教学基本要求教学基本要求一、掌握描述磁场的物理量——磁感应强度的

概念，理解它是矢量点函数 .二、理解毕奥－萨伐尔定律，能利用场强叠加

法计算一些简单问题中的磁感应强度 .三、理解稳恒磁场的高斯定理和安培环路定理 .

理解用安培环路定理计算磁感强度的条件和方法 . 四、理解洛伦兹力和安培力的公式 ，能分析电

荷在均匀电场和磁场中的受力和运动 .

第 8 章 真空中的稳恒磁场

1. 电流强度

# 稳恒的含义是指物理量不随时间改变。

# 形成电流的条件：

在导体内有可以自由移动的电荷或叫载流子（如在半导体中载流子有电子或空穴；在金属中是电子；在电解质溶液中是离子）。 在导体内要维持一个电场，或者说在导体两端要存在有电势差。

在导体或电解质溶液中的电流称为传导电流。

一、稳恒电流

+

+++

++

I

S

电流强度定义为通过截面 S 的电荷随时间的变化率

单位 : A ， mA ， A 10mA1 -3

t

qI

d

d

规定正电荷流动的方向为正方向。

μA

SenI dv

为电子的漂移速度大小dv

人类对磁现象的认识已有几千年的历史，我国是最早应用磁现象的国家， 11 世纪北宋的沈括第一次记载了指南针；河北磁县即是因为发现大量的天然磁石而得名。但对磁现象的研究进行得较迟，直到1819 年奥斯特发现电流对磁铁有作用力，才真正弄清电流是产生磁场的根本原因。

磁现象与人们的生产和生活关系密切，在医药学领域也有广泛的应用。

二、安培分子电流假说

1.奥斯特发现电流磁效应 奥斯特基于 （ 1 ）自然哲学思想——自然各种 基本力可以相互转化。 （ 2 ）已发现一些电可能会发生磁 的迹象。 坚信电磁间有联系，并开展电是否能产生磁的研究。

奥斯

特

法国著名生物学家巴斯德在讲述奥斯特的发现时， 说过一句名言： “在观察领域的一切机遇只偏爱有那些准备的头脑。”

1820 年 4 月的一次演讲中，奥斯特偶然发现，把导线与磁针平行放置，导线通电时，在它的下方的小磁针有一微小晃动。他抓住了这个现象，经过 3 个月的反复实验，发现了电流磁效应。揭开了研究电与磁内在联系的序幕。

1820 年 7 月 21日发表题为《关于磁针上的电流碰撞的实验》的论文．奥斯特在报告中讲述了他的实验装置和 60多个实验的结果，从实验总结出：电流的作用仅存在于载流导线的周围；沿着螺纹方向垂直于导线；电流对磁针的作用可以穿过各种不同的介质；作用的强弱决定于介质，也决定于导线到磁针的距离和电流的强弱；铜和其他一些材料做的针不受电流作用；通电的环形导体相当于一个磁针，具有两个磁极，等等 .

2. 安培对电流磁效应的深入研究 安培从磁体与磁体、电流与磁体相互作用，联想

并发现了通电导线之间有相互作用。并进一步发现了通电螺线管与条形磁铁的等效性。

安培 载流直导线相互作用 载流螺线管与条形磁铁等效

所有磁现象可归纳为：

运动电荷 A

A 的磁场

B 的磁场

产生 作

于用

产 生作于用

运动电荷 B

一切磁现象都起源于运动电荷

8.1 磁场 磁感应强度8.1.1 磁场

x

y

z

o

磁 场

0F

8.1.2 磁感应强度

B

+ v 带电粒子在磁场中运动所受的力与运动方向有关 .

实验发现带电粒子在磁场中沿某一特定直线方向运动时不受力，此直线方向与电荷无关 .

+v

v v

磁感应强度 的定义

磁场：在运动电荷（或电流）周围存在一种特殊物质，当其它运动电荷（或电流）进入其中将受到力的作用。

带电粒子在磁场中沿其他方向运动时 垂直于 与特定直线所组成的平面 .

F

v

当带电粒子在磁场中垂直于此特定直线运动时受力最大 .

