강원대학교 컴퓨터과학전공 문양세

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이산수학이산수학 (Discrete Mathematics) (Discrete Mathematics) 중첩된 한정기호중첩된 한정기호

(Nested Quantifiers)(Nested Quantifiers)

Discrete Mathematicsby Yang-Sae Moon

Nested Quantifiers Nested Quantifiers Statements Statements (1/3)(1/3)

Variable x 와 y 의 domain 이 실수 (all real numbers) 라 했을 때 ,

xy(x + y = y + x) 를 번역하면 ,“For every real number x and for every real number y, x + y = y + x.” 이고 ,이는 실수의 덧셈에 있어서 교환법칙을 의미한다 .

xy(x + y = 0) 를 번역하면 ,“For every real number x, there is a real number y such that x + y = 0.”( 항등원과 역원을 의미한다 .)

xyz(x + (y + z) = (x + y) + z) 를 번역하면 ,“For every real number x, for every real number y, and for every real number z,x + (y + z) = (x + y) + z.” 이고 ,이는 실수의 덧셈에 있어서 결합법칙을 나타낸다 .

1.4 Nested Quantifiers



예제 2

• Variable 의 domain 이 모두 실수일 때 , 다음을 번역하라 .

xy((x > 0) (y < 0) (xy < 0)

• 풀이 :

“For every real number x and for every real number y, if x > 0 and y < 0,

then xy < 0.”




예제 3

• C(x) = “x has a computer.”, F(x, y) = “x and y are friends.” 이고 ,

x 와 y 의 domain 이 “ all students in your school.” 일 때 , 다음을 번역하라 .

x(C(x) y((C(y) F(x, y)))

• 풀이 :

“For every student x in your school, x has a computer, or there is a student y (in

your school) such that y has a computer and x and y are friends.”



Statements Statements Nested Quantifiers Nested Quantifiers (1/2)(1/2)

예제 5• “If a person is female and is a parent, this person is someone’s mother.” 를 predicate, d

omain = “all people” 인 quantifier, logic operator 로 표현하라 .

• 풀이

− 상기 문장은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다 .

“For every person x, if person x is female and person x is a parent, then there exists a

person y such that person x is the mother of person y.”

− 명제 함수로 표현 :

F(x) = “x is female.”

P(x) = “x is a parent.”

M(x, y) = “x is the mother of y.”

− 상기 명제 함수를 사용하여 표현하면 다음과 같다 .

x((F(x) P(x)) yM(x, y))



Statements Statements Nested Quantifiers Nested Quantifiers (2/2)(2/2)

예제 7• “Everyone has exactly one best friend.” 를 predicate, domain = “all people” 인 quantifier,

logic operator 로 표현하라 .

• 풀이

− 상기 문장은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다 .

“For every person x, person x has exactly one best friend.”

= “x(person x has exactly one best friend)”

− 명제 함수로 표현 :

B(x, y) = “y is the best friend of x.”

− “person x has exactly one best friend.” 를 명제 함수를 사용하여 표현 :

y(B(x, y) z((z y) ¬B(x, z)))

상기 명제 함수를 사용하여 표현하면 다음과 같다 .

xy(B(x, y) z((z y) ¬B(x, z)))



Negating Nested QuantifiersNegating Nested Quantifiers

예제 11• 다음 식의 부정을 표현하라 .

xy(xy = 1)

• 풀이

Negation of xy(xy = 1) “ 모든 x 에 대해서 xy = 1 을 만족하는 y 가 존재한다 .” T or F?

¬(xy(xy = 1))

¬xy(xy = 1)

x¬y(xy = 1) [refer to $1.3]

xy¬(xy = 1) [refer to $1.3]

xy(xy 1) “ 어떤 x 에 대해서 모든 y 가 xy 1 을 만족하는 x 가

존재한다 .” T or F?

− x 와 y 의 domain 에 따라서 진리 값이 달라질 수 있다 .



Order of Quantifiers (1/3)Order of Quantifiers (1/3)

예제 14• 술어 P(x, y) = “x+y = y+x” 이고 x 와 y 의 domain 이 실수일 때 ,

xyP(x, y) 의 진리 값은 ?

그리고 , yxP(x, y) 의 진리 값은 ?

• 풀이

− 모든 실수에 대하여 덧셈의 교환법칙이 성립하므로 , xyP(x, y) 의 진리

값은 true 이다 . 마찬가지로 , yxP(x, y) 의 진리 값 역시 참이다 .

xy 와 yx 에 있어서 , x 와 y 의 순서는 진리 값에 영향을 주지

않는다 .




예제 15• 술어 Q(x, y) = “x + y = 0” 이고 x 와 y 의 domain 이 실수일 때 , yxQ(x, y) 와

xyQ(x, y) 의 진리 값은 ?

• 풀이

− yxQ(x, y): 어떤 y 에 대해 모든 x 가 “ x + y = 0” 을 만족하는 y 가

존재한다 . false ( 어떤 y 값을 취하여도 , 모든 x 에 대해 x + y = 0 를

만족하지는 않는다 .)

− xyQ(x, y): 모든 x 에 대해 “ x + y = 0” 을 만족하는 y 가 존재한다 . true

yx 와 xy 에 있어서 , x 와 y 의 순서는 진리 값에 영향을 준다 .




변수가 두 개인 경우의 Quantifier 순서의 영향


Statement When true?

xyP(x, y)yxP(x, y) P(x, y) is true for every pair x and y.

xyP(x, y) For every x, there is a y for which P(x, y) is true.

xyP(x, y) There is an x for which P(x, y) is true for every y.

xyP(x, y)yxP(x, y) There is a pair x and y for which P(x, y) is true.

모든 x 에 대해서 적어도 P(x, y) 를 true 로 하는 y 가 존재하면 , 해당 식은 true 가 된다 .

어떤 x 에 대해 모든 y 가 P(x, y) 를 true 로 하면 , 해당 식은 true 가 된다 .


유용한 유용한 Equivalence LawsEquivalence Laws

xP(x) ¬x¬P(x)

xP(x) ¬x¬P(x)• 상기 두 표현 식은 $1.3 에서 소개한 Quantifier 정의를 이용해 증명이 가능하다 .(try it!)

• (Remind) Quantifier 의 정의 :

xP(x) P(x1) P(x2) .... P(xn)

xP(x) P(x1) P(x2) .... P(xn)

x(P(x) Q(x)) (xP(x)) (xQ(x))

x(P(x) Q(x)) (xP(x)) (xQ(x)) • 상기 표현 식 역시 Quantifier 정의를 이용해 증명이 가능하다 .(try it!)


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