• 九年一貫課程數學學習領域 暫行綱要之演變

• 九年一貫七大領域的課程綱要，只剩下數學領域的綱要尚未公佈。

• ９０年１月：暫行綱要版

• 九年一貫國中、小編寫數學課本的依據。

• 除了國小六年級、國中三年級之外，都已經使用依據暫行綱要版編寫的課本。

•９１年１０月３１日： 改編之未公告版

• 為了配合九年一貫課程綱要正式公布，針對９０年１月暫行綱要版做修改。

• ９２年４月３０日： 修訂草案初版

•部份學者專家認為九年一貫數學課程造成學生數學能力低落，其中以演算能力降低的問題最為顯注，有鑑於此，９２年２月１５日， 教育部組成「數學領域綱要修訂小組」，期能於九十四年度自國小一年級及國中一年級開始同時逐年級實施。

• 國小一年級及國中一年級開始同時逐年實施，因此會導至連續六年的國中、小課程銜接問題，現在大家就應該開始思考如何面對這個問題。

• 數學符號或加減乘除運算是怎樣被發展出來的？

•為什麼要背九九乘法表？•為什麼不要背 99 ×99 乘法表？

•為什麼「５＋３＝８」 ?

•5+3 不等於 8, 難道答案是 9嗎 ?•你看！這裡有 5個蘋果 ,那裡有 3個蘋果 ,合起來數數看 ,是不是有8個蘋果 ,5個蘋果和 3個蘋果合起來共有 8個蘋果 ,所以 5+3=8 。

•應該先引入 5+3=8 ， 然後再向學童說明其義意。

•先有解決問題的活動， 再使用 5+3=8 紀錄解題活動。

•一定要記成 5+3=8 嗎 ？

• 5• ］→ 8 5 ， 3☉→8• 3•學童先發展出自己能掌握的記法，再連結文化傳統的記法。

•與成人溝通國小數學的教與學是很辛苦的，因為成人對國小數學問題過份的熟悉，因而喪失了反省能力，無法思考為什麼可以這樣快速的算出答案。

• 幫助成人理解學童為什麼不會算數學，為什麼常使用笨的方法算數學，最好的方法是改變符號表徵，將問題改寫為成人不熟悉的符號情境，面對不熟悉的解題工具或情境，成人才能反省，學童在解題時可能發生那些困難，要如何幫助學童解決這些困難。

• 沒有位值概念的數詞序列 a,b,c,d,e,f,g,…. ( 數到 z 之後怎麼辦）

• 如果你想將問題簡單化，不理會位值概念，將注意力放在如何引入加減乘除這些算式，請使用上面這套數詞序列解題。當然 , 你也可以使用有位值概念的數詞序列解題。

• 有位值概念的數詞序列 ( 七進位 )

• a, b, c, d, e, f• ax, aa, ab, ac, ad, ae, af• bx, ba, bb, bc, bd, be, bf • …..• axx,axa,axb,axc,axd,axe,• axf, aax, aaa,aab, ….,fff,….

•請區分下面幾個概念

•解題活動 vs 記錄活動•解題過程記錄 vs 摘要記錄•解題記錄 vs 解題工具

•請使用英文字母｛ㄟ，ㄅㄧ，ㄒㄧ，ㄉㄧ， .... ｝的讀法來替代印度－阿拉伯數字國語「ㄧ，ㄦˋ，ㄙㄢ，ㄙˋ， ....」的讀法

•請使用「ａ、ｂ、ｃ、ｄ ..」的符號替代印度－阿拉伯數字 「１、２、３、４ ..」的記法。

•選擇有或沒有位值概念的數詞序列

•甲有ｆ個蘋果，乙有ｄ個蘋果， 兩個人合起來共有多少個蘋果？

•不會加法 ,能夠解決加法問題嗎 ? 算算看 ,答案是多少 ?

　j個蘋果 ac個蘋果

　

•不會加法，也能夠解決加法問題，透過２次做數活動，１次點數活動，就能夠算出答案。

• ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ｆ ａ ｂ ｃ ｄ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ｆ ｇｈ ｉ ｊ

• ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ｆ ax aa ab ac

•解題活動：解決問題，算出答案。

•不會加法，也能夠解決加法問題，透過２次做數活動，１次點數活動，就能夠算出答案。

•用加法「ｆ＋ｄ」能算出答案嗎？有那些能力才能用加法算出答案？

• 記錄活動：描述解題者怎樣算出答案，以便與他人溝通。

• 算出答案（共有ｊ個）以後，學童有記錄解題活動的需求嗎？

• 為什麼成人要求學童使用算式 「ｆ＋ｄ＝ｊ」記錄解題活動？

•解題過程記錄：強調能將解題的細部過程記錄下來，讓別人知道解題者是怎樣一步一步算出答案。

•「○○○○○○ ○○○○ 共ｊ個」是解題過程記錄。

• 摘要記錄：看不到解題者的細步解題過程，但是強調記錄了題目是什麼，答案是什麼，如何使用一個特殊符號，將解題活動摘要地記錄下來。

• 「ｆ＋ｄ＝ｊ」是摘要記錄 ,強調將題目中的兩個數字直接運算 , 可以最快速的算出答案。

•解題過程記錄和摘要記錄， 那種記錄較容易溝通解題活動？ 那種記錄學童可能自行發展？

•為什麼成人喜歡摘要記錄？ 為什麼要發明摘要記錄？

•請區分解題活動與記錄活動！

•請區分解題過程記錄與摘要記錄！

• 除了透過兩次做數及一次點數活動外 , 能夠更快速的算出加法問題的答案嗎？

• 提升原來解題策略的效率。• 發展出另一套解題工具。

• a b c d• ○ ○ ○ ○• f g h I j• ax aa ab ac •將兩次做數及一次點數活動省略成一次做數活動及一次點數活動。

• 透過手指頭掌控加數 , 可以再省略成一次點數活動。

• 當學童尚未熟記英文字母加法時，只能利用點數當做工具解決問題，並在解題成功後，使用加法算式「ｆ＋ｄ＝ｊ」摘要記錄解題活動，此時加法算式「ｆ＋ｄ＝ｊ」只是單純的記錄，學童不是使用加法來解決問題。

• 當學童透過經常記錄，記憶了某些加法算式，當再遇到數量相同的加法問題時，就可以利用記憶中的加法算式替代點數來解決問題，此時，加法算式「ｆ＋ｄ＝ｊ」的角色，開始由單純的記錄轉換為解題的工具。

•如果學童利用加法算出答案，加法算式「ｆ＋ｄ＝ｊ」具有雙重角色，是解題的工具，也是解題的記錄。

• 成人眼中的加法算式 , 是解題的工具 ,也是解題的紀錄。

•甲每天吃ｃ個蘋果 ,ｅ天共吃幾個蘋果？

• 請算出答案。

•共 o個蘋果•共 ba個蘋果

•用乘法 c x e 能算出答案嗎？ 　　　　　　　　　　　用加法「 c＋ c＋ c＋ c＋ c」能算出答案嗎？　　　　　　　　　　　　用做數及點數，能算出答案嗎？

