第十三章动能定理

第十三章动能定理

§13-1 力的功§13-2 质点和质点系的动能§13-3 动能定理§13-4 功率、功率方程、机械效率§13-5 势力场 .势能 .机械能守恒定律§13-6 普遍定理的综合应用

主讲：姚庆钊

理解并熟练掌握计算常见情况下的动能、功和势能；熟练掌握动能定理及机械能守恒定律，能正确选择和应用这些定理求解质点、质点系动力学问题；能正确选择和综合应用动量定理、动量矩定理和动能定理。

教学基本要求

功是代数量

§13-1 力的功

一、常力在直线运动中的功

单位 J （焦耳） 1 J = 1 N·m

sFsFW cos


δ cosW F ds 元功

δ dW F r

二、变力在曲线运动中的功

d d d d

x y zF F i F j F k

r xi yj zk

记

d d dx y zW F x F y F z

21 ~ MM力在路程上的功为F

2 2

1 112 δ ·dM MM MW W F r


§13-1 力的功

12 1 2( )

i i iW m g z z

1 、重力的功

质点系

iiC zmmz 由

重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。

)( 2112 CC zzmgW 得

)(d 21122

1zzmgzmgW z

z 0x y zF F F mg

三、几种常见力的功

质点


§13-1 力的功

2 、弹性力的功

弹簧刚度系数 k(N/m)

0( ) rF k r l e 弹性力

弹性力的功为

2

112 d

A

AW F r

2

10( ) d

A

rAk r l e r


§13-1 力的功

21 1d d d( ) d( ) d

2 2r

re r r r r r r

r r r

因

022011 , lrlr 式中

rlrkW rr d)( 0122

1得

)(2

22

2112

kW即

弹性力的功也与路径无关


§13-1 力的功

2

112 dzW M

3. 定轴转动刚物体上作用力的功

)( 1212 zMW则

zM若常量

δ d d dt tW F r F s F R

由 RFM tz

dzW M

从角转动到角过程中力的功为1 2 F


§13-1 力的功

iM iF

作用在点的力的元功为

力系全部力的元功之和为

d ( )d

i

i C C i

W W

F r M F

4. 平面运动刚体上力系的功

δ d d di i i i C i iCW F r F r F r

其中 d cos d ( )di iC i C iF r F MC M F

d d di C iCr r r

i C iCv v v

由两端乘 dt, 有

d dR C CF r M


§13-1 力的功

其中 : 为力系主失 , 为力系对质心的主矩。 RF

CM

当质心由 , 转角由时 , 力系的功为21 ~ CC 21 ~

即：平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代数和，也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和。

2 2

1 112 d d

C

R C CCW F r M


§13-1 力的功

说明 :1 、对任何运动的刚体 , 上述结论都适用；

2 、 C 点不是质心，而是刚体上任意一点时 , 上述结论也成立；

3 、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。


§13-1 力的功

1W F S

2 0W

1 1 2W W W F S


§13-1 力的功

1W F R

2 0W

1 1 2W W W F R


§13-1 力的功

已知 : 均质圆盘 R,m,F= 常量 , 且很大 , 使 O 向右运动 , f, 初静止。

求 :O 走过 S 路程时力的功。


§13-1 力的功

,SFW d1 、摩擦力 Fd 的功 S 是力在空间的位移，不是受力作用点的位移 .

