1

3-1　质点和质点系的动量定理

物理学大厦的基石

三大守恒定律

动量守恒定律动能转换与守恒定律角动量守恒定律

2

3-1　质点和质点系的动量定理

力的累积效应EWrF

pIttF

,

, )(

对 积累

对 积累

动量、冲量 、动量定理、动量守恒动能、功、动能定理、机械能守恒

力的瞬时效应 加速度 a

3

3-1　质点和质点系的动量定理

一　冲量　质点的动量定理

冲量（矢量） 2

1

dt

ttFI

amF

由 可得：dt

pdF

4

3-1　质点和质点系的动量定理

12

2

1

d vv

mmtFIt

t

t

m

t

pF

d

(d

d

d )v

微分形式

积分形式

动量定理　在给定的时间间隔内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量．

5

3-1　质点和质点系的动量定理

某方向受到冲量，该方向上动量就增加．说明

分量表示yy

t

t yy mmtFI 12

2

1

d vv zz

t

t zz mmtFI 12

2

1

d vv

xx

t

t xx mmtFI 12

2

1

d vv

12

2

1

d vv

mmtFIt

t

6

3-1　质点和质点系的动量定理

质点系二 质点系的动量定理

1m2m

12F

21F

1F

2F

20222212 d)(2

1

vv

mmtFFt

t

10111121 d)(2

1

vv

mmtFFt

t

对两质点分别应用质点动量定理：

7

3-1　质点和质点系的动量定理

)()(d)( 202101221121

2

1

vvvv mmmmtFF

t

t

因内力 ， 02112 FF

故将两式相加后得：

20222212 d)(2

1

vv

mmtFFt

t

10111121 d)(2

1

vv

mmtFFt

t

n

iiii

n

ii

t

tmmtF

10

1

ex2

1

d vv

8

3-1　质点和质点系的动量定理

作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量——质点系动量定理

N21ex FFFF

01

01

ex2

1

d ppmmtFn

iiii

n

ii

t

t

vv

0ppI

9

3-1　质点和质点系的动量定理

区分外力和内力内力仅能改变系统内某个物体的动量，但不能改变系统的总动量 .

注意

10

3-1　质点和质点系的动量定理

（ 1） F 为恒力 tFI

（ 2） F 为变力

)(d 12

2

1

ttFtFIt

t

　

讨论 F

tt1 t2O

F

t1 t2 t

F

O

11

3-1　质点和质点系的动量定理

1v

m 2v

m

v

m

12

12

12

2

1

d

tt

mm

tt

tFF

t

t

vv

动量定理常应用于碰撞问题

F

注意

越小，则 越大t F

在 一定时p

12

3-1　质点和质点系的动量定理

1v

m

2v

m

x

y

例 1　一质量为 0.05 kg 、速率为 10 m·s-1 的刚球，以与钢板法线呈 45º 角的方向撞击在钢板上，并以相同的速率和角度弹回来．设碰撞时间为 0.05 s ．求在此时间内钢板所受到的平均冲力．

O

13

3-1　质点和质点系的动量定理 解　由动量定理得：

0sinsin vv mm

N1.14cos2

22

t

m

t

IIF

yx v

方向与 轴正向相同．Ox

xxx mmI 12 vv

cos2 vm)cos(cos vv mm

yyy mmI 12 vv

1v

m

2v

m

x

y

F'F

O

12 PPtFI

14

3-1　质点和质点系的动量定理

例 2 ：一长为 l ，密度均匀的柔软链条，其单位长度的质量为，将其卷成一堆放在地面上，如图所示。若用手握住链条的一端，以加速度 a 从静止匀加速上提。当链条端点离地面的高度为 x 时，求手提力的大小。

v

a

解：以链条为系统，向上为 X 正向，地面为原点建立坐标系。

t时刻，系统总动量 xvp

t

xv

t d

)(d

d

dp

t

vx

t

xv

d

d

d

d

axv 2

O

x

X

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3-1　质点和质点系的动量定理

F

axvt

2

d

dp axaxax 32

t 时刻，系统受合外力

g

)( xl

xgF

t

pxgF

d

d

a

O

x

X

gxN

系统动量对时间的变化率为：

根据动量定理，得到

ax3

xaxgF 3

16

3-1　质点和质点系的动量定理 例 3 、 一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。

o

x

x

vxlp )(

gxlvt

)(d

dp 2

证明：取如图坐标，设绳长为 .l

t时刻，系统总动量

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3-1　质点和质点系的动量定理

根据动量定理 :

LMgxFgxvvL

MvF /2 2 222 而

而已落到桌面上的柔绳的重量为 mg=Mgx/L

所以 F 总 =F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg

t 时刻，系统受合外力 gxlF )(

gxlvt

)(d

dp 2 gxlF )(

柔绳对桌面的冲力 即：FF

18

3-1　质点和质点系的动量定理o

x

vdxvdmdp

x

证明二：

取如图坐标，设 t 时刻已有 x 长的柔绳落至桌面，随后的 dt 时间内将有质量为 （ Mdx/L) 的柔绳以 dx/dt 的速率碰到桌面而停止，它的动量变化为：

dx

根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：

2vdt

vdx

dt

dpF ＝－＝

19

3-1　质点和质点系的动量定理

22 vL

MvF

已落到桌面上的柔绳的重量为 mg=Mgx/L

所以 F 总 =F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg

柔绳对桌面的冲力 即：FF

LMgxFgxv /2 2 2 而