コンピュータ基礎演習　ー探索、整列ー

コンピュータ基礎演習　ー探索、整列ー

岩井　儀雄[email protected]

線形探索と二分探索線形探索法 (linear search)

データを最初から順番に探索する例） {2, 4, 5, 8, 9, 11, 6, 7, 15, 20} から 15 を探す　最初の要素から始めて９回目→計算量 O(n)

二分探索法 (binary search) データをあらかじめソートしておき，中央の要素から

検索する．

二分探索 (binary search) {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 15, 20} から 15を探す

{2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 15, 20}１回目


{2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 15, 20}２回目


{2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 15, 20}

探索回数　３回計算量　　 log2(n) O(log n)

３回目

整列 (sort) 内部整列 (internal sort)

主記憶上で行う整列外部整列 (external sort)

外部記憶装置（テープ等）上で行う

整列アルゴリズムの優劣→比較回数と交換回数の大小

安定な整列 (stable sort) 同じ値を持つデータ間の順序関係が整

列の前後で保たれている

例）整列前： 7 9 5A 4 8 5B 2　　整列後： 2 4 5A 5B 7 8 9 　（安定）　　整列後： 2 4 5B 5A 7 8 9 　（不安定）

単純な整列（バブルソート）配列の後ろから先頭に向かって走査し，もし隣り合う二つ

の要素の大小関係が逆であったら入れ替える

整列前　 20 6 55 74 3 45 13 87 46 30１回目

比較



１回目　 20 6 55 74 3 45 13 87 30 46

入替



１回目　 20 6 55 74 3 45 13 87 30 46

比較



１回目　 20 6 55 74 3 45 13 30 87 46

入替



１回目　 20 6 55 74 3 45 13 30 87 46

比較



１回目　 20 6 55 74 3 13 45 30 87 46

入替



１回目　 20 6 55 74 3 13 45 30 87 46

比較



１回目　 20 6 55 74 3 13 45 30 87 46　　　　 20 6 55 3 74 13 45 30 87 46 20 6 3 55 74 13 45 30 87 46 20 3 6 55 74 13 45 30 87 46 3 20 6 55 74 13 45 30 87 46



２回目　 3 20 6 55 74 13 45 30 87 46　　　　 46 87 30 46 30 45 13 30 13 74 13 55 6 13 6 20



２回目　 3 6 20 13 55 74 30 45 46 87３回目 3 6 13 20 30 55 74 45 46 87４回目 3 6 13 20 30 45 55 74 46 87５回目 3 6 13 20 30 45 46 55 74 87６回目 3 6 13 20 30 45 46 55 74 87７回目 3 6 13 20 30 45 46 55 74 87８回目　 3 6 13 20 30 45 46 55 74 87９回目　 3 6 13 20 30 45 46 55 74 87

バブルソート（疑似コード）

for (i←0..n-1) for (j←n-1..i) if !(a[j-1] ≦ a[j]) swap(a[j-1],a[j])

整列アルゴリズムが満たす事後条件 i,j[i < j] a[i] a[ j]

計算量は O(n2)

右辺値の交換

バブルソート（Ｃ言語）

for (i←0..n-1) for (j←n-1..i) if !(a[j-1] ≦ a[j]) swap(a[j-1],a[j])

void bubble_sort(int a[],int n) { int I,j,t; for (int I=0; I<n-1; ++I) for (int j=n-1; j>I; --j) if (a[j-1] > a[j]) { t = a[j]; a[j] = a[j-1]; a[j-1] = t; }}

swap(a[j-1],a[j]) に相当する

単純な整列（選択ソート）未整列部分から最小の要素を選び出し，それを未整

列部分の先頭と入れ替える

整列アルゴリズムが満たす事後条件 i,j[i < j] a[i] a[ j]

a[0] a[1] a[i –1] a[i] a[n –1]整列済未整列部分

未整列部分から最小値を取り出し続けると下記の条件を満たす

選択ソート

整列前　 20 6 55 74 3 45 13 87 46 30１回目

入替

選択ソート

整列前　 20 6 55 74 3 45 13 87 46 30１回目 3 6 55 74 20 45 13 87 46 30

選択ソート

整列前　 20 6 55 74 3 45 13 87 46 30１回目 3 6 55 74 20 45 13 87 46 30２回目 3 6 55 74 20 45 13 87 46 30

入替

選択ソート

整列前　 20 6 55 74 3 45 13 87 46 30１回目 3 6 55 74 20 45 13 87 46 30２回目 3 6 55 74 20 45 13 87 46 30３回目　 3 6 13 74 20 45 55 87 46 30４回目　 3 6 13 20 74 45 55 87 46 30５回目　 3 6 13 20 30 45 55 87 46 74６回目　 3 6 13 20 30 45 55 87 46 74７回目　 3 6 13 20 30 45 46 87 55 74８回目　 3 6 13 20 30 45 46 55 87 74９回目　 3 6 13 20 30 45 46 55 74 87

選択ソート（疑似コード）

for (i←0..n-2) lowest←argmin(a[j]) i<j<n swap(a[i],a[lowest])

選択ソート（Ｃ言語）

void selection_sort(int a[],int n) { int i,j,t,lowest,lowval; for (i = 0; i<n-1; ++i) { lowest = i; lowval = a[i]; for (j = i+1; j < n; ++j) if (a[j] < lowval) { lowval = a[j]; lowest = j; } t = a[I]; a[I] = a[lowest]; a[lowest] = t; }}

argmin の計算部分

選択ソートの計算量ループ n 回， argmin の計算量 O(n) 選択ソートの計算量は O(n2)

単純な整列（挿入ソート）配列の一部分が整列済みの時に，残りの要素

を一つずつ整列済みの中に挿入する整列前　 20 6 55 74 3 45 13 87 46 30１回目　 6 20 55 74 3 45 13 87 46 30２回目 6 20 55 74 3 45 13 87 46 30３回目　 6 20 55 74 3 45 13 87 46 30４回目　 3 6 20 55 74 45 13 87 46 30５回目　 3 6 20 45 55 74 13 87 46 30６回目　 3 6 13 20 45 55 74 87 46 30７回目　 3 6 13 20 45 55 74 87 46 30８回目　 3 6 13 20 45 46 55 74 87 30９回目　 3 6 13 20 30 45 46 55 74 87

挿入ソート（疑似コード）

for (i←0..n-1) j←i while (! (a[j-1] ≦ a[j]) ) swap( a[j-1], a[j] ) j←j-1

計算量：外側ループ O(n) 内側ループ O(n)合計：　 O(n2)

コンピュータ基礎演習　ー計算量ー


計算量 (complexity) 時間計算量 (time complexity)

アルゴリズムがデータに対してどれくらい時間がかかるかを示す

空間計算量 (space complexity) アルゴリズムがデータに対してどれくらい記憶領域を必要

とするかを示す

時間計算量と空間計算量はトレードオフの関係にあることが多い

計算機にとって記憶資源は潤沢にあるので，通常時間計算量の方が重きを置かれることが多い

オーダー記法Ｏ計算量 T(n) の上界値を評価するとき， O(f

(n)) という記法を用い，オーダー f(n) と読む．

ある正定数 c と n0 が存在して， n0以上の n に対して，常に T(n) ≦cf(n) が成立するという意味n0 の役割は有限個の例外を許すことにある．

c,n0 c > 0, n n0 T(n) cf (n)

オーダー記法 Ω 計算量の下界値のオーダーを表すには，

記法 Ωを用いる． T(n)=Ω(f(n)) とは，

cn T(n) cf (n)

計算量とオーダ表記の関係

n

計算量

計算量の下界Ω

計算量の上界 O実際の計算量

有限個の例外は OK

n0

オーダーの演算 T1 = O( f (n)), T2 = O(g(n))

T1 + T2 = O(max( f (n),g(n)))T1 T2 = O( f (n) g(n))

例） T1 = O(n2), T2 = O(n3)T1 + T2 = O(n3)T1 T2 = O(n5)

最悪計算量と平均計算量同じアルゴリズムでも入力するデータに応じ

て計算量が変化する．そこで，客観的に測定し評価する必要がある．

最悪計算量 worst case complexity 全ての入力パターンに対して最大の計算量を要す

るものに基づいて定める平均計算量 average complexity

全ての入力パターンとその入力の生起確率に基づいて計算量の平均を求める

コンピュータ基礎演習　ー再帰ー


再帰再帰的 (recursive) な構造とは，自分自身 (n次 ) を定義するのに，自分自身より 1次低い集合 (n-1次 ) を用い，さらにその部分集合は，より低次の部分集合を用いて定義するということを繰り返す構造．このような構造を一般的に再帰 (recursion) と呼ぶ．

再帰数学ではいろいろな概念を再帰的に定義している．

a1,a2,例）数列 a1 = 1

an = an – 1 + 2n – 1

再帰呼び出し関数の中で自分自身を関数として呼び

出すこと

int A(int n) { if (n == 1) return 1; /* 再帰呼び出しの停止条件 */ else return A(n-1)+2*n-1;}

a1,a2,例）数列 a1 = 1

an = an – 1 + 2n – 1

再帰呼び出し例階乗 (n!) の計算プログラム

f0 = 1fn = n fn – 1

#include <stdio.h>int factorial(int n) { if (n == 0) return 1; else return n*factorial(n-1);}int main() { int n; for (n=0; n<10; ++n) printf( “ %2d! = %d\n”, n, factorial(n) ); return 0;}

階乗 (n!) の計算実行例 0! = 1 1! = 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = 120 6! = 720 7! = 5040 8! = 40320 9! = 362880

10! = 3628800 11! = 39916800 12! = 479001600 13! = 1932053504 14! = 1278945280 15! = 2004310016 16! = 2004189184 17! = -288522240 18! = -898433024 19! = 109641728

実行： PowerBook G4, MacOS X 10.2.5, gcc 3.1

演算結果が正しくない13! = 622702080014! = 8717829120015! = 130767436800016! = 2092278988800017! = 355568742809600018! = 6402373705728000019! = ？

int が 32ビットなら，正の数は231 = 2147483648までしか表現できない

演習課題フィボナッチ数列を再帰を用いて求める

f1 = f2 = 1fn = fn – 1 + fn – 2

#include <stdio.h>int fibonacci(int n) { if (n == 1 || n == 2) return 1; else return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);}int main() { int n; for (n=0; n<20; ++n) printf( “ %2d! = %d\n”, n, fibonacci(n) ); return 0;}

コンピュータ基礎演習　ーリスト構造ー


ADT Stack (スタック ) データの集まり一番上の要素しか操作できないイメージ的には物を上に積んだ状態

スタックに可能な操作・一番上の要素の値を見る (top)・一番上の要素を取り除く (pop)・上に要素を積む (push)・スタックが空？ (isEmpty)・スタックの要素数 (size)

ADT Queue(待ち行列）データの集まり要素の挿入，削除が端でしかできないイメージ的には人の待ち行列

待ち行列の先頭

ADT Stack, ADT Queue の実装前回は配列を使って実装した今回はリスト構造を使って実装する

→まずはリスト構造について

リスト構造連結リスト循環リスト双方向リスト

連結リスト (Linked list) データの集まりデータが一覧表（リスト）のように連なっている構造連なりの表現には効率のため，ポインタが用いられることが多いもちろん，配列とインデックスでも実装できる（リスト容量が制限）

データデータデータ

DATA[0] DATA[1] DATA[2] … DATA[N]

データ未使用データ … データ

IDX[0] IDX[1] IDX[2] … IDX[N]

2 -1 N … EOD

連結リストの操作要素の挿入 (insert) 要素の削除 (erase) リストの連結（ concatenate ）リストの分断 (split) 要素の探索 (find) 空リストの生成 (create) 要素数 (size) 先頭要素を見る (front) 最後尾要素を見る (tail)

連結リストの操作要素の挿入 (insert)

指定された要素の次の位置に要素を挿入する

A C D

B

連結リストの操作要素の削除 (erase)

指定された要素を削除する

A C D

B

連結リストの操作要素の削除 (erase)

指定された要素を削除する

A D

B

連結リストの操作リストの連結 (concatenate)

指定された要素の次の位置にリストを連結する

A E F

B D

連結リストの操作リストの分断 (split)

指定された要素の次の位置からリストを分断する

A E F

B D

連結リストの操作要素の探索 (find)

指定された値を持つ要素の位置を返す

A B D

B

連結リストの操作空リストの生成 (create)

要素のないリストなぜ必要か？

要素をすべて削除したり，分断で空になったりするどう表す？

ヘッダを付加して表現ヘッダのみの場合は空リストとして扱う

A B D

header

構造体とポインタを用いた連結リストの実装

構造体を利用する利点データと次のデータへのポインタが同時に管理できる

ポインタを利用する利点ヒープ領域を利用して動的にメモリを使用できる固定のサイズに依存しない要素の位置指定に利用できる

struct CELL { struct CELL *next; /* 次のデータへのポインタ */ DATATYPE data; /* 格納されるデータ */};

構造体とポインタを用いた連結リストの実装空リストの生成 (create)

ヘッダを作成して初期化する

struct CELL myList; /* List を表すヘッダ変数 */myList.next = NULL; /* 空を示す */myList.data = 0; /* header の data は使用されないが，　　　　　　　　一応 int 型として話を進める */

リストの生成はよく使う＆要素の生成にも利用できるので関数にする

構造体とポインタを用いた連結リストの実装空リスト ( 要素 ) の生成 (create)

ヘッダを作成して初期化する作成したヘッダをポインタとして返す

struct CELL *create(DATATYPE data) { struct CELL *p = (struct CELL*)malloc(sizeof(struct CELL)); p->next = NULL; p->data = data; return p;}

struct CELL の格納領域をヒープ領域に確保する

空リスト（要素）生成の実装（Ｃ言語）

struct CELL *create(DATATYPE data) { struct CELL *p = (struct CELL*)malloc(sizeof(struct CELL)); p->next = NULL; p->data = data; return p;}

struct CELL の格納領域をヒープ領域に確保する

間違ったコーディング例）struct CELL *create(DATATYPE data) { struct CELL p; /* 局所変数 */ p.next = NULL; p.data = data; return &p; /* 関数からでた途端に局所変数は有効でなくなる */}

要素挿入の実装指定された要素の次の位置に挿入する

要素の指定にはポインタを利用する挿入する要素もポインタで指定する

void insert( struct CELL *pos, struct CELL *val ) { val->next = pos->next; pos->next = val;}

BA

posval

C

要素削除の実装指定された要素の次を削除する

要素の指定にはポインタを利用する削除された要素のポインタを返す

struct CELL *erase( struct CELL *pos ) { struct CELL *p = pos->next; if (p != NULL) { pos->next = p->next; p->next = NULL; } return p;}

BA

pos

C

要素削除の実装指定された要素の次を削除する

要素の指定にはポインタを利用する削除された要素のポインタを返す

struct CELL *erase( struct CELL *pos ) { struct CELL *p = pos->next; if (p != NULL) { pos->next = p->next; p->next = NULL; } return p;}

BA

pos

C

p

最後尾要素を見る (tail)

A B

header

リストの最後尾を返す

tail の実装

A B

header


struct CELL *tail( struct CELL *pos ) { while (pos->next != NULL) pos = pos->next; return pos;}

pos

tail の実装

A B

header


struct CELL *tail( struct CELL *pos ) { while (pos->next != NULL) pos = pos->next; return pos;}

リスト連結の実装二つのリストのヘッダを渡す連結されたヘッダを返す

A B

D

header

C

struct CELL *concatenate( struct CELL *L1, struct CELL *L2 );


A B

D

header

C

struct CELL *concatenate( struct CELL *L1, struct CELL *L2 ) {struct CELL *p = tail( L1 );insert( p, L2->next ); L2->next = NULL;return L1;

};

L1

L2


A B

D

header

C

struct CELL *concatenate( struct CELL *L1, struct CELL *L2 ) {struct CELL *p = tail( L1 );insert( p, L2->next ); L2->next = NULL;return L1;

};

L1

L2

p

要素探索の実装要素を比較し等価な要素を探索最初に見つかった要素の位置を返すなければ NULL を返す

struct CELL *find( struct CELL *p, DATATYPE val );

A B

headerp

C

要素探索の実装要素を比較し等価な要素を探索最初に見つかった要素の位置を返すなければ NULL を返す

struct CELL *find( struct CELL *p, DATATYPE val ) {p = p->next;while (p != NULL)

if (isEqual(p.data, val)) return p; else p = p->next;return p;

}

A B

headerp

C

等価判定関数 isEqual の実装等価判定

二つのデータが等しいかどうか演算子 = は基本データ型にしか利用できない

DATATYPE の中身で等価判定関数は異なる（実装，設計により異なる）

等価とはどういうことか定義が必要

int isEqual(DATATYPE d1, DATATYPE d2); d1 と d2 が等価ならば !0 そうでないならば 0 を返す

循環リスト

A B

header

C

連結リスト linked list

循環リスト circular list

A B

header

C

後ろに移動し続ければ，先頭に戻れる

循環リストの特徴と目的環状に並んだデータ構造を表現要素を結び合わせるポインタをたどれば，循環リストに含まれる全要素を順番に処理できる

厳密には「最初」と「最後」の要素というものは存在しない

循環リストの操作要素の挿入・削除

連結リストの場合と同様要素の追跡 (trace)

基本的に連結リストと同様最後尾が NULLでは判定できないので工夫

が必要→追跡を開始した要素に到達したら終了

要素追跡の実装例

struct CELL *p, *ptr; /* 追跡用のポインタ変数 */

if (ptr != NULL) { /* 追跡開始点 ptr */p = ptr; /* 追跡開始点を作業用変数 p にコピー */do {

/* p が指すセルの処理 */p = p->next;

} while (p != ptr); /* 開始点まで戻ってきたら終了 */}

変数 ptr が NULL なら，この循環リストは空（要素なし）なので何もしない．リストが空でないなら，セルを順番にたどって処理するDo .. While 形式によりループ末尾で終了条件を判断する

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