Проблема необратимости и функциональная механика И ....
description
Transcript of Проблема необратимости и функциональная механика И ....
![Page 1: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/1.jpg)
Проблема необратимости и функциональная механика
И.В. Волович
Математический институт им. В.А. Стеклова РАН
МФТИ – 29.02.2012
![Page 2: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/2.jpg)
Проблема необратимости заключается в том, как совместить обратимость по времени микроскопической динамики с необратимостью макроскопических уравнений. Эта фундаментальная проблема рассматривалась в известных работах Больцмана, Пуанкаре, Боголюбова, Фейнмана, Ландау и других авторов, и оставалась открытой.
Недавно был предложен следующий подход к решению проблемы необратимости: предложена новая формулировка классической и квантовой механики, которая необратима по времени. Таким образом снимается противоречие между обратимость микроскопической и необратимость макроскопической динамики, поскольку обе динамики в предлагаемом подходе необратимы.
![Page 3: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/3.jpg)
Широко используемое понятие микроскопического состояния системы как точки в фазовом пространстве, а также понятия траектории и микроскопических уравнений движения Ньютона не имеют непосредственного физического смысла, поскольку произвольные вещественные числа не наблюдаемы.
Фундаментальным уравнением микроскопической динамики в предлагаемом неньютоновском "функциональном" подходе является не уравнение Ньютона, а уравнение типа Фоккера—Планка. Показано, что уравнение Ньютона в таком подходе возникает как приближенное уравнение, описывающее динамику средних значений координат для не слишком больших промежутков времени. Вычислены поправки к уравнениям Ньютона.
Такой подход потребовал также пересмотра обычной Копенгагенской интерпретации квантовой механики.
I.V. Volovich, “Randomness in classical mechanics and quantum mechanics”, Found. Phys., 41:3 (2011), 516–528;
http://arxiv.org/pdf/0907.2445.pdf
![Page 4: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/4.jpg)
Time Irreversibility Problem
Non-Newtonian Classical Mechanics
Functional Probabilistic General Relativity
Black Hole Information Paradox
![Page 5: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/5.jpg)
Time Irreversibility Problem
The time irreversibility problem is the problem of how to explain the irreversible behaviour
of macroscopic systems from the time-symmetric microscopic laws:
Newton, Schrodinger Eqs –- reversible
Navier-Stokes, Boltzmann, diffusion, Entropy increasing --- irreversible
tt
.ut
u
![Page 6: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/6.jpg)
Time Irreversibility ProblemBoltzmann, Maxwell, Poincar´e, Bogolyubov, Kolmogorov, von Neumann, Landau, Prigogine,Feynman, Kozlov,…
Poincar´e, Landau, Prigogine, Ginzburg,Feynman: Problem is open. We will never solve it (Poincare)Quantum measurement? (Landau)
Lebowitz, Goldstein, Bricmont: Problem was solved by Boltzmann
I.Volovich
![Page 7: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/7.jpg)
Boltzmann`s answers to:
Loschmidt: statistical viewpoint
Poincare—Zermelo: extremely long
Poincare recurrence time
Coarse graining
• Not convincing…
![Page 8: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/8.jpg)
Ergodicity
• Boltzmann, Poincare, Hopf, Kolmogorov, Anosov, Arnold, Sinai,…:
• Ergodicity, mixing,… for various important deterministic mechanical and geometrical dynamical systems
![Page 9: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/9.jpg)
Bogolyubov method
1. Newton to Liouville Eq. Bogolyubov (BBGKI) hierarchy2. Thermodynamic limit (infinite number of particles)
3. The condition of weakening of initial correlations between particles in the distant past
4. Functional conjecture5. Expansion in powers of density
Divergences.
![Page 10: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/10.jpg)
Why Newton`s mechanics can not be true?
• Newton`s equations of motions use real numbers while one can observe only rationals. (s.i.)