•何時才能使用加法或乘法當做工具來解決問題？

•人們為什麼要發明加法及乘法？

•記錄活動：描述解題者怎樣算出答案，以便與他人溝通。

•○○○　○○○　○○○ ○○○ 　○○○，共有ｏ個蘋果。　

• 如果使用點數當做工具解題 ,圖像是過程記錄。　 　　　　

•學童使用多個加法算式來紀錄• 加法算式可能是單純的過程紀錄• 加法算式可能又是解題的工具， 又是解題的記錄。

•c + c =f f + c =i•i + c =l l + c =o 　

• 可以更快速的算出答案嗎？

• 可以提升加法的解題策略 ,例如發展出加法算則，讓加的速度變快。

•可以製作 c 的加法表 ,透過查表解決問題。

•可以發展出新的解題工具 ,例如透過乘法解決問題。

• 需要使用一個算式 ,摘要地將加法算式「 c＋ c＝ f， f＋ c＝ｉ，ｉ＋ c＝l，ｌ＋ c＝ｏ」記錄下來嗎？

•為什麼要用乘法算式 e ×ｃ＝ｏ 摘要的把加法算式記錄下來？

•如何幫學童用乘法算式 e ×ｃ＝ｏ 摘要的把加法算式記錄下來？

•日常生活中經常遇到相同數字相加的情形，例如 1 枝鉛筆賣 5元， 7枝鉛筆賣多少錢？ 因此將單價及數量直接運算得到答案，能提升解決問題的效率。

•1+2+3+4+….+100 也很有趣，但是日常生活中並不常用到，因此放在國中引入。

• 這裡所指的摘要記錄，是由過程記錄中抽象出來的新記錄，而不是兩組記錄透過繁簡比較，其中比較摘要的那一組記錄。

• 剛開始，加法、乘法等算式是解題的摘要記錄，背起來，算式可以轉變成解題的工具，當數量變大，算式變多且不好背，人們發展出加法或乘法運算（算則）。

• 需要背「英文字母乘法表」嗎？　何時開始記，何時必須熟記？　　成人可以提供那些幫助？

• 引入乘法算式 (摘要記錄 ) 以後，就應該幫助學童背乘法表。

• 有必要三天就熟記乘法表嗎？

• 分佈練習 : 將要記憶或熟練的東西 ,分散在較長的時間來練習。

•我們以前是怎樣背乘法表？ 需要強迫學童這樣背乘法表嗎？

• 如果你是課本的編寫者，你會假設學童已經會背乘法表嗎？

• 你會安排一些幫助熟記乘法表的活動嗎？

• 如果班上學生的先備經驗，和編者的假設不一致時，你如何處理？

• 3+3=6 3x2=6• 6+3=9 3x3=9• 9+3=12 3x4=12•12+3=15 3x5=15•15+3=18 3x6=18•18+3=21 3x7=21•21+3=24 3x8=24•24+3=27 3x9=27

• 3x7=21, 3x8=24, 3x9=27

• 3x7=21 是解題的工具 ,也是解題的紀錄。

• 3x8=24, 3x9=27 只是解題的紀錄。

• 3x9=27•是解題的工具 ,也是解題的紀錄。

•3x2=6•3x3=9 3+3+3+3+3+3+3•3x4=12 =3×7=21•3x5=15•3x6=18•33x7=21•你喜歡那一種記法？為什麼？

• 3x8=( ) 3x12=( )

• 9x4=( ) 13x4=( )

• 47x60=2820• 47x59=( )

• 47x62=( )

• 如何引入數學符號或算式？　　

• 數學課程都分三階段引入數學符號或算式，但是，不同課程對三階段所投入的教學時間不儘相同。　

• 解題活動類型（簡易數學模型）

• 在國小階段，我們算了很多的加法問題，為什麼這些情境不同的問題，都可以使用加法運算來解決問題？

• 這些使用加法解題的問題有那些共同特徵？

•成人常提示，當題目中有關鍵字「共」的時候，就可以使用加法來解決問題。

•成人為什麼要提示關鍵字？　　　提示關鍵字的目的是什麼？　　　

•統計學的觀點• 解題活動類型的觀點

• 加法問題有那些共同的特徵？• 有兩個已知個數的集合，這兩個集合沒有共同的元素，當要確定這兩個集合的個　數合起來是多少個時，就可以使用加法來替代點數解決問題。

• 數學上給加法的定義：• Ａ∩Ｂ＝ Φ ，ｎ（Ａ）＝ａ，　　　　　ｎ（Ｂ）＝ｂ，ａ＋ｂ＝ｎ（Ａ∪Ｂ）。

•第一階段： 引入數學符號或算式之前。

• 教學的重點是：• 理解題意。 • 有成功解題的經驗。 • 逐漸形成解題活動類型。

•第二階段： 引入數學符號或算式。

• 教學的重點是：• 形成解題活動類型。 • 掌握算式（摘要記錄）或算式填充題（問題記錄）的意義。

•第三階段： 引入數學符號或算式以後。

• 教學的重點是：• 將算式轉變成解題的工具。• 提升解題效率。 • 引入算則。

• ６４年課程，第一階段輕輕帶過，將多數教學時間放在第三階段。

• ８２年課程，第一階段投入較多的時間，相對之下，第三階段投入時間比較少。

• 九年一貫課程，與８２年課程比較，減少第一階段的時間，增加第三階段的時間。

•一枝鉛筆賣３元，４枝鉛筆共賣多少元？

•解題過程記錄（第一階段） 3 ＋ 3＝ 6， 6＋ 3＝ 9， 9＋ 9＝ 12

•摘要記錄（第二階段） 3 ×4＝ 12 (不是解題工具）

•3 ×4＝ 12 （第三階段） 乘法算式是解題工具，也是解題記錄。

•一瓶水２４公升， 3/4 瓶水有多少公升？

•題意是整數乘以分數的問題，不會整數乘以分數也能夠解決問題。 只要瞭解 3/4 瓶的意義，就可以使用整數的乘除法當做工具解決問題，並用算式「２４÷４＝６， ６×３＝１８」記錄解題活動 （第一階段）。

