第五章 数字滤波器的基本结构

学习目标 理解数字滤波器结构的表示方法理解数字滤波器结构的表示方法

掌握掌握 IIRIIR 滤波器的基本结构滤波器的基本结构

掌握掌握 FIRFIR 滤波器的直接型、级联型、线滤波器的直接型、级联型、线性相位结构，理解频率抽样型结构性相位结构，理解频率抽样型结构

了解数字滤波器的格型结构了解数字滤波器的格型结构

作业练习 P226:P226:

11 22 33 44 66 77 8 (1)8 (1)

一、数字滤波器结构的表示方法

数字滤波器的系统函数：数字滤波器的系统函数：

0

1

( )( )

( ) 1

Mk

kk

Nk

kk

b zY z

H zX z a z

1 0

( ) ( ) ( )N M

k kk k

y n a y n k b x n k

常系数线性差分方程常系数线性差分方程 ::

a a

1z 1z

1 0

( ) ( ) ( )N M

k kk k

y n a y n k b x n k

加法器

常数乘法器

单位延时

基本运算单元 方框图 流图

例：二阶数字滤波器例：二阶数字滤波器

1 2 0( ) ( 1) ( 2) ( )y n a y n a y n b x n

方框图结构方框图结构 流图结构流图结构

流图结构 节点节点

源节点源节点

支路支路

阱节点阱节点 网络节点网络节点

分支节点分支节点

输入支路输入支路

相加器相加器

节点的值 = 所有输入支路的值之和

输出支路输出支路

支路的值 = 支路起点处的节点值 传输系数

二、 IIR 数字滤波器的基本结构

11 ）系统的单位抽样相应）系统的单位抽样相应 hh((nn)) 无限长无限长

IIRIIR 数字滤波器的特点：数字滤波器的特点：

33 ）存在输出到输入的反馈，递归型结构）存在输出到输入的反馈，递归型结构22 ）系统函数）系统函数 HH((zz)) 在有限在有限 zz 平面（ ）上有极点存在平面（ ）上有极点存在0 z

0

1

( )( )

( ) 1

Mk

kk

Nk

kk

b zY z

H zX z a z

系统函数：

1 0

( ) ( ) ( )N M

k kk k

y n a y n k b x n k

差分方程：

IIRIIR 数字滤波器的基本结构：数字滤波器的基本结构： 直接直接ⅠⅠ型型 直接直接ⅡⅡ型（典范型）型（典范型） 级联型级联型 并联型并联型

1 、直接Ⅰ型

差分方程差分方程 ::1 0

( ) ( ) ( )N M

k kk k

y n a y n k b x n k

需需 NN++MM 个个延时单元延时单元

2 、直接Ⅱ型（典范型）

N M只需实现只需实现 NN 阶滤波器所需的最少的阶滤波器所需的最少的 NN 个延时单元，个延时单元，

故称典范型。（ ）故称典范型。（ ）

直接型的共同缺点：ka kb 系数 ， 对滤波器的性能控制作用不明显系数 ， 对滤波器的性能控制作用不明显

极点对系数的变化过于灵敏，易出现不稳定或极点对系数的变化过于灵敏，易出现不稳定或较大误差较大误差

运算的累积误差较大运算的累积误差较大

3 、级联型将系统函数按零极点因式分解将系统函数按零极点因式分解 ::

1 2

1 2

1 1 * 1

0 1 1

1 1 * 1

1 1 1

(1 ) (1 )(1 )( )

1 (1 ) (1 )(1 )

M MMk

k k k kk k k

N N Nk

k k k kk k k

b z p z q z q zH z A

a z c z d z d z

A为常数

* *, ,k k k kq q d d和 分别为复共轭零、极点k kp c和 分别为实数零、极点

1 22M M M

1 22N N N

将共轭成对的复数组合成二阶多项式，系数即为实数。将共轭成对的复数组合成二阶多项式，系数即为实数。为采用相同结构的子网络，也将两个实零点为采用相同结构的子网络，也将两个实零点 // 极点组合成极点组合成

二阶多项式二阶多项式1 2

1 21 2

1 2

1( ) ( )

1k k

kk kk k

z zH z A A H z

z z

2 0k 当零点为奇数时：当零点为奇数时： 有一个有一个

2 0k 当极点为奇数时：当极点为奇数时： 有一个有一个

1

2

NM N

当 时，共有 节

1 21 2

1 21 2

1( ) ( )

1k k

kk kk k

z zH z A A H z

z z

1!

2

N

各二阶基本节的排列次序有 种各二阶基本节的排列次序有 种

1!

2

N

当M=N 时，二阶因子配对方式有 种

级联型的特点： 调整系数 ， 能单独调整滤波器的第调整系数 ， 能单独调整滤波器的第 kk 对零点，而不影响其它零极点对零点，而不影响其它零极点

1k2k

运算的累积误差较小运算的累积误差较小

具有最少的存储器具有最少的存储器

便于调整滤波器频率响应性能

1k2k调整系数 ， 能单独调整滤波器的第 k 对极点，

而不影响其它零极点

4 、并联型将因式分解的将因式分解的 HH((zz)) 展成部分分式：展成部分分式：

1 112 2

0 10 01 2

1 11 2

( ) ( )1

N N

k kk

k kk k

zH z G G H z

z z

2 1 0k k 当当 NN 为奇数时，有一个为奇数时，有一个

( )M N

1 2 10 1

0 1 1 21 1 1 2

( )1 1

N Nk k k

k kk k k

A zH z G

c z z z

1 22N N N

组合成实系数二阶多项式：

1 112 2

0 10 01 2

1 11 2

( ) ( )1

N N

k kk

k kk k

zH z G G H z

z z

并联型的特点：

通过调整系数 ， 可单独调整一对极点位置，通过调整系数 ， 可单独调整一对极点位置，但不能单独调整零点位置但不能单独调整零点位置

1k 2k

各并联基本节的误差互相不影响，故运算误差各并联基本节的误差互相不影响，故运算误差最小最小

可同时对输入信号进行运算，故运算速度最高可同时对输入信号进行运算，故运算速度最高

转置定理： 原网络中所有支路方向倒转，并将输入原网络中所有支路方向倒转，并将输入 xx((nn)) 和输出和输出

yy((nn)) 相互交换，则其系统函数相互交换，则其系统函数 HH((zz)) 不改变。不改变。

例：设例：设 IIRIIR 数字滤波器差分方程为：数字滤波器差分方程为：

试用四种基本结构实现此差分方程。试用四种基本结构实现此差分方程。

( ) 8 ( ) 4 ( 1) 11 ( 2) 2 ( 3)y n x n x n x n x n 5 3 1

( 1) ( 2) ( 3)4 4 8

y n y n y n

1 2 3

1 2 3

8 4 11 25 3 1

14 4 8

z z zH z

z z z

解：对差分方程两边取 z 变换，得系统函数：

1 2 3

1 2 3

8 4 11 25 3 1

14 4 8

z z zH z

z z z

得直接Ⅰ型结构：

典范型结构：

1 1 2

1 1 2

2 0.379 4 1.24 5.264

1 11 1

4 2

z z zH z

z z z

1 1 2

1 1 2

8 1 0.19 1 0.31 1.32

1 11 1

4 2

z z z

z z z

将 H(z) 因式分解：

得级联型结构：

1

1 1 2

8 16 2016

1 11 1

4 2

zH z

z z z

将 H(z) 部分分式分解：

得并联型结构：

三、 FIR 数字滤波器的基本结构

11 ）系统的单位抽样响应 ）系统的单位抽样响应 hh((nn)) 有限长，设有限长，设 NN 点点

FIRFIR 数字滤波器的特点：数字滤波器的特点：

0z 22 ）系统函数）系统函数 HH((zz)) 在 处收敛，有限在 处收敛，有限 zz 平面只平面只有零点，全部极点在 有零点，全部极点在 z z = 0 = 0 处（因果系统）处（因果系统）