FFF

max

vq

Fmax 大小与 无关v,q

磁感强度 的定义：当正电荷垂直于 特定直线运动时，受力 将 方向定义为该点的 的方向 . B

maxF

v

maxF

B

vqF max

单位 特斯拉 mN/A1)T(1

+qv

B

maxF

磁感强度 的定义：当正电荷垂直于特定直线运动时，受力 将 方向定义为该点的 的方向 . B

maxF

v

maxF

B

vq

FB max磁感强度大小

运动电荷在磁场中受力

BqF

v

v

α+q

B

:qv B F

、 和 三者满足右手螺旋关系 F qv B

v

α-q

B

0q

F

F

0q

21/

dqdE

r

比例系数0

1

4k

E dE

21/

sin

Idl

dB r

比例系数 0

4k

B dB

电场分布的一般计算方法 磁场分布的一般计算方法

I

Idl

I

P *

8.2.1 毕奥—萨伐尔定律( 电流元在空间产生的磁场 )

20 sind

π4d

r

lIB

30 d

π4d

r

rlIB

真空磁导率 270 AN10π4

lI

d

B

d

30 d

π4d

r

rlIBB

任意载流导线在点 P 处的磁感强度

磁感强度叠加原理

r

lI

d

r

B

d

8.2 毕奥 - 萨伐尔定律

I

I

02

ˆ

4

Idl rdB

r

Idl

r

dB

为 方向的单位矢量）（其中 r̂ r

毕奥 - 萨伐尔定律

①该定律仅适用于稳恒电流元。

②该定律为实验定律，是由实验数据归纳得出。

③该式中电流元不能在它自身方向上激发磁场。

④其中 为真空磁导率。0μ

7 22

14 10 ( / )o

o

N Ac

讨论

1

2

3

4

5

6

7

8

lI

d

例 判断下列各点磁感强度的方向和大小 .

R

+

+

+

1 、 5 点 ： 0d B

3 、 7 点 ：2

0

π4

dd

R

lIB

02

0 45sinπ4

dd

R

lIB

2 、 4 、 6 、 8 点 ：

30 d

π4d

r

rlIB

毕奥—萨伐尔定律

yx

z

I

P

C

D

oa

*

1. 载流长直导线的磁场

B

d

解2

0 sind

π4d

r

zIB

CD r

zIBB

20 sind

π4d

cot , / sinz a r a 2d d / sinz a

方向均沿 x 轴的负方向

B

d

1

r

8.2.2 毕奥 - 萨伐尔定律的应用

2

2

1

0 sin d4 π

IB

a

z

zd

01 2cos cos

4 π

I

a

（ ）

的方向沿 x 轴的负方向 .B

2

1

0 sin d4 π

IB

a

无限长载流长直导线的磁场 .

π

0

2

1

0

2 π

IB

a

01 2cos cos

4 π

IB

a

（ ）

1

2

P

C

D

yx

z

oI

B

a

I

无限长直线电流的磁场

r

IB

2

0

I

Br

IB

π20

电流与磁感强度成右螺旋关系

半无限长载流长直导线的磁场

r

IBP π4

0

无限长载流长直导线的磁场

r* P

I

oπ2

π

2

1

I

BX

小 ( 大 ) 半无限长载流长直导线的磁场

rI

BP π40

1

2

π

2π

r * P

I

o1

r* P

Io

1

π2

π0

2

1

或 )cos(cos 1

I

x

真空中 , 半径为 R 的载流导线 , 通有电流 I , 称圆电流 . 求其轴线上一点 p 的磁感强度的方向和大小 .

解 根据对称性分析 sindBBB x

20 d

π4d

r

lIB

2. 载流圆线圈轴线上的磁场

r B

d

B

B

lI

d

p

R

o*

x x

R

p*

20 dcos

π4d

r

lIBx

222

cos

xRr

rR

20 d

π4d

r

lIB

o

B

dr

lI

d

cos x xB dB dB

20

32 2 22( )