•需要引入整數乘以分數的摘要記錄 「２４×3/4＝１８」嗎？

•這類問題不是經常出現，只要能夠成功解題即可，不需要將「整數乘以分數」發展成解題的工具。

•如果這類問題經常出現，才需要引入摘要記錄「２４×3/4＝１８ 」（第二階段）

•引入摘要記錄 24×3/4＝ 18 以後 ,　可以透過經常使用或約分及擴分策略，將記錄轉換成有效率的解題工具（第三階段）。

• 將問題中的兩個數字直接運算，是最有效率的解題策略。

•１百萬元存在銀行，年利率 5％，１０年後本利和（複利）多少元？

• 會乘法就能夠解決問題。 •可以透過「 100 萬 x 1.1 x 1.1…. 算出答案（第一階段）。

•需要發展出更有效率的解題工具　 或較簡單的記法嗎？

•需要引入指數的記法嗎？ •1.1×1.1×1.1 x….1.1 ＝ 1.1 （十次方）

•需要提升解題策略或發展出新的解題工具嗎 ?

• 對客戶而言，很久才算一次本利和，沒有發展指數記法的需求 ,也沒有將指數發展成解題工具的需求。

• 對銀行行員而言，面對不同的利率、存款年數，以及大量的客戶，自然會發展出指數的記法，以及編寫出指數表協助解決問題。

• 指數問題容易背誦嗎？　　　　　指數問題容易運算嗎？　　　　　日常生活中經常使用指數嗎？

• 因為指數不易記憶 ,也不好運算 ,　因此編寫指數表方便查閱。

• 64 年課程 , 82 年課程 , 九年一貫課程 , 94 年要實施的課程的探討與展望 :

• 與國小數學課程編排有關的問題：

•引入加、減、乘、除等運算時， 應該「只學習唯一算則」？　 或「先接受學童法，等待認知發展成熟後才引入算則」？

•學童法：學童自己發展出來的解題策略。

•算則：某年代、某地區，大多數人所使用最有效率的解題策略。

當計算器具使用不方便且不普遍時•將學童訓練成會走路的計算機 , 算的又快 ,又準 ,又狠。

•當計算器具使用方便且普遍時•遇到大數字時使用計算器具 ,但是當沒有計算器具時 ,也能夠慢慢的算出答案。

•算則引入的方式

•學童能掌握計算流程的意義 ,並能類推到大數字的計算 ,但是無法說清楚為什麼可以這樣算出答案。

•學童能理解計算的意義 ,清楚的說出為什麼可以這樣算出答案 ,並能類推到大數字的計算。

•學童至少能掌握一種計算的方法(學童法 ), 至於算則 , 能掌握計算流程的意義 ,並能類推到大數字的計算就可以了。

•應該提供學童理解算則的機會 , 如果無法理解 ,也不必強求。

•引入記錄格式時，應該「直接要求成人使用最精簡的紀錄格式」？ 　或「先要求較詳細的紀錄，等待學童掌握細部解題活動後，才接受較摘要的紀錄」 ？

• 1

• 38 38 467 467

• +25 +25 x 3 x 3

• 63 13 1401 21

• + 5 18

• 63 + 12

• 1401

• 47x69=( )