33 ）无输出到输入的反馈，一般为非递归型结构）无输出到输入的反馈，一般为非递归型结构

1

0

( ) ( )N

n

n

H z h n z

系统函数：系统函数：

zz=0=0 处 是处 是 NN-1-1 阶极点阶极点有有 NN-1-1 个零点分布于个零点分布于 zz 平面平面

1 0

( ) ( ) ( )N M

k kk k

y n a y n k b x n k

0

1

( )( )

( ) 1

Mk

kk

Nk

kk

b zY z

H zX z a z

1

0

( ) ( )N

n

n

H z h n z

1

0

( ) ( ) ( )N

m

y n h m x n m

1 、横截型（卷积型、直接型）

差分方程差分方程 ::1

0

( ) ( ) ( )N

m

y n h m x n m

2 、级联型

[ / 2]11 2

0 1 20 1

( ) ( ) ( )NN

nk k k

n k

H z h n z z z

NN 为偶数时，其中有一个 （为偶数时，其中有一个 （ NN-1-1 个零点）个零点）2 0k

将将 HH((zz)) 分解成实系数二阶因式的乘积形式分解成实系数二阶因式的乘积形式 ::

级联型的特点

系数比直接型多，所需的乘法运算多系数比直接型多，所需的乘法运算多

每个基本节控制一对零点，便于控制滤波器的每个基本节控制一对零点，便于控制滤波器的传输零点传输零点

3 、频率抽样型

1

10

1 ( )( ) (1 )

1

NN

kk N

H kH z z

N W z

1'

0

1( ) ( )

N

c kk

H z H zN

NN 个频率抽样个频率抽样 HH((kk)) 恢复恢复 HH((zz)) 的内插公式：的内插公式：

2j k

Nkz e

0,1,..., 1k N

( ) 1j j NcH e e

22 sin2

Nj N

je

( ) 1 NcH z z 子系统：子系统：

是是 NN 节延时单元的梳状滤波器节延时单元的梳状滤波器

在单位圆上有在单位圆上有 NN 个等间隔角度的零点：个等间隔角度的零点：

频率响应：频率响应：

2 2 2

N N Nj j j

e e e

2j kk N

k Nz W e

单位圆上有一个极点：单位圆上有一个极点：

2k

N

与第与第 kk 个零点相抵消，使该频率 处的频率个零点相抵消，使该频率 处的频率响应等于响应等于 HH((kk))

'1

( )( )

1k kN

H kH z

W z

谐振器谐振器子系统：

频率抽样型结构的优缺点

调整调整 HH((kk)) 就可以有效地调整频响特性就可以有效地调整频响特性 若若 hh((nn)) 长度相同，则网络结构完全相同，除了长度相同，则网络结构完全相同，除了

各支路增益各支路增益 HH((kk)) ，，便于标准化、模块化便于标准化、模块化

有限字长效应可能导致零极点不能完全对消，有限字长效应可能导致零极点不能完全对消，导致系统不稳定导致系统不稳定

系数多为复数，增加了复数乘法和存储量系数多为复数，增加了复数乘法和存储量

修正频率抽样结构

1

10

1 ( )( ) (1 )

1

NN N r

kk N

H kH z r z

N rW z

2j k

Nkz re

极点：

0,1,..., 1k N

1 1r r 且将零极点移至半径为将零极点移至半径为 rr 的圆上：的圆上：

为使系数为实数，将共轭根合并为使系数为实数，将共轭根合并

*N k kz z ( ) *( )N k k k

N NW W W 由对称性：由对称性：

*( ) (( )) ( )N NH k H N k R k 又又 hh((nn)) 为实数，则为实数，则

1 ( ) 1

( ) ( )( )

1 1k k N kN N

H k H N kH z

rW z rW z

*

1 * 1

( ) ( )

1 1 ( )k kN N

H k H k

rW z r W z

10 1

1 2 221 2 cos( )

k k z

z r k r zN

11,2,...,

2

1,2,..., 12

Nk N

Nk N

为奇数

为偶数0 2 Re[ ( )]k H k 其中：

1 2 Re[ ( ) ]kk Nr H k W

将第 k 个和第 (N-k) 个谐振器合并成一个实系数的二阶网络：

当当 NN 为偶数时，还有一对实数根为偶数时，还有一对实数根

0 1

(0)( )

1

HH z

rz

/ 2 1

( / 2)( )