IR

R x

2 2cos sin

R

R x

20

2 0

cos

4

RIdl

r

μ

02

cos2

4

IR

r

μ

02

cos

4l

Idl

r

μ

Idl

x

2322

20

2 ）（ Rx

IRB

R

IB

20

2 ） 0x

30

3

20

π22 x

ISB

x

IRB

，3 ） Rx

1 ） 的方向不变 ( 和 成右螺旋关系）0x B

I B讨

论

x *B

xoRI

o

（ 2

R

） I

+

R

（ 3 ）

o

I

R

IB

40

0

R

IB

80

0

I

R

o

（ 1）

R

IB

20

0

x0B

（ 4 ） I

22

00

R

IB

Ro

o

I 2R1R

（ 6 ）

*

Ad

（ 5 ）

*

1

0

1

0

2

00 π444 R

I

R

I

R

IB

d

IBA π4

0

[ 例 ] 如下列各图示，求圆心 O 点的磁感应强度。

OI R

O R

I

O

RI

O R

I32

R

IB

40μ

)(2

31

600 R

I

R

IB

π

μμ

R

I

R

IB

π

μμ

200

4

R

IB

80μ

IS

* 磁矩 nISpm

mp

n

3

20

2x

IRB

mp

ISn

3

0

π2 x

pB m

30

π2 x

pm

说明：只有当圆形电流的面积 S很小，或场点距圆电流很远时，才能把圆电流叫做磁偶极子 .

当 时，圆电流磁感强度公式也可写成

Rx

例：无限长均匀载流平面导体薄板，求板中心线上某点磁场

zdy dy

a

IdI

2

r

dIdB

2

0

I

x

y

a2

Bd

r

bP

y

dy dya

IdI

2 r

dy

a

I

r

dIdB

4200

cos

sin

dBdB

dBdB

y

x

y r

o

y

x

+++

+

+

++

++

Bd

Bd 0 xdB

r

bcos 22 ybr

a

a

a

a b

y

a

I

yb

bdy

a

IB

arctg

440

220

b

注意：基本公式 + 叠加原理方法的应用

R

I

o

y

xd

Rddl

+

++

++

++

++

++

++ +

dlR

IdI

Bd

R

dIdB

2

0I

sincos dBdBdBdB yx

Rddl

R

dIdB

2

0

R

I

o

y

xd

+

++

++

++

++

++

++ +

dlR

IdI

Bd

0 xx dBB

dI

dI

dR

IdB

20

2

R

I

R

IBB

yy 20

02

0 dsin2

d

+ + + +++ + + + + + +

pR

+ +

*

3. 载流密绕直螺线管轴线上的磁场

如图所示，有一长为 l , 半径为 R 的载流密绕直螺线管，螺线管的总匝数为 N ，通有电流 I. 设把螺线管放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度 .

2/322

20

2 ）（ Rx

IRB

解 由圆形电流磁场公式

o

xxd

x

o p1x

x2x

+ + + +++ + + + + + ++ + +

2/322

20 d

2d

xR

xInRB

cotRx

2222 cscRxR 2

12/322

20 d

2d

x

x xR

xRnIBB

dcscd 2Rx

2

1

dsin20

nI

2

1 dcsc

dcsc

2 33

230

R

RnIB

2

1

n 指单位长度上的线圈匝数

(1) 无限长的螺线管

nIB 02

1

（ 2 ）半无限长螺线管0,

2

π21 由 代入0,π 21

nI02

1

x

B nI0

O

nIB 0

120 coscos2

nIB 讨 论

+q

r

8.2.3 运动电荷的磁场

30 d

π4d

r

rlIB

毕— 萨定律

d dI l nS lq

v

30 d

π4d

r

rlqnSB

vlnSN dd

30

π4d

d

r

rq

N

BB

v运动电荷的磁场

实用条件 cv

+ B

v

v

r

B

S

j

ld

q

Ro

解法一 圆电流的磁场

rrrrI ddπ2π2

d

rr

IB d

22

dd 00

B

,0 向外

例 半径 为 的带电薄圆盘的电荷面密度为 , 并以角速度 绕通过盘心垂直于盘面的轴转动 ，求圆盘中心的磁感强度 .

R

r

rd

2d

20

0

0 RrB

R ,0 向内B

解法二 运动电荷的磁场

20

0

d

π4d

r

qB

v

rrq dπ2d

rv

rB d2

d 0

2d

20

0

0 RrB

R

Ror

rd