Дополнительные Дополнительные метрические соотношения в метрические соотношения в

треугольникетреугольнике

ЛЕММАЛЕММА(о свойстве углов при точке пересечения (о свойстве углов при точке пересечения биссектрис треугольника)биссектрис треугольника)

Если О – точка пересечения биссектрис треугольника АВС, то имеют место соотношения:

B

A

C

(1)

(2)

(3)

O

Доказательство:Доказательство:

B

A

C

O

1) Докажем, к примеру, соотношение (1).

2) Т.к. О – центр вписанной в ∆ АВС окружности, то ВО и СО – биссектрисы углов В и С.

3) В треугольнике ВОС

4) Аналогично доказываются соотношения (2), (3).■

Теорема Теорема 11(о радиусе вписанной окружности)(о радиусе вписанной окружности)

Радиус окружности, вписанной в треугольник, связан с его сторонами и углами следующими соотношениями:

Доказательство:Доказательство:

А

B C

O

1) Пусть дан ∆ АВС с длинами сторон a, b, c и противолежащими углами α, β, γ соответственно; пусть r – радиус вписанной окружности с центром О.

bc

ar

2) Докажем, к примеру, что

3) Соединим точку О с вершинами треугольника АВС, тогда ВО и СО – биссектрисы соответствующих углов треугольника, т.е. ∠OBC = , ∠OCB = .

4) В силу леммы ∠BОC = 90° +

γβ

А

B C

O

5) В ∆ ВОС по теореме синусов имеем:

D

bc

a

r

6) Пусть D – точка касания вписанной окружности со стороной BC, тогда OD⊥BC, OD = r .

7) В прямоугольном ∆ BOD ,

откуда

, откуда

8) Аналогично доказываются два остальных соотношения. ■

Доказательство:Доказательство:

Теорема 2Теорема 2(о площади треугольника)(о площади треугольника)

Площадь треугольника АВС со сторонами a, b, c и радиусом описанной окружности R вычисляется по формулам:

(1)

(2)

Доказательство:Доказательство:А

B

C

1) Пусть дан ∆ АВС с длинами сторон a, b, c и радиусом R описанной вокруг него окружности.bc

a

2) Докажем соотношения (1) и (2).

3) По теореме синусов откуда

(3)

4) Кроме того, , откуда (4)

5) Т.к. , то в силу (3) имеема в силу (3) и (4) имеем

■

Для треугольника АВС справедливы соотношения:

Задача 1.

В треугольнике АВС угол В равен 60°, радиус описанной окружности равен 2. Найти радиус окружности, проходящей через вершины А и С и центр вписанного в треугольник АВС круга.

Задача 2.

Найти радиус окружности, вписанной в треугольник, если два угла треугольника равны β и γ, а радиус описанной окружности равен R.

Задача 3.

В треугольнике даны два угла α и β и радиус R описанной окружности. Найти высоту, проведенную из третьего угла треугольника.

Задача 4.

Доказать, что площадь прямоугольного треугольника с острым углом 15° равна восьмой части квадрата гипотенузы.