• Classical uncertainty relations
• Time irreversibility problem
• Singularities in general relativity
![Page 11: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/11.jpg)
Classical Uncertainty Relations
0,0 pq
0t
![Page 12: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/12.jpg)
Newton Equation
),(
),(
),(
2
2
2
tnRM
txx
xFxdt
dm
Phase space (q,p), Hamilton dynamical flow
![Page 13: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/13.jpg)
Newton`s Classical Mechanics
Motion of a point body is described by the trajectory in the phase space.Solutions of the equations of Newton or
Hamilton.
Idealization: Arbitrary real numbers—non observable.
• Newton`s mechanics deals with non-observable (non-physical)
quantities.
![Page 14: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/14.jpg)
Real Numbers
• A real number is an infinite series,
which is unphysical:
.9,...,1,0,10
1 n
nnn aat
Ftxdt
dm )(
2
2
![Page 15: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/15.jpg)
• Try to solve these problems by developing a new, non-Newtonian mechanics.
• And new, non-Einsteinian general relativity
![Page 16: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/16.jpg)
We attempt the following solution of the irreversibility problem:
a formulation of microscopic dynamics which is irreversible in time: Non-Newtonian Functional Approach.
![Page 17: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/17.jpg)
Functional formulation of classical mechanics
• Here the physical meaning is attributed not to an individual trajectory but only to a bunch of trajectories or to the distribution function on the phase space. The fundamental equation of the microscopic dynamics in the proposed "functional" approach is not the Newton equation but the Liouville or Fokker-Planck-Kolmogorov (Langevin, Smoluchowski) equation for the distribution function of the single particle.
• .
![Page 18: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/18.jpg)
States and Observables inFunctional Classical Mechanics
![Page 19: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/19.jpg)
States and Observables inFunctional Classical Mechanics
Not a generalized function
![Page 20: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/20.jpg)
Fundamental Equation inFunctional Classical Mechanics
Looks like the Liouville equation which is used in statistical physics to describe a gas of particles but here we use it to describe a single particle.(moon,…)
Instead of Newton equation. No trajectories!
![Page 21: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/21.jpg)
Cauchy Problem for Free Particle
Poincare, Langevin, Smolukhowsky , Krylov, Bogoliubov, Blokhintsev, Born,…
![Page 22: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/22.jpg)
Free Motion
![Page 23: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/23.jpg)
Delocalization
![Page 24: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/24.jpg)
Newton`s Equation for Average
![Page 25: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/25.jpg)
Comparison with Quantum Mechanics
![Page 26: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/26.jpg)
Liouville and Newton. Characteristics
![Page 27: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/27.jpg)
Corrections to Newton`s EquationsNon-Newtonian Mechanics
![Page 28: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/28.jpg)
Corrections to Newton`s Equations
![Page 29: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/29.jpg)
Corrections to Newton`s Equations
![Page 30: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/30.jpg)
Corrections
![Page 31: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/31.jpg)
•
• The Newton equation in this approach appears as an approximate equation describing the dynamics of the expected value of the position and momenta for not too large time intervals.
• Corrections to the Newton equation are computed.
• _____________________________• _____________________________
![Page 32: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/32.jpg)
Fokker-Planck-Kolmogorov versus Newton
p
pf
p
ffH
t
f
)(
},{ 2
2
![Page 33: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/33.jpg)
Boltzmann and Bogolyubov Equations
• A method for obtaining kinetic equations from the Newton equations of mechanics was proposed by Bogoliubov. This method has the following basic stages:
• Liouville equation for the distribution function of particles in a finite volume, derive a chain of equations for the distribution functions,
• pass to the infinite-volume, infinite number of particles limit,
• postulate that the initial correlations between the particles were weaker in the remote past,
• introduce the hypothesis that all many-particle distribution functions depend on time only via the one-particle distribution function, and use the formal expansion in power series in the density.
• Non-Newtonian Functional Mechanics:
• Finite volume. Two particles.
