建筑科技大学附属中学 吴惠芸
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建筑科技大学附属中学 吴惠芸
基本不等式
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国际数学大会( ICM2002 )的会标
根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的
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ICM2002会标
你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?
小提示:从面积上寻找关系
正方形 ABCD 的面积 >4 个直角三角形面积之和 a2+b2 >2ab
A
D
C
E
FG
H
b
a
2 2a b
B
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当且仅当 a=b 时,等号成立。
2 2 2a b ab
A
B
C
D
E(FGH)
a
b
当 a=b 时a2+b2=2ab
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a2+b2≥2ab 若 a,b R∈ ,那么
形的角度 数的角度
a2+b2 - 2ab
=(a - b)2≥0a>0,b>0
(当且仅当 a=b 时,取“ =” 号)
一、重要不等式
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如果用 去替换 a 、 b, 前提是什么?能得到什么结论 ?
若 a,b R∈ ,那么 a2+b2≥2ab(当且仅当 a=b 时,取“ =” 号)以下不等式是否成立? a2+b2≥
- 2ab , a2+b2≥2|ab|换元法,a b
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(当且仅当 a=b 时,取“ =” 号)
那么 a2+b2≥2 a b那么 a + b ≥2
(当且仅当 a=b 时,取“ =” 号)
若 a R,b R∈ ∈若 a>0 b>0
a b
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其中我们把 叫做 a,b的算术平均数,把 叫做 a,b的几何平均数,因此基本不等式又称为
均值不等式。
(当且仅当 a=b 时,取“ =”号)
若 a>0 b>0
二、基本不等式
2
a bab
实际运用一 实际运用二
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若 a>0 b>0
三、基本不等式代数及几何意义
(当且仅当 a=b 时,取“ =”号)
1 、数的角度
和 积两个正数的等差中项不小于它们的等比中项2 、形的角度具有特定的几何意义
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a b
E
D
BOA C
几何解释:
ab2
a b
半径不小于半弦
令 AC=a CB=b
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例1设a,b均为正数,证明
≥
aba+b
2
ba O D
C
BA
几何解释:
E
四、基本不等公式的拓展
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2 2 2, ,
1 12 2
a b a ba b R ab
a b
平方平均数
算术平均数
几何平均数
调和平均数
设第一、第二次购白糖的价格分别为每斤 a元和 b元,甲每次购 100斤白糖,乙每次购 100元白糖,
实际应用:
问谁买的白糖单价便宜? 几何解释
例 2:
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例 3:若
则( )B
,lglg,1 baPba
)2
lg(),lg(lg2
1 baRbaQ
QPRA 、 RQPB 、 QPRC 、 RQPD 、
五、基本不等式在函数中的应用
x
1例 4 : (x 不为 0) 证明: |y| 2≥y= x+
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1 、今天这节课学了哪些主要知识?( 1 )重要不等式和基本不等式的条件及结构特征( 2 )基本不等式在几何、代数及实际应用三方面 的意义 ( 3 )重要结论
( 4 )在函数中的应用及了解不等式的推广2 、在解决问题时用了哪些思想方法?
六、本课小结
代换思想、数形结合思想、实际应用思想、分类讨论思想、特殊到一般的思想、比较法等。
2 22( , ).
1 1 2 2
a b a bab a b R
a b
其中当且仅当 a = b 时取等号 .其中当且仅当 a = b 时取等号 .
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这个基本不等式可否推广到“ n 个非负数”的情形,有兴趣的同学可作进一步的研究,也可查阅有关资料。
1 21 2
0 1 2
1
i
nnn
a i , , n
a a aa a a n ,n N
n
若 ,
则
…
……+
n
七、基本不等式的推广
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95 页 B 组第一题八、作业
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谢谢大谢谢大家家
再见再见 !!
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今有一台天平,两臂长不等,其余均精确 . 商贩说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量的结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说明你的结论 .
!! ! ab应是不对
应用 1:
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甲、乙两商场对单价相同的同类产品进行促销 . 甲商场采取的促销方式是在原价 p 折的基础上再打 q 折;乙商场的促销方式则是两次都打 折 . 对顾客而言,哪种打折方式更合算? (0<p<10, 0<q<10, p≠q )
2
p q
应用 2: