Применение графического метода для решения различных математических задач

Учитель гимназии №3

Шахова Т. А.

Задача

Два джентльмена одновременно отправились на прогулку по аллее длиной 100 метров. Мистер Смит за час проходит 1 км, мистер Джонс идёт помедленнее - всего 600 метров в час. Дойдя до конца аллеи, каждый поворачивает и с прежней скоростью идёт обратно. Встречаясь, они каждый раз раскланиваются. Сколько раз они раскланиваются на протяжении первых 25 минут? Сколько времени из этих 25 минут они шли в одном направлении?

Графический способ Vc=1000/60= =100/6 м/мин Tc=100/(100/6)= =6 мин

VД= 600/60= =10 м/мин TД =100= =10 мин

Задача №2. Решите неравенство:

О. Д. З.

1)

2)

Построим графики правой и левой частей неравенства:

Предполагаемый ответ:

x

)x2(log1

1x2

6 2

2х,2

1x,0x

)0х();x2(log11x2

х62

)0х();x2(log11x2

х62

)x2(log1у

)21

х(2

33

1x2

х6у

22

1

)0;2

1(x

1) Пусть -2 < х < -1/2, тогда 6х / (2х + 1) = 3 – 3 / (2х + 1) > 3 > 1 + log22 > 1 + log2(2 + х), т.е. неравенство не выполнено 2) Пусть -1/2 < х < 0, тогда 6х / (2х + 1) < 0 < 1 + log2(2 – 1/2 ) < 1 + log2(2 + х), т.е. неравенство выполнено

3) Пусть 0 < х ≤ 1, тогда 6х / (2х + 1) = 3 – 3 / (2х + 1) ≤ 3 – 3/3 = 2 < 1 + log2(2 + х), неравенство не выполнено 4) Пусть 1 < х ≤ 2, тогда 6х / (2х + 1) = 3 – 3 / (2х + 1) ≤ 3 – 3/5 < 1 + log23 < 1 + log2(2 + х), (т.к. 27 = 128 < 243 = 35 = > 7 < 5 log23 = > 12/5 < 1 + log23), т.е. неравенство не выполнено.

5)Пусть х > 2, тогда

6х / (2х + 1) = 3 – 3 / (2х + 1) < 3 = log2 х < 1 + log2(2 + х), неравенство не выполнено.

верноравенство4

1хпри

верноравенство2

1хпри

Задача №3. Верно ли, что уравнениеимеет один корень?

Ответ: нет.

x

161 )

16

1(xlog

Не верь глазам своим?

Графический метод требует подкрепления

аналитическими доказательствами

.a5

3y

b5

3x

25ba 22

Выражение представляет собой скалярное произведение вектора и

вектора ,

имеющего абсолютную величину ,

поэтому принимает наибольшее значение,

когда .

Задача №4. Среди всех решений системы

найти такие, при которых выражение х+а принимает наибольшее значение.

35yaxb25ba3yx

2222

y;xOZz

b;aOCc

1;5

3ODd

35cz

5c

3z

COZcoscecz

яютудовлетворсистемеисходнойcz1COZcosНо

значениятетолько,те :выполненокоторыхдля,b,a,y,x

ab5

3ax

c

1;5

3ODd

5

28

CODcos5

285dcax

dc

D.COZcos3535

Ответ:

28

35

28

25

5

3y

28

3

28

35

5

3x

28

355

5

28:

5

3b

28

255

5

28:1a

Задача №5 Из города В в город А в 5ч 30мин вылетел самолет. В 8ч 30 мин из А в В вылетел вертолет. Скорость самолета и вертолета на всем пути постоянные и они летят по одной трассе. После их встречи вертолет прибыл в В через 9ч, а самолет прибыл в А через 2ч. Найти время прибытия самолета в город А.

Направим координатную ось от

А к В с началом в А. Отсчет времени производим от

момента вылета самолета.

Изобразим зависимости х(t) самолета (BD) и вертолета (EN).

A E

NB

D

C

3 p

M

K

p3 9

2

∆CEK~∆CNM, ∆CDK~∆CBM

Положительный корень p=3 самолет прибудет в А через 8 часов.

Ответ: 13ч 30мин.

BM

KD

CM

CK

MN

EK

018p3pp3

2

9

p 2

Задача №6 На стоянке находятся машины марок “Москвич”и “Волга. Общее их число менее 30”. Если увеличить вдвое число “Волг”, а число “Москвичей ” увеличить на 27, то “Волг” станет больше. Если увеличить вдвое число “Москвичей”, не изменяя числа “Волг”, то “Москвичей” станет больше. Сколько “Москвичей” и сколько “Волг” находится на стоянке”?

Решение: Пусть х - “Москвичей” и у - “Волг” находится на стоянке.

Запишем условие задачи:

yx227xx230yx

x30y

x2y

5,13x2

1y

yx227xx230yx

x30y

5,13x2

1y

x2y

Ответ: 10 “Москвичей и 19 “Волг”

Задача №6. Решите неравенство:

Решение: О.Д.З.

Преобразуем:

В соответствие с О. Д. З. умножим на выражениеобе части неравенства. Получим или

Решим систему неравенств:

2a23xlog1axlog22

14

0a23x

01ах

2a23xlog21axlog2 44

1a23xlog1axlog 44

4loga23x

1axlog 44

4a23x

1ax

a23x a23x41ax

.013a7x3

013a7x30a23x01ax

Ответ:

1ax

3a2x

313a7x

3a2x3

13a7x

1ax

нетрешений,4;a

3

13a7;3a2x,;4a

Задача №6. При каких значениях параметра ауравнение имеет три различных корня?

Перепишем исходное уравнение

Рассмотрим функции и

Рассмотрев четыре случая, последнюю функцию можно

переписать в виде:

0ax2xx1x 22

ax)x(g 2xx1x)x(f 22

ax2xx1x 22

2xx1x)x(f 22 2x1x1x1x)x(f

1xèëè2xïðè,3xx21x1ïðè,3xx2

2x1ïðè,1x)x(f

2

2

График g(x)=x+a семейство прямых, имеющих

угол наклона к оси Ох и

пересекающих ось Оу в точке с координатой (0;а).

Заключаем, что три указанные точки можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции

Ответ: а=3

2x1ïðè,1x1x1ïðè,3xx2

1xèëè2xïðè,3xx2)x(f 2

2

4

3xx2)x(h 2

0x11x4)x(h

3a3)0(h