1N

H NH z

rz

z rkk=0, =0, N N / 2/ 2 处：处：

/ 2 1

0 / 21

1( ) 1 ( ) ( ) ( )

NN N

N kk

H z r z H z H z H zN

NN 为奇数时为奇数时

( 1) / 2

01

1( ) 1 ( ) ( )

NN N

kk

H z r z H z H zN

只有一个实数根在 只有一个实数根在 k k = 0= 0 处：处： z z = = rr

4 、快速卷积结构

5 、线性相位 FIR 滤波器的结构

0 1n N FIRFIR 滤波器单位抽样响应滤波器单位抽样响应 hh((nn)) 为实数，为实数，且满足：且满足：

( ) ( 1 )h n h N n 偶对称：偶对称：( ) ( 1 )h n h N n 或奇对称：或奇对称：

即对称中心在 即对称中心在 ((NN-1) / 2-1) / 2 处处

则这种则这种 FIRFIR 滤波器具有严格线性相位。滤波器具有严格线性相位。

NN 为奇数时为奇数时1

0

( ) ( )N

n

n

H z h n z

1

1 1 122

10 12

1( ) ( )

2

NN N

n n

Nn n

Nh n z h z h n z

11 12

( 1 ) 2

0

1( )

2

NN

n N n

n

Nh n z z h z

1n N m 令

hh((nn)) 偶对称，取“偶对称，取“ +”+”1

02

Nh

hh((nn)) 奇对称，取“ ”，且奇对称，取“ ”，且

NN 为偶数时为偶数时1

0

( ) ( )N

n

n

H z h n z

1

12

02

( ) ( )

NN

n n

Nn n

h n z h n z

1

2( 1 )

0

( )

N

n N n

n

h n z z

四、数字滤波器的格型结构四、数字滤波器的格型结构

格型结构的优点：格型结构的优点：

11 ）模块化结构便于实现高速并行处理）模块化结构便于实现高速并行处理

22）） mm 阶格型滤波器可以产生阶格型滤波器可以产生 11 阶到阶到 mm 阶的阶的 mm 个横向个横向 滤波器的输出性能 滤波器的输出性能

故广泛应用于现代谱估计、语音信号处理、自适故广泛应用于现代谱估计、语音信号处理、自适应滤波等。应滤波等。

3 ）对有限字长的舍入误差不灵敏

11 、全零点系统（、全零点系统（ FIRFIR 系统）的格型结构系统）的格型结构

一个一个 M M 阶的 阶的 FIRFIR 滤波器的横向结构的系统函数：滤波器的横向结构的系统函数：

0 1

1M M

Mi ii

i i

H z h i z b z B z

系统 表示系统 表示 M M 阶 阶 FIR FIR 系统的第 系统的第 i i 个系数个系数 Mib

22M M 次乘法，次乘法， M M 次延迟次延迟

横向结构：横向结构： MM 个参数 ，或 个参数 ，或 Mib 1i M h i

格型结构：格型结构： M M 个参数 个参数 ,,ik 1i M 称为反射系数M 次乘法， M 次延迟

0 1

1M M

Mi ii

i i

H z h i z b z B z

1 1

1 1

1

1

m m m m

m m m m

f n f n k g n

g n k f n g n

1,2,m M

( )

( 1,2,..., )

( 1,2,..., 1,2,..., )

i

mi

mi i

k i M

b i m m M

k b

格型结构的系数

横向结构的系数 ；

讨论 的递推关系

0 0

M

f n g n x n

f n y n

定义： 、 分别是输入端到第定义： 、 分别是输入端到第 mm 个基个基本传输单元上、下端所对应的系统函数： 本传输单元上、下端所对应的系统函数：

mB z mB z

10

1m

mm im i

i

F zB z b z

F z

1,2,m M 0

mm

G zB z

G z

11 1

11 1

m m m m

m m m m

F z F z k z G z

G z k F z z G z

1m mB z B z1)1)