• 引入數學概念或工具時，應該 「直接定義數學符號或直接引入公式，再說明其意義」？ 或「先有相關的解題活動後，再引入數學符號，或幫助學童自己發現公式」？

• 「建立數學概念與工具」，「應用數學概念或工具解決問題」都很重要，國小數學課程教學時數有限，時數的比例應如何分配？

• 「數學學習態度」與「數學學習成就」都很重要，國小數學課程如何幫助學童建立「數學學習態度」？可以提供多少比例的時間？

•剛開始要解決一個新數學問題時 ,我常不知道怎麼辦 因為

•甲生 : 還沒教過（是）•乙生：我美題都會（不是）

•先選（是）（不是）（不確定）

• 我喜歡數學　　　　　　　　　　　　　　因為

•甲生 :數學在日常生活中可以用到（是）

•乙生：數學很簡單（是）

• 我喜歡困難的數學問題　　　　　因為

•甲生 :可以挑戰比較困難的題目（是）

•乙生：困難的數學提我不會算　（不是） 　　　　　　　　　　

•問題真的很困難 ,我就放棄　　　　因為

•甲生 : 越逃避就越困難（不是）•乙生：困難的題目我會的就不會放　　　　棄（不確定）　　　　　　　　　　　　

• 數學在生活中是有用的　　　　　因為

•甲生 :例如買東西時是用的到的（是）

•乙生：要算＋ -×÷比較方便（是）

• 我比較喜歡自己做數學　　　　（比較不喜歡和同學一起做）　　因為

•甲生 :比較安靜（是）•乙生：我喜歡自己一個人做　　（不是）

• 我以前比較喜歡數學　　　　　（現在比較不喜歡）　　　　　　因為

•甲生 :以前的題目比較簡單（是）•乙生：我喜歡數學（不是）

•我比較喜歡每一次作業都是同一種類型 , 不喜歡很多種類型混雜在一起　　　　　　　　　　　　　　因為

•甲生 :很可能會搞混（是）•乙生：我喜歡各種算式（不是）

• 我的數學表現良好　　　　　　　因為

•甲生 :有些題目比較難（不確定）•乙生：老師出的數學題我每題都寫（不確定）

• 國小階段有需要引入計算機嗎？何時引入較恰當？

• 學童不理解算則的意義，但是能模仿成人依序算出答案，和按計算器解題有何不同？

• 與數學教學態度或學習態度有關的問題。

• 你瞭解學童數與計算概念、幾何概念、代數概念、統計概念等的認知發展嗎？

• 就數與計算教材為例，你只熟悉部份的教材（例如三、四年級），還是熟悉一系列的教材（例如一至九年級）？

• 會算國小數學問題，就一定能勝任國小數學的教學嗎？

• 為什麼經過教師與家長六年（或九年）努力教學後，一半以上的學童放棄數學？

• 你幫助學童學習數學的方式，是害了他，或是對他有幫助？

• 數學一定要教過才會嗎？• 如果數學一定要家長或老師教過才會，有多少比例的學生會青出於藍？如果多數學生無法青出於藍而勝於藍，臺灣學生的數學能力，會一代比一代強嗎？

• 如果學生只是用力地模仿成人的解題活動，而無法掌握數學的意義，數學成績好的學生是數學能力強？還是體察上意（老師、家長）的能力強？

• 國際性的數學比賽，臺灣的學生常名列前茅，除了數學競賽以外，臺灣學生是年齡愈大，成積愈好，還是年齡愈大，成積愈差？

• 臺灣的學生，是數學成績很好，還是數學能力很好？是很會考試（做過的難題才會），還是數學概念很清楚（沒看過的題型也會）？

• 數學成績很好，但是數學能力不好、數學概念不清楚，這種事情怎麼可能會發生？

•國小階段，「數學成就很好，但是數學學習態度有偏差」，與「數學成就普通，但是養成良好的數學學習態度」，那一種學童以後的數學成就會比較好？

• 當你詢問學童問題時，你提供多少等待回答的時間，如果我們經常常要求學童３、５秒就要回答問題，又罵學童不會思考，合理嗎？

• 成人較能掌握國小數學，常涉入教學，並提供一些有效率，但學童不瞭解的解題怪招（只知其然，而不知其所以然的公式或口訣）；熟記這些，學童可能會得到數學成績，但是，是否同時得到放棄數學的種子（小贏而大輸）？

• 以前學過的數學，你還記得多少？給你足夠的時間思考，你能回想起多少？

• 九年一貫課程強調終身學習，就數學而言，你會終身學習嗎？

• 求學階段，多數人花在數學學習上的時間最多，為什麼討厭數學的人也最多？