Вычисление дискретных однородных функционалов Вольтерра с учетом

симметричности

Д.Ю. ДунюшкинМУПОЧ «Дубна», аспирант кафедры САУ

MPAMCS 2012

1

Применение (перспективы)

Внешнее описание нелинейных аналитических систем, идентификация, цифровая фильтрация

0

)](,[)(m

mm kxfFky

A)(kx )(ky

1

011

1

0

)()(),,()](,[1

M

immm

M

imm

m

ikxikxiifkxfF

2

(1)

(2)

Постановка задачи

Вычислить дискретный функционал вида

где m – порядок функционала (и размерность ядра),

M – размер ядра,

)()(),,()](,[1

011

1

01

m

M

imm

M

imm ikxikxiifkxfF

m

),,( 1 miif – многомерное ядро функционала,

)(kx – дискретный сигнал

3

(3)

Симметризация

Н. Винер показал что любой функционал вида

)()(),,()](,[1

011

1

01

m

M

imm

M

imm ikxikxiifkxfF

m

равен функционалу с симметричным ядром

)()(),,()](,[1

011

1

01

m

M

im

symm

M

imm ikxikxiifkxfF

m

где ),,(!

11 mm

symm iif

mf

Сумма по всем перестановкам аргументов

4

(4)

(5)

(6)

Примеры симметризации

Ядро 2 порядка всегда можно заменить ядром),( 212 iif

)],(),([!2

1),( 122212212 iifiifiif sym

Ядро 3 порядка можно заменить ядром),,( 3212 iiif

)],,(),,(),,(

),,(),,(),,([!3

1),(

123321331323

312323133213213

iiifiiifiiif

iiifiiifiiifiif sym

5

(7)

(8)

Расчет с учетом симметричности6

2F

)()(),()](,[ 21

1

0

1

021222

1 2

ikxikxiifkxfFM

i

M

i

sym

12 ii

),(),( 122212 iifiif symsym

(9)

Расчет с учетом симметричности7

2F

)()(),( 21

1

0

1

02122

1 2

ikxikxiifFM

i

M

i

sym

),()()(),( 2121

1

0

1

2122

1 12

iicikxikxiifFM

i

M

ii

sym

12

2121 if ,2

if ,1),(

ii

iiiic

(10)

(11)

(12)

Расчет с учетом симметричности8

mF

1

0

1

11

1 1

)(),,(M

i

M

ii

m

ppm

symmm

mm

ikxiifF

),,( 1 miic

),,()(),,( 1

1

0

1

11

1 1

m

M

i

M

ii

m

ppm

symmm iicikxiifF

mm

?!

(13)

(14)

Расчет весовых коэффициентов9

!!...!

!

,...,,),,(

21211

rrm kkk

m

kkk

miic

Весовой коэффициент равен числу перестановок с повторениями

где

sk - это число одинаковых индексов, равных ,

s

r - число групп одинаковых индексов .mkr

ss

1

(15)

Алгоритм вычисления 10

),,( 1 miic

Оценка эффективности

mMMmN ),(

Число точек без учета симметричности

(16)

Число точек с учетом симметричности

!

)1)...(1(),(

m

mMMMMmN sym

(17)

Относительная эффективность методов

)1)...(1(

! 1

mMM

Mm

N

N m

sym(18)

11

Относительная эффективность

0 5 10 15 201

10

100

F5 (m=5)

F4 (m=4)

F3 (m=3)

F2 (m=2)

M

N / N sym

)1)...(1(

! 1

mMM

Mm

N

N m

sym

(18)

12

Узловой метод

(19)

)(),,(

),,()()()](,[

1

1

0

1

1

1 1

21

1 112 23

mmm

M

i

M

iim

M

ii

M

iimm

ikxiif

iicikxikxkxfFmm

)()(

),,(),,()](,[

1

1

0

1

11

1 1

1 112 23

m

M

i

M

iimmm

M

ii

M

iimm

ikxikx

iifiickxfFmm

13

(20)

Эффективность узлового метода

(21)

14

m

isym

sym

bundlesym

directsym

MiN

MmNm

N

N

1

),(

),(

0 5 10 15 201

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

F5 (m=5)

F4 (m=4)

F3 (m=3)

F2 (m=2)

M

N прям / N узл

Выводы15

При компьютерной реализации моделей на основе

однородных функционалов Вольтерра необходимо

учитывать симметричность ядер внесением весовых

коэффициентов в ядро и рекомендуется использовать

узловой алгоритм вычисления функционалов.

),,(),,(),,(~

111 mmmmm iiciifiif (22)

Другие возможности применения16

Свойство симметричности также можно использовать в некоторых других задачах.

1

011 )()(

1),,(

N

kmmm ikxikx

NiiM

min]),,(),,([ 1

0,,

211

1

M

iimmmm

m

iiViiM

(23)

(24)

Получение дискретных сигналов с заданными моментными или корреляционными функциями.

Список литературы17

1. Волков Н.В. Разработка методов и средств для исследования динамики нелинейных автоматизированных машиностроительных систем на основе функциональных разложений Вольтерра-Винера с целью повышения достоверности контроля их эксплуатации: диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук: 05.13.06 / Николай Васильевич Волков; Москва, МГТУ «Станкин», 2001.

2. Данилов Л.В. Теория нелинейных электрических цепей / Л.В. Данилов, П.Н. Матханов, Е.С. Филиппов. — Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1990.

3. Музыкин С.Н., Родионова Ю. М. Моделирование динамических систем. — Ярославль: Верх.-Волж. кн. изд-во, 1984.

4. Музыкин С.Н., Родионова Ю.М. Функциональные разложения Винера-Вольтерра в задачах проектирования. – Ярославль: Верх.-Волж. кн. изд., 1992.

5. Пупков К.А., Капалин В.И., Ющенко А.С. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. — М: Наука, 1976. — 448 с.

Спасибо за внимание.

18

MPAMCS 2012

Вычисление дискретных однородных функционалов Вольтерра с учетом симметричности

Дунюшкин Дмитрий ЮрьевичМУПОЧ «Дубна», аспирант кафедры САУ