解：

d d d( ) 2S

W F F S F R FS F SR

不作功的力可不考虑 , 因此亦可如下计算 :

R

SRFRFSFFFW TT )()( dd

fsmgFS

SFFS

2

2

d

2 、可将力系向点 O 简化，即

2 2W FS F S FS mg fs d


§13-1 力的功

§13-2 质点和质点系的动能

2

2

1iimT 2 、质点系的动能

1 、质点的动能 2

2

1 mT

单位： J （焦耳）


iCi mvvmTi

22

2

1

2

1

22222

2

1

2

1

2

1iiiiii rmrmvmT

（ 1 ）平移刚体的动能

（ 2 ）定轴转动刚体的动能

2

2

1 zJT 即

2

2

1CmvT 即



222 )(2

1

2

1 mdJJT Cp

即：平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能之和。

22

2

1

2

1 CC JmvT 得

速度瞬心为 P

（ 3 ）平面运动刚体的动能

上面结论也适用于刚体的任意运动。



d dt r d

dm F

t

将两端点乘 ,

21d d( ), d

2m m F r W

由于

§13-3 动能定理

1 、质点的动能定理

21( )2

m W d因此

d dm F r 得

质点动能定理的微分形式，即质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。


122

12

2 2

1

2

1Wmm

质点动能定理的积分形式：在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。

积分之，有


§13-3 动能定理

2 、质点系的动能定理

质点系动能定理的微分形式：质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和。

由21

( )2 i i im W d

21( )2 i i im W d求和

iT Wd得


§13-3 动能定理

质点系动能定理的积分形式：质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。

积分之 , 有：

2 1 iT T W


§13-3 动能定理

3 、理想约束光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、不可伸长的柔

索等约束的约束力作功等于零。

称约束力作功等于零的约束为理想约束。

对理想约束 , 在动能定理中只计入主动力的功即可。

内力作功之和不一定等于零。

当轮子在固定面只滚不滑时，接触处是否为理想约束？


§13-3 动能定理

思考：

已知 :m, h, k, 其它质量不计。

max求 :

例 13-1


§13-3 动能定理

§13-3 动能定理

解 :

1 20, 0T T

max2

max 2)(00 k

hmg

kmghgmkk

mg2

1 22max


已知：轮 O ： R1 ， m1 , 质量分布在轮缘上 ; 均质轮 C ： R2 ，

m2 ，纯滚动 , 初始静止 ;θ ,M 为常力偶。

求：轮心 C 走过路程 S 时的速度和加速度。

例 13-2


§13-3 动能定理

12 2 sinW M m gS

01 T

22

222

222

21

2112 )

2

1(

2

1

2

1)(

2

1 RmmRmT

轮 C 与轮 O 共同作为一个质点系

解 :

22

11 ,

RRCC

1212 TTW


§13-3 动能定理

1R

S

)32(

)(2

211

12

mmR

SSingRmMC

2

2 1 2sin (2 3 )4CM m gS m m )(a

式 (a) 是函数关系式，两端对 t 求导 , 得

1 2 21

1(2 3 ) sin

2C

C C Cm m a M m gR

2 1

1 2 1

2 ( sin )

(2 3 )C

M m gRa

m m R


§13-3 动能定理

求 : 冲断试件需用的能量。

701292

已知：冲击试验机 m=18kg, l=840mm, 杆重不计，在时静止释放，冲断试件后摆至

例 13-3


§13-3 动能定理

JWk 92.78

得冲断试件需要的能量为

)cos1(00 1mgl

0,0 21 TT

kWmgl )cos1( 2

解 :


§13-3 动能定理

已知：均质圆盘 R ， m ， F= 常量，且很大，使 O 向右运动， f, 初静止。

例 13-4

求 :O 走过 S 路程时 ω ，。

§13-3 动能定理


R 001 T

圆盘速度瞬心为 C ,

20

22

202 4

3)

2(

2

1

2

1 mmR

mT

解 :


§13-3 动能定理

12 TTW 2

04

32 mmgfsFS )(a

)2(3

20 mgfFm

s

mgfsFSW 2

将式 (a) 两端对 t 求导 , 并利用 ,, 00

r

a

r

)2(3

20 mgfF

ma 得


§13-3 动能定理

已知 : , 均质 ; 杆 m 均质 , =l , M= 常量 , 纯滚动 , 处于水平面内 , 初始静止。

21OO1r 1m

例 13-5

求 : 转过 φ 角的21OO ,

§13-3 动能定理


,01 T

221 )2

3

3(

2

1 lmm

研究整个系统

),(11

01101 r

l

rl

22

112011

22

2 )2

(2

1

2

1)