0

0

/

/

F

G

11 1

11 1

1

2

m m m m

m m m m

B z B z k z B z

B z k B z z B z

1 1 3m m m mB z zB z zk B z

z z 变换，得 变换，得

1 1

1 1

1

1

m m m m

m m m m

f n f n k g n

g n k f n g n

对基本单元

(3)(3)代入代入 (1)(1) 得（得（ 44 ））

1 2

14

1m m m mm

B z B z k B zk

11 1

11 1

1

2

m m m m

m m m m

B z B z k z B z

B z k B z z B z

1 1 3m m m mB z zB z zk B z

(4)代入 (3) 得：

1 2

1

1m m m mm

B z zk B z zB zk

0 0 1B z B z

1 11 1B z z B z

1 11 0 1 0 1

1 11 1 0 0 1

1B z B z k z B z k z

B z k B z B z k z

由由 (1)(1) 、、 (2) (2)

11 1

11 1

1

2

m m m m

m m m m

B z B z k z B z

B z k B z z B z

1 1 1 22 1 2 1 1 1 2 2

1 1 1 22 2 1 1 2 1 2 2

1B z B z k z B z k z k k z k z

B z k B z z B z k k k z k z z

2 12 2B z z B z

11 1

11 2

5

16

1

mm m m m

mm m m m

m

B z B z k z B z

B z B z k z B zk

1mm mB z z B z

代入 代入 (1)(1) 、、 (4)(4)

11 1 1m m m mB z B z k z B z

1 2

14

1m m m m

m

B z B z k B zk

得

代入代入 (5)(5)

1

1m

m im i

i

B z b z

1

11

1

1m

m im i

i

B z b z

代入 代入 (6)(6)

1 1

mm m

m m mi i m m i

b k

b b k b

1

2

1

1

mm m

m m mi i m m i

m

k b

b b k bk

1 1i m 2,m M

mi mb k 1i m 1m M 2)2)

