Решение заданий части Решение заданий части

С С

ЕГЭЕГЭпо математике по математике 2011 2011 годагода

МБОУ Мучкапская СОШМБОУ Мучкапская СОШ

АвторАвтор учитель математики учитель математики Мишина О.В.Мишина О.В.

kππ

23

2

mππ

22

С1.С1. Решите уравнение 0532 xcostgxxtg

;xcos

,tgxxtg

xcostgxxtg

05

03

0532

2

Решение. ОДЗ: .

;xcos

,xcos

0

05 0xcos

kππ

23

nπ2nππ 2

mππ

22

C учетом ОДЗ:

Zk,kππ

x

Zn,nππx

23

2

2

;xcos

,tgx

,tgx

0

0

03

Zm,mππ

x

Zn,nπx

Zk,kππ

x

2

3

С2.С2. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1, стороны оснований которой равны 3, а боковые рёбра 4, найдите угол между прямой АВ1 и плоскостью BDD1.

А

С

В

D

А1

С1

В1

D1

O3

4

Решение. Так как О середина отрезка BD, то АО (BDD1). AB1О – искомый.

АО = ; АВ1 = 5 (в п/у АВВ1).

sin AB1О = AO : AB1 =

AB1О = arcsin

23√2

103√2

103√2

Ответ: arcsin . 10

3√2

С3.С3. Решите неравенство 150919 3250 ,logxlog x,

Решение. ОДЗ: .

;x

,x

,x

13

03

0919

919

22 ;;x

150919 3250 ,logxlog x,

13

1919

5050 2

xlogxlog

,,

132

919

50

50

xlog

xlog

,

,

191923

xlog

x

233

3919 22 xlogxlogxx

0391913 22 xxx

03101313 2 xxxx

010342 2 xxxx

0542 2 xxx

031042 2 xxxx

-5 42+−+ −

х

C учетом ОДЗ:

919

225 ;;;x

-5 4

2х19

9

С4.С4. Через вершину В правильного шестиугольника ABCDEF проведена прямая, пересекающая диагональ CF в точке К. известно, что прямая разбивает шестиугольник на части, площади которых относятся как 1 : 2. Найдите отношение СK : KF.

Решение. Пусть О – центр правильного шестиугольника ABCDEF, S – его площадь. Тогда SABEF = SBCDE = ½S SABF = SBCD = ⅙S1 случай (К между F и О)SBEF = S – SBCDE – SABF = S – ½S – ⅙S = ⅓S. Пусть SBМF = xS, тогда SBМЕ = ⅓S – xSПо условию SABМF : SBCDEМ = 1 : 2

А

С

В

DE

KOF

M

SABМF : SBCDEМ = (⅙S + xS) : (½S + (⅓S – xS)) = 1 : 2

(⅙ + x) : (½ + ⅓ – x) = 1 : 2, откуда x = ⅙. Т.е. SBМF = SBМЕ = ⅙S ВМ –медиана, FM = ME. Из подобия треугольников MKF и BKC

BC : FM = CK : KF = 2 : 1.

С4.С4. Через вершину В правильного шестиугольника ABCDEF проведена прямая, пересекающая диагональ CF в точке К. известно, что прямая разбивает шестиугольник на части, площади которых относятся как 1 : 2. Найдите отношение СK : KF.

Решение. 2 случай (К между C и О)По условию SBCDN : SABNEF = 1 : 2

SBDE = S – SBCD – SABEF = S – ½S – ⅙S = ⅓S.

Аналогично, SBDN = SBЕN = ⅙S, значит

ВN – медиана, EN = DN OK = KL = ¼OC = ½LC, KC = ¾OC CK : KF = 3 : 5.

А

С

В

DE

KOF

N

L

Ответ: 2 : 1 или 3 : 5.

С5.С5. Найдите все значения а, при каждом из которых система

имеет единственное

решение.

0

1

44422

xy

,axy

,yx

Решение. т.к. xy > 0, то либо x > 0, y > 0, либо x < 0, y < 0.1 случай:

1

00

1

444 22

y,x

,axy

,yx

4414 22 axx

021861 22 xaxa

Ищем дискриминант:

209648211486 2221 aaaaD

6216

6216

0 211

aиaприD

Система (1) имеет решение, если D1 ≥ 0, т.е. при

6216

6216

;а

С5.С5. Найдите все значения а, при каждом из которых система

имеет единственное

решение.

0

1

44422

xy

,axy

,yx

2 случай:

2

00

1

444 22

y,x

,axy

,yx

4414 22 axx

0378101 22 xaxa

Ищем дискриминант:

84160483714810 2222 aaaaD

63710

63710

0 432

aиaприD

Система (2) имеет решение, если D2 ≥ 0, т.е. при

63710

63710

;а

С5.С5. Найдите все значения а, при каждом из которых система

имеет единственное

решение.

0

1

44422

xy

,axy

,yx

63710

63710

;а

Совместим полученные решения:

6216

6216

;а

а6

216 6

216 6

3710

63710

4 решения2 решения 2 решения

3 решения

1 решение1 решение

.;6

37106

216 Ответ:

Решение. а) Да, может. Например, сумма любых двадцати семи чисел из набора 5, 4, 3, 2, …, 2, 1, …, 1 не больше, чем 5 + 4 + 3 + 2 17 + 7 = 53, и ⋅

их среднее арифметическое меньше 2. б) Нет, не может. Выпишем все числа слева направо в порядке убывания и рассмотрим первые 27 чисел, считая слева. Их сумма S меньше 54. Пусть количество единиц среди них равно x . Тогда 53 ≥ S ≥ x + 2(24 − x) + 3 + 4 + 5, x ≥ 7, то есть среди выбранных 27 чисел всегда есть семь единиц. Каждое из оставшихся шести чисел равно 1, и поэтому во всём наборе есть как минимум тринадцать единиц.

17 13

С6.С6. Набор состоит из тридцати трёх натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4 и 5. Среднее арифметическое любых двадцати семи чисел этого набора меньше 2. а) Может ли такой набор содержать ровно тринадцать единиц? б) Может ли такой набор содержать менее тринадцати единиц? в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 28.

Решение. в) Используя тринадцать единиц и числа 3, 4, 5, можно составить все суммы от 1 до 25. Если среди оставшихся семнадцати чисел есть число от 3 до 27, то его можно добавить и получить в сумме 28. Если среди оставшихся семнадцати чисел нет чисел от 3 до 27, то каждое из них или равно 1, или равно 2, или больше 27. Так как сумма этих семнадцати чисел не больше 53, то только одно из чисел может быть больше 27. Значит, в этом случае как минимум шестнадцать чисел равны 1 или 2. Используя их и тринадцать единиц, всегда можно получить сумму, равную 28.

Ответ: а) да; б) нет.

С6.С6. Набор состоит из тридцати трёх натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4 и 5. Среднее арифметическое любых двадцати семи чисел этого набора меньше 2. а) Может ли такой набор содержать ровно тринадцать единиц? б) Может ли такой набор содержать менее тринадцати единиц? в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 28.