![Page 34: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/34.jpg)
Liouville equation for
two particles
![Page 35: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/35.jpg)
Two particles in finite volume
![Page 36: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/36.jpg)
If satisfies the Liouville equation then
obeys to the following equation
),,( 21 txx
),( 11 txf
Bogolyubov type equation for two particles in finite volume
![Page 37: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/37.jpg)
• Kinetic theory for two particles
• Hydrodynamics for two particles?
![Page 38: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/38.jpg)
• No classical determinism
• Classical randomness
• World is probabilistic
(classical and quantum)
Compare: Bohr, Heisenberg,
von Neumann, Einstein,…
![Page 39: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/39.jpg)
Single particle (moon,…)
})()(
exp{1
|
),,(
2
20
2
20
0 b
pp
a
ab
pq
V
qm
p
t
tpq
t
![Page 40: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/40.jpg)
• Newton`s approach: Empty space (vacuum) and point particles.
• Reductionism: For physics, biology economy, politics (freedom, liberty,…)
• This approach: No empty space. Probability distribution. Collective phenomena. Subjective.
![Page 41: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/41.jpg)
Fixed classical spacetime?• A fixed classical background spacetime
does not exists (Kaluza—Klein, Strings, Branes). No black hole metric.
There is a set of classical universes and
a probability distribution
which satisfies the Liouville equation
(not Wheeler—De Witt).
Stochastic inflation?
),( gM
![Page 42: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/42.jpg)
Functional General Relativity
• Fixed background .
Geodesics in functional mechanics
Probability distributions of spacetimes• No fixed classical background spacetime. • No Penrose—Hawking singularity
theorems• Stochastic geometry? Stochastic BH?
),( gM
),( gM
),( px
![Page 43: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/43.jpg)
Quantum gravity.Superstrings
( , )( , ) [ ]MiS g
M
F g e D Dg The sum over manifolds is not defined.Algorithmically unsolved problem.
![Page 44: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/44.jpg)
Example
singular1
)(,0
02
tx
xtxxx
rnonsingula
},/)1
(exp{),( 220 q
xt
xCtx
![Page 45: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/45.jpg)
Fixed classical spacetime?• A fixed classical background spacetime
does not exists (Kaluza—Klein, Strings, Branes).
There is a set of classical universes and
a probability distribution
which satisfies the Liouville equation
(not Wheeler—De Witt).
Stochastic inflation?
),( gM
![Page 46: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/46.jpg)
Quantum gravity BogoliubovCorrelation Functions
• Use Wheeler – de Witt formulation for QG.
Density operator of the universe on
Correlation functions
))()...((
);,...,(
1
1)(...
11
11
sjiji
ss
jiji
yxgTr
yxf
ss
ss
![Page 47: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/47.jpg)
Factorization
rrrnmji
ss
jiji
yxf
yxf
rrrr
ss
);,(
);,...,( 1)(...11
Th.M. Nieuwenhuizen, I.V. (2005)
![Page 48: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/48.jpg)
QG Bogoliubov-Boltzmann Eqs
),,,,(
),(
gyx
fJf
![Page 49: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/49.jpg)
ConclusionsBH and BB information loss (irreversibility) problem
Functional formulation (non-Newtonian) of classical mechanics: distribution function instead ofindividual trajectories. Fundamental equation: Liouville or FPK for a single particle.
Newton equation—approximate for average values.Corrections to Newton`s trajectories.
Stochastic general relativity. BH information problem.QG Bogoliubov-Boltzmann equations.
![Page 50: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/50.jpg)
Спасибо за внимание!
![Page 51: Проблема необратимости и функциональная механика И . В. Волович](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062517/5681329b550346895d9937ae/html5/thumbnails/51.jpg)
Information Loss in Black Holes
• Hawking paradox.
• Particular case of the Irreversibility problem.
• Bogolyubov method of derivation of kinetic equations -- to quantum gravity.
• Th.M. Nieuwenhuizen, I.V. (2005)