3(

2

1 rmm

mlT

解 :


§13-3 动能定理

MW WTT 12

221 )2

3

3(

2

1 lmm

M )(a

21)92(

12

lmm

M


§13-3 动能定理

21)92(

6

lmm

M

式 (a) 对任何 φ 均成立 , 是函数关系 , 求导得

注意：轮Ⅰ、Ⅱ接触点 C 是理想约束 , 其摩擦力 Fs尽管在空间是移动的，但作用于速度瞬心 ,故不作功。


§13-3 动能定理

已知 : 均质杆 OB=AB=l, m 在铅垂面内 ;M= 常量 , 初始静止 ,不

计摩擦。求 : 当 A运动到 O 点时 , ？A

例 13-6


§13-3 动能定理

01 T

ABABC lCC 2

3

llB

OBB

AB

,

OBAB

2

)cos1(2l

mgMW 解 :

lABA 2· 第十三章动能定理

§13-3 动能定理

22 2

1COBAB mTTT

12 TTW

)cos1(3

2

1 mglMmlAB

22

3

4ABml 2

02

2

1

2

1OBABC JJ


§13-3 动能定理

d

WP

t

§13-4 功率、功率方程、机械效率

d

d t

rP F F v F v

t

1 、功率：单位时间力所作的功。

即：功率等于切向力与力作用点速度的乘积。

由 ,得

dWFr

作用在转动刚体上的力的功率为

zz M

tM

t

WP

d

d

d

单位： W （瓦特） ,1W=1J/S第十三章动能定理

2 、功率方程

1 1

n ni

ii i

WTP

t t

d

d d

功率方程：即质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。

无用有用输入 PPPt

T

d

d

或d

d

TP P P

t 无用输入有用

机床



3 、机械效率

机械效率

输入

有效

P

P

有效功率t

TPP

d

d 有用有效

多级传动系统

1 2 n



例 13-7

求 :切削力 F 的最大值。

5.4 ,P kw输入 %30 输入无用 PP

100 , 42 / min , ' 112 / mind n n mm r r

已知 :

解 : kw78.3 无用输入有用 PPP

·2 30

d nP F F

有用

60 60 3.7817.19

0.1 42F P

dn

kN有用

当 min/r112n 时60 3.78

6.450.1 112

F

kN



已知 :m ， l0 ， k ， R ， J 。

求 : 系统的运动微分方程。

例 13-8:



