Дискретні структури

Лекція 2

Бінарні відношення

2.1. Поняття бінарного відношення.

2.2. Властивості бінарних відношень.

2.3. Види бінарних відношень.

2.4. Операції над бінарними відношеннями.

2.5. Відображення множин.

Визначення. Декартовим добутком множин X і Y називається множина X*Y всіх впорядкованих пар (x, у) таких, що x  X, у Y.

Визначення. Відношенням між множинами X і Y (або відношенням з X в Y) називається будь-яка підмножина R декартового добутку X*Y. Якщо множини X і Y збігаються, то відношення між множинами X і Y називають бінарним відношенням на множині X.

Приклад. Нехай X = {а, b, с, d}, Y = {1, 2, 3, 4, 5}. Тоді множина комбінацій R={(а, 1), (b, 2), (с, 3), (d, 4)} є відношенням з X в Y.

Зазвичай відношення задаються не шляхом задання підмножини R декартового добутку X*Y, а шляхом задання властивості пар (x, у), що належать цій підмножині R.

Приклад. Відношення R = {(4, 4), (3, 3), (2, 2), (4, 2)} на множині X = {4, 3, 2} можна визначити як властивість "Ділиться" на цій підмножині цілих чисел.

2.1. Поняття бінарного відношення

Приклади відношень з курсу математики є: на множині цілих чисел Z - відношення "ділиться",

"ділить", "рівно", "більше", "менше", "взаємно прості";

на множині прямих простору - відношення "паралельні", "взаємно перпендикулярні", "схрещуються", "перетинаються", "збігаються";

на множині окружності площини - відношення

"перетинаються", "торкаються", "концентричні".

Приналежність комбінації (x, у) відношенню R, часто позначають за допомогою так званої інфіксної форми запису: x R y.

Приклад. x >у, а = b, m||l, а ┴b і т.п.

Відношення можуть задаватися формулами:

1) у = x2 +5x - 6  - задаються бінарні відношення на множині дійсних чисел;

2) x +у = любов - задаються бінарні відношення на безлічі

людей.

Приклад. Нехай множина X = {а, b, с, d, e}.

При представленні відношень за допомогою орієнтованих графів елементи множини X позначаються вершинами графа (точками площини), а елементи (x, у) відношення R дугами (стрілками), що сполучають першу компоненту x відношення з другою компонентою у.

Для бінарних відношень, визначених на скінченій множині, часто використовується матричний спосіб представлення. Для цього необхідно визначити матрицю відношення A = [aij] наступним чином:

Таким чином, матриця відношення R, представленого графом має вигляд

Rненалежитьxякщо

Rналежитьxякщо

j

j

ij ),x(,0

),x(,1a

i

i

2.2. Властивості бінарних відношень

1.Рефлексивність x A xRx

2.Іррефлексивність x A xRx

3.Симетричність xRy yRx

5.Транзитивність xRy yRz xRz,

4.Антисиметричність xRy yRx x y

2.3. Види бінарних відношень

Відношення еквівалентності: рефлексивне, симетричне та транзитивне.Приклад. Відношення рівнозначності формул, подібності геометричних

фігур, належності студентів до однієї групи.

Відношення сумісності: рефлексивне та симетричне.Приклад. Відношення близькості чисел, знайомства людей.

Відношення часткового порядку: рефлексивне, антисиметричне та транзитивне.

Приклад. Відношення та для дійсних чисел, та для множин.

Відношення повного порядку: іррефлексивне, антисиметричне та транзитивне.

Приклад. Відношення та для дійсних чисел, и для множин.

2.4. Операції над бінарними відношеннями

Визначення. Перетином двох відношень R та S називається множина впорядкованих комбінацій, які належать як R, так і S.

Визначення. Об’єднанням двох відношень R та S називається множина впорядкованих комбінацій, які належать R або S.

Визначення. Різницею двох відношень R та S називається множина впорядкованих комбінацій, які належать R, але не належать S.

2.5. Відображення множин

Розглянемо дві множини Х та Y.

Визначення. Якщо кожному елементу x X відповідає ∈єдиний елемент y Y, то така відповідність називається ∈відображенням множини Х у множину Y.

Позначення: f: X→Y , f – символ самого відображення.

Визначення. Якщо при відображенні f кожний елемент множини Y є образом хоча б одного елементу з Х, то f називають відображенням Х на Y або сюр’єнцією.

Визначення. Якщо при відображенні f всі різні елементи множини Х переходять в різні елементи множини Y, то відношення f називають ін’єнцією.

Визначення. Якщо при відображенні f кожному елементу x X відповідає один елемент y Y, при чому кожному ∈ ∈елементу y Y відповідає єдиний елемент x X∈ ∈ , то таке відображення називається взаємнооднозначним.