此， G是连通图。

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连通性证明举例 3 设 G 是 n 阶无向简单图，若 G 中任意不同的两个顶点的度数 之和大于等于 n – 1 ，请证明 G 是连通图。 证明：反证法。 假设 G 不连通。 不妨设 G 有 k 个连通分支 G1， G2，……， Gk ， n1，

n2，……， nk是各分支的顶点数。则有：n1 + n2 +…+nk = n

任取 u G1, v G2。 由 G 是简单图可知： deg(u) <= n1 – 1 且 deg(v) <= n2 – 1 。 因此， deg(u) + deg(v) = n1 – 1 + n2 – 1 <= n – 2 这与题设“任意不同的两个顶点的度数之和大于等于 n –

1” 矛盾。 G 是连通图

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设图 G 是无向简单图。 请证明图 G 和补图 ~G 中至少有一个连通图。 证明： (1) 如果 G 是连通图，问题得证。 (2) 如果 G 不是连通图。 任取 u, v ~G ，设 G 的连通分支有 G1， G2，……， Gk ① 如果 u 和 v 是属于 G 中不同的连通分支 Gi和 Gj，则 (u, v) ~G

②如果 u 和 v 是属于 G 中相同的连通分支 Gi ，则可在 G 的另一个连通分支中取一个结点 x ，则 (u, x) ~G, (v, x) ~G 。∴ u 和 v 之间在 ~G 中有通路 uxv 相连。

由 u 和 v 的任意性，可知 ~G 是连通的。 综上所述， G 和补图 ~G 中至少有一个是连通图。

连通性证明举例 4

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课堂练习 证明：若 G 是简单图，设为 G 的顶点的最小度，若 k ，则 G 中有长为 k 的基本通路。

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课堂练习解答 2. 证明：（反证法） 假设 G中不存在长度为 k的基本通路。 设 P=v1v2…vm为 G中最长基本通路。则 mk 。 假设 vm与 V(G)-V(P) 中的一个结点相连，不妨设为 w，则 v1v2…vmw 为比 P更长的一条基本通路。这与 P是 G中最长的基本通路相矛盾。 因此， vm结点只能与 P上的结点 v1,v2 , …,vm-

1相连，故 d(vm)m-1k-1 ，进而 d(vm)k-1 ，这与 k 矛盾。