s R解 :2

d

d

2

1

t

smT

2

2 d

d

2

1

t

s

R

Jm

d d,

d d

s sP mg P ks

t t 重力弹性力

2

d

d

2

1

tJ

d

d

TP P

t 重力弹性力



t

sks

t

smg

t

s

t

s

R

Jm

d

d

d

d

d

d

d

d2

2

2

ksmgt

s

R

Jm

2

2

2 d

d

令为弹簧静伸长，即 mg=k , 以平衡位置为原点

0 0

0s x 2

02 2

J xm mg k kx

R t

kx

d

d

0d

d2

2

2

kx

t

x

R

Jm



§13-5 势力场 .势能 .机械能守恒定律1.势力场

势力场 (保守力场 ) ：力的功只与力作用点的始、末位置有关 ,与路径无关。

, ,F F x y z

力场：一物体在空间任一位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用。

势力场中，物体所受的力为有势力。

2.势能在势力场中，质点从点 M 运动到任意位置 M0 ，有势力所作的功为质点在点 M相对于 M0 的势能。第十三章动能定

理

（ 1 ）重力场中的势能：

0

0dZ

ZV mg z mg z z

0 2 20d

2

r

r

kV F r

（ 2 ）弹性力场的势能：

0 ,0 为零势能点则2

2k

V

0 0

d d d dM M

x y zM MV F r F x F y F z

0M 称势能零点


§13-5 势力场 .势能 .机械能守恒定律

（ 3 ）万有引力场中的势能：

0 0 1 22

d dA A

rA A

fm mV F r e r

r

d dr r 由于有re

1 1 21 22

1

1 1d

r

r

fm mV r fm m

r r r

取零势能点在无穷远 1r

r

mfmV 21



0

di

i

M

i iMV F r

质点系：

00 CCiii zzmgzzgmV 重力场：

（ 4 ）质点系受到多个有势力作用

质点系的零势能位置：各质点都处于其零势能点的一组位置。

质点系的势能：质点系从某位置到其零势能位置的运动过程中，各有势力做功的代数和为此质点系在该位置的势能。



已知 : 均质杆 l,m , 弹簧刚度系数 k, AB 水平时平衡，弹

簧变形为。0

举例 :

求 : 杆有微小摆角时系统势能 .



重力以杆的水平位置为零势能位置，弹簧以自然位置 O 为零势能位置：

k

gmlk

lmglkV

82

1

22

1 22222

0

k

mg

20 0( ) 0

2A

lM F k l mg



22

2

12

1

20

220

20

20

2

lmgllk

mghkV

取杆平衡位置为零势能点 :

22

2

1lkV 即

质点系在势力场中运动 , 有势力功为：2112 VVW

对于不同的零势能位置，系统的势能是不同的。



3. 机械能守恒定律

由 1212 WTT

质点系仅在有势力作用下运动时，机械能守恒。此类系统称保守系统。

2112 VVW

2211 VTVT 得

机械能：质点系在某瞬时动能和势能的代数和。

质点系仅在有势力作用下 , 有

非保守系统的机械能是不守恒的。



已知：重物 m=250kg ，以 v=0.5m/s匀速下降，钢索 k=3.35× N/m 。 610

求 : 轮 D突然卡住时，

钢索的最大张力。

例 13-9



st

mg

k

1 0V

2 22 max max2 st st

kV mg

卡住前

卡住后

0,2

12

21 TmT

kN45.2 mgkF st

解 :



得

stst g

2

max 1

kN9.16112

max

m

k

gmg

gkkF

ststst

022

2max

2max

ststst g

即

由有：2211 VTVT

stmg max 22mxa

2

200

2

1st

km



200

220 2

1

22

1 Jbk

J

取水平位置为零势能位置

0222

0 / Jkb

已知： m, , k ，水平位置平衡， OD=CD=b 。初角速度为。

OJ

0

求：角速度与角的关系。

解 :

例 13-10



＊ 4. 势力场的其他性质：

z

VF

y

VF

x

VF zyx

,,

(1) 有势力在直角坐标轴上的投影等于势能对于该坐标的偏导数冠以负号。

（ 2 ）势能相等的点构成等势面。

（ 3 ）有势力方向垂直于等势能面，指向势能减小的方向。

系统有多个有势力作用

, ,xi yi zii i i

V V VF F F

x y z

等势能面不能相交。势能等于零的等势能面为零势能面。



§13-6 普遍定理的综合应用

动量、动量矩动能矢量，有大小方向内力不能使之改变只有外力能使之改变约束力是外力时对之有影响。不与能量相互转化，应用时不考虑能量的转化与损失。当外力主矢为零时，系统动量守恒当外力对定点 O或质心的主矩为零时系统对定点或者质心的动量矩守恒。动量定理描述质心的运动变化动量矩定理描述绕质心或绕定点的运动变化。

非负的标量，与方向无关内力作功时可以改变动能

理想约束不影响动能

在保守系统中，机械能守恒

动能定理描述质心运动及相对质心运动中动能的变化。


已知 : 均质园轮 m, r, R , 纯滚动。求 : 轮心Ｃ的运动微分方程。

例 1 ：



d

d

sP mg mg

t

d

d

sm g

t

dsin

d

smg

t

2 2 21 1 3

2 2 4C C CT m J m 解 :

重力的功率

dsin

d

sm g

t

TP

t

d

d



（很小）2

2

d d d, , ,sin

d d dC

C

s s s

t t t R r

03

22

2

rR

gs

t

s

d

d

d3 d2 sin

4 d dC

C

sm mg

t t



本题也可用机械能守恒定律求解 .