3) 3) 已知 ，求 ，已知 ，求 ， MH z B z B z 1k 2k Mk

(1)(1) MM Mk b

(3)(3) 重复重复 (2)(2)求出全部求出全部 1 1M Mk k k ， ， ， 1 1MB z B z ，

(2)(2) 由 ， ， ，求 的系数由 ， ， ，求 的系数

， ， ， ， 或由或由 (6)(6) 得 ，则得 ，则

Mk 1

Mb 2

M MMb b 1mB z

11

Mb 12

Mb 11 1

MM Mb k

1MB z 1

1 1M

M Mk b

1 2 3

FIR

( ) 1 1.8313708 1.4319595 0.448H z z z z

例：一个 系统的系统函数为：

试求其格型结构。

(3) (3) (3)1 2 31.8313708, 1.4319595, 0.448b b b

解：这是一个三阶系统

(3)3 3 0.448k b 得

1

2

1

1m m m

i i m m im

b b k bk

由 ，得

2 3 31 1 3 22

3

11.4886262

1b b k b

k

2 3 32 2 3 12

3

10.7650549

1b b k b

k

2k

1 22 ( ) 1 1.4886262 0.7650549B z z z

得二阶系统：

1 2 21 1 2 12

2

10.8433879

1b b k b

k

1k

11 ( ) 1 0.8433879B z z

得一阶系统：

22 、全极点系统（、全极点系统（ IIRIIR 系统）的格型结构系统）的格型结构

全极点全极点 IIRIIR 滤波器的系统函数 滤波器的系统函数 H z

1

1 1

1M

M ii

i

H zA z a z

其中 表示其中 表示 M M 阶全极点系统的第 阶全极点系统的第 ii 个系数，个系数， Mia

ik讨论与格型结构 的关系

全极点格型结构基本单元： 全极点格型结构基本单元：

1 1

1 1

1

1

m m m m

m m m m

f n f n k g n

g n k f n g n

1,2,m M

MM＝＝ 1 1

0 1 1 0

1 1 0 0

0 0

1

1

1

f n f n k g n

g n k f n g n

f n g n y n

f n x n

1

1 1 1

1 1

1

Y z

F z k z A z

令

1

1 1

1

1

y n x n k y n

g n k y n y n

1 1 1 1

1 1 1 11 AG z

k z z k z z A z zY z

令

＝

MM＝＝ 2 2

1 2 2 1

2 2 1 1

0 0

2

1

1

f n f n k g n

g n k f n g n

f n g n y n

f n x n

1 2 2

2 2 1 2

1 1 2

1 1 2

y n k k y n k y n x n

g n k y n k k y n y n

1 2

2 1 2 2 2

1 1

1 1

Y z

F z k k z k z A z

令

2 1 2 2 1

2 1 2 2 21 AG z

k k k z z z A z zY z

令

＝

1

m m

Y z

F z A z

mAmG z

zY z

1mm mA z z A z

1

1 1

1M

M im mi

i

Y z Y zH z

X z F z A z a z

格型结构系数 与 ， ；格型结构系数 与 ， ；

之间递推关系同全零点系数与 的递推关系完全一样。 之间递推关系同全零点系数与 的递推关系完全一样。

1 2 Mk k k， ， mia 1,2,i m 1,2,m M

mib

1 1

mm m

m m mi i m m i

a k

a a k a

1

2

1

1

mm m

m m mi i m m i

m

k a

a a k ak

1 1i m 2,m M

1 2 3

1 ( )

1 1.8313708 1.4319595 0.448H z

z z z

例：一个全极点系统的系统函数为：

试求其格型结构。

3 2 10.448, 0.7650549, 0.8433879k k k

33 、零极点系统（、零极点系统（ IIRIIR 系统）的格型结构系统）的格型结构

在有限 在有限 z z 平面 上既有极点又有零点平面 上既有极点又有零点的的 IIRIIR 系统系统

0 z

0

1

1

NN i

it

NN k

kk

b zB z

H zA z a z

(1) (1) 当 ，为当 ，为 NN阶阶 FIRFIR 系统的横向结构系统的横向结构1 2 0Nk k k

(2) (2) 当 当 , , 时，为全极点时，为全极点 IIRIIR 格型结构 格型结构 1 2 0Nc c c 0 1c

(3)(3) 上半部分对应全极点系统 上半部分对应全极点系统

下半部分对应全零点系统 下半部分对应全零点系统

01 F z

A z X z

B z

1 2 Nk k k， ， 按全极点系统的方法求出, 0,1,ic i N 而上半部分对下半部分有影响，故需求

令 为由 到 之间的系统函数令 为由 到 之间的系统函数 mH z x n mg n

0m mm

G z G z A zH z

X z X z

0

mm

G zA z

G z

mA z

A z

0 0 1F z G z

X z X z A z

整个系统的系统函数 整个系统的系统函数

0 0

N Nm

m m mm m

B z A zH z c H z c

A z A z

1

0

Nm

m mm

c z A z A z

由 两边同次幂系数相等，得由 两边同次幂系数相等，得 1

0

Nm

m mm

B z c z A z

解法一： 解法一：

1

NN m

k k m m km k

c b c a

0,1 ,k N＝ ，

解法二 ： 解法二 ： 1

0

Nm

N m mm

B z B z c z A z

1

1 11

0

Nm N

N m m N N Nm

B z c z A z B c z A z

11

mm m m mB z B c z A z

mm mc b 0,1, ,m N

1 2 3

1 2 3

1 0.5 0.2 0.7 ( )

1 1.8313708 1.4319595 0.448

z z zH z

z z z

例：一个零极点系统的系统函数为：

试求其格型结构。

3 2 10.448, 0.7650549, 0.8433879k k k

(3) (3) (3)1 2 31.8313708, 1.4319595, 0.448a a a

(2) (2)1 21.4886262, 0.7650549 a a

1 2 33( ) 1 1.8313708 1.4319595 0.448A z z z z 三阶系统：

1 22 ( ) 1 1.4886262 0.7650549A z z z 二阶系统：

(1)1 0.8433879a

11 ( ) 1 0.8433879A z z 一阶系统：

1

NN m

k k m m km k

c b c a

由 ，得

(3)3 3 0.7c b

(3) (1) (2) 30 0 1 1 2 2 3 3 0.7733219c b c a c a c a （ ）

(3) (3)2 2 3 1 1.4819596c b c a

(3) (2) (3)1 1 2 1 3 2 0.7037122c b c a c a