2

4

3,cos1 CmTrRmgV

0sin3

2

d

d2

2

gt

s得

0d

dTV

t



已知：两均质轮 m ,R ；物块 m , ｋ , 纯滚动 , 于弹簧原长处无初速释放。

求：重物下降 h 时 ,v ， a及滚轮与地面的摩擦力。

例 2 ：



01 T

解 :

2 2 2 2 2 2 22

1 1 1 1 1 3

2 2 2 2 2 2T m mR m mR m

22 222

1khmghhkmghW



将式（ a ）对 t 求导：

d d3 4

d d

hm mg kh

t t

12 TTW （ a）

22

2

32 mkhmgh

m

hkhmg

3

22

得m

khga

3

4

3

RFFR

mRt s

2

2

1

d

dkhF 2其中

khmg

maFFS 3

4

62

1



已知 : l, m ，地面光滑 .

求 : 杆由铅直倒下 , 刚到达地面时的角速度和地面约束力 .

例 3 ：



cos

2

lCPCC

解 :

成角时,01 T

22

222 cos3

11

2

1

2

1

2

1CCC mJmT

22cos3

11

2

1sin1

2 Cml

mg



l

gglC

3,3

2

1

(a)CN maFmg

(b)122

2mlJ

lF CN

时0

t nC A CA CAa a a a

由t

C CAa a、 n

A CAa a、其中 : 铅直水平

2

laa t

CAC (c)

由 (a), (b), (c) 得 4

mgFN

Aa n

CAa

tCAa



已知 : 轮 I :r, m1; 轮 III :r,m3 ；轮 II :R=2r, m2 ；压力角（即

齿轮间作用力与图中两圆切线间的夹角）为 20 度，物块 :mA ；在轮 I

上作用有力偶 M ，摩擦力不计。求： O1 , O2 处的约束力。

例 4 ：



其中： 12 2

,2

1,

22

111

2 rmJr

r OA

22232

211 2

1

2

1

2

1AAOOO mJJJT

解 :

233

222 2

1,

2

1rmJRmJ OO

M



AW M m h d d

利用 2,

21

21

r

aA

其中： d2

1d rh

TW

td

d

rmmmm

grmMa

A

AA

321 442

22

M



研究 I 轮

r

ramM

r

rmMP A

t1

12

121

ttn PPP 364.020tan

压力角为 20

rPMJ tO 11

1 1 0O y tF P m g

1

10.364 AO x

M m raF

r

10O x nF P

1

11

AO y

M m raF m g

r



研究物块 A

1T A A A T A AF m g m a F m a m g

研究 II轮 02

nxO PF

2

10.364 AO x

M m raF

r

0322 TtyO FgmmPF

2 2 3

1

O y A

A A

MF m m m g

rm m a



已知： m ， R ， k ， CA=2R 为弹簧原长， M 为常力偶 .

求 : 圆心 C 无初速度由最低点到达最高点时， O 处约束力 .

例 5 ：



2

22202

2 Rk

RmgMW

2 1T T W

22

2 343.023

4kRRmgM

mR

2343.02 kRRmgM

01 T解 :22222

2 4

3

2

1

2

1

2

1 mRmRmRJT O



45cosFRMJ

2

1222

2

3 2 RRRkMmR

2,Cx Cya R a R

2

2

3

586.02

mR

kRM



得 OxOx makRF 586.0

cos 45Cy Oyma F mg F

CyOy makRmgF 586.0

R

MkRmg 189.4043.1667.3

kRMR

196.03

2

cos 45Cx Oxma F F



已知：均质杆 AB ， l ， m ，初始铅直静止，无摩擦 .

求： 1.B端未脱离墙时 , 摆至 θ 角位置时的　 , ,FBx ,FBy

2. B 端脱离瞬间的 θ １

3. 杆着地时的 vC及 2

例 6



cos13

l

g

sin2

3

l

g

2

la t

C

2

2l

anC

2

211 cos

2 2 3

l mlmg 解 :(1)



2cos2sin3

4

3

cossin

2

mgmg

aammgF nC

tCBy

CyBy mamgF )2cos3(sin

4

3

)sincos(

mg

aammaF nC

tCCxBx

(2) 脱离瞬间时 0BxF

1

2arccos

3 l

g

l

g cos1

31



(3) 脱离后 , 水平动量守恒 ,脱离瞬时

glvv CCx 3

1cos 1

gll

vC 2

1

2 1

A

B

C

Cv

杆着地时 , AC 水平

C B CBv v v

2 2Cy CB

lv v



由铅直——水平全过程

2 2 22

1 1

2 2 2Cx Cy C

lmg mv v J

01 T 12 TTW

式中2

21, ,

3 2 12Cx Cy C

l mlv gl v J

2

8

3

g

l

l

gvCy 3

8

2

1

glvvv CyCxC 73

122



本章小结

动能是物体机械运动的一种度量。

2

2

1mv

2

2

1mv 质点的动能

质点系的动能 2

2

1iivmT 2

2

1iivmT

平动刚体的动能 2

2

1CmvT 2

2

1CmvT

绕定轴转动刚体的动能 2

2

1 zJT 2

2

1 zJT

平面运动刚体的动能 22

2

1

2

1 CC JmvT 22

2

1

2

1 CC JmvT

力的功是力对物体作用的积累效应的度量。

s

dsFW cos s

dsFW cos

或

重力的功

2 2

1 112 d ( d d d )

M M

x y zM MW F x F y F z F r

2 2

1 112 d ( d d d )

M M

x y zM MW F x F y F z F r

)( 2112 zzmgW )( 2112 zzmgW

弹性力的功

定轴转动刚体上力的功

)(2

22

2112

kW )(

222

2112

kW

2

112

dMW z

2

112

dMW z

平面运动刚体上力系的功 2

1

2

1

dd'12

C

C

C CR MW rF 2

1

2

1

dd'12

C

C

C CR MW rF

本章小结

动能定理

微分形式积分形式

WT d WT d

1212 WTT 1212 WTT

理想约束条件下，只计算主动力的功。

注意：质点系的内力作功之和不一定等于零！功率是力在单位时间内所作的功

vFt

WP

vF

dvF

t

WP

vF

d

MP MP （力矩的功率）

本章小结

功率方程 Pdt

dT Pdt

dTP 输入－ P 有用－ P 无用

机械效率有效功率输入功率η =

η= P 有用 +

dtdTdtdT

P 输入

即

有势力的功只与物体的运动的起点和终点的位置有关，而与物体内各点轨迹的形状无关。

本章小结

物体在势力场中某位置的势能等于有势力从该位置到任选的零势能位置所作的功。

重力场中的势能 V = mg(z － z0)

弹性力场中的势能

万有引力场中的势能

)(21 2

02 kV )(

21 2

02 kV

若以自然位置为零势能点，则 2

2

1 kV 2

2

1 kV

rrmfmV

11

021

rrmfmV

11

021

若以无限远处为零势能点，则r

mfmV1

21 rmfmV

121

本章小结

有势力的功可通过势能的差来计算

W12= V1 － V2

机械能 = 动能 + 势能 = T+V

机械能守恒定律：如质点或质点系只在有势力作用下运动，则机械能保持不变，即

T + V = 常值

本章小结

第十三章动能定理

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第十三章 动 能 定 理

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