•　　數學評量

•國立臺南師範學院數學教育系•　　　　謝　　堅

•為什麼學校考試的試題，絕大多數都是我們 (或學童 )熟悉的題目？

•為什麼老師們不喜歡出沒有見過(或不常見到 )的題目 ?

• 沒有見過的題目，漂亮的題目， 是怎麼冒出來的？

•困難，但是算過的題目。• 簡單，但是沒有看過的題目。• 簡單，但是文字描述很長的題目。

•那些是學童無法得分的題目 ?•為什麼學童害怕這些簡單的題目 ?

• 如果要你命一份紙筆測驗，你會注意那些事項 ?

•你如何命一份紙筆測驗 ?

• 參考課本、 習作、參考書的例題及習題，或參考書局光碟的題庫、 考古題等題目，再透過改數字，改情境， 轉化題型（填充題 改成選擇題）等方式命題。

• 不參考任何試題 ( 或者只是純參考， 但是不使用 ) ，依據考試範圍的教學目標、重要的數學概念、上課時學童混淆的教材以及重點教材，憑空想題目。

• 為什麼以前高中或大學聯考數學科的考題，讓部份大學數學系的教授在規定的時間內，無法答完所有的考題？

•為什麼現在國中升高中的基本學力測驗數學科的考題，所有大學數學系的教授都能在規定的時間內答完所有的考題，而且多數問題不必計算就能夠看到答案 ?

•基本學力測驗的命題方式，和以前聯考的命題方式，有那些改變 ?

•準備數學基本學力測驗與準備以前數學科聯考：

•學童讀書的方式是否要改變 ?•教師教學的方式是否要改變 ?•評量命題的方式是否要改變？

• 課本給一些例子，幫助學童抽象

• 數學概念。 課本給一些例題，幫助學童澄清• 數學概念。 　

課本給一些習題，檢查學童是否• 掌握該數學概念。 　

參考書給一些例題，延伸課本的• 數學概念。 　

參考書給一些習題，檢查該學童• 是否掌握延伸的數學概念。

•以前聯考數學試題，常由課本或參考書的例題或習題為出發點命題。

• 現在基本學測數學科的試題：

• 只要題目和參考書的題目雷同，一定不會變成學測的試題。

•由概念或生活情境直接命題。

• 如果試題以參考書的例題或習題為出發點，一路走來的學生，很容易抓到命題的脈動，不必回溯至原始的數學概念，就可以成功解題。

• 沒有一路走來的教授，必須由原始的概念出發，思考如何解題，因此必須花較多的思考時間，才能夠解題成功。

• 算很多題目，對考試是否有幫助？

• 小範圍的考試 ( 例如月考 )

• vs

• 大範圍的考試 ( 例如基本學測 )

• 由概念出發的考題 • vs

• 由課本或參考書轉化的考題

• 全國統一的教科書• vs

• 一綱多本的教科書

• 如何命一個沒有見過的新題目？

• 由數學概念開始思考：• 由日常生活情境開始尋找：

• 由數學概念開始思考：

• 嘗試創造與生活情境無關，但是可以澄清或延伸數學概念的考題。

• 嘗試尋找生活情境中有那些現象或問題，可以透過數學概念解題。

• 由日常生活情境開始尋找：

• 嘗試在日常生活中尋找有趣或有規律的現象，判斷這些現象可以評量那些數學概念，並將這些現象轉換成考題。

•面對問題「一瓶水 4/5 公升， 3/11 瓶水有多少公升？」時，我們可以透過「分子乘以分子，分母乘以分母」的方式算出答案。

• 請問下面那些人的說法正確？

• 甲說：分母乘以分母，是將 1瓶水 平分成 55等份的意思。

• 乙說：分母乘以分母，是將 1公升平分成 55等份的意思。

• 丙說：分子乘以分子，是算有 12 個 1/55 瓶水的意思。

• 丁說：分子乘以分子，是算有 12個 1/55 公升的水的意思。

•（ 1）甲、丙的說法正確。•（ 2）甲、丁的說法正確。•（ 3）乙、丙的說法正確。•（ 4）乙、丁的說法正確。

• 某特製腳踏車前輪半徑是 20 公分，在腳踏車前輪上（半徑外緣）加裝一個燈泡，讓腳踏車往前行走時燈泡會發光，請將這個燈泡移動的軌跡畫下來。

• 也可以改成選擇題。• 此題是日常生活中可能存在的情境。

•一個邊長是 10 公分的正方體黏土，將這個正方體黏土揉成一個球， 請問下列敘述何者正確？

球的直徑比 10公分長，球的體積是 1000立方公分。

球的直徑比 10公分長，但是球的體積不是 1000立方公分。

球的直徑比 10公分短，球的體積是 1000立方公分。

球的直徑比 10公分短，但是球的體積不是 1000立方公分。

• 有一棵神木，二十個大人手牽著手剛好可以圍繞神木一圈，請問神木的直徑大約是幾公分？

100 公分。 500 公分。 1000 公分。 2000 公分。

• 上體育課或休閒時，你在籃球場打過籃球嗎？估算看看，籃球場的面積大約是這張考卷的多少倍？

• 也可以考教室的面積是這張考卷的多少倍（學童可以同時看到教室與考卷 ) 。

• 數學是為了解決日常生活問題而產生的學問。

•但是數學公式或數學模型無法解決日常生活中所有的問題，它們只能解決在某些限制下（透過定義或約定俗成）所形成的問題。

• 數學概念清楚，才能解決日常生活中的問題。

• 將 7塊蔥油餅平分給 4 個人，全部分完，每個人可以分到多少蔥油餅 ?

•7/4•1+3/4•1+1/2+1/4

•那一個答案比較合理 ?

• 當全國使用同一套數學課本時， 數學問題的題意不清，不會引起太大的困擾，因為大家很容易形成解題的共識。

• 當全國使用多種數學課本時，學測的命題者必須出一些大家沒有見過的數學問題，為了將問題的情境描述清楚，題目會變的很長。

•選擇題命題時應注意事項 :•選項的個數：

•如果涉及統計（量的研究）作業，選項個數最好一致 ) 。

•能產生多少個良好的誘答項，是決定選項個數的重要因素。

• 選項答案出現頻率：

• 採隨機亂數編寫選項• 選項出現的頻率儘量相同• 為了閱卷方便，形成有規律或容易記憶的答案。

• 如何製作合理的誘答項：

• 教師應思考多數學童可能出現錯誤的答案，讓最多數的學童都有答案可以選。

•以 71-25=? 為例•學童可能出現那些答案 ?•標準答案 :46

•錯誤答案 :56,54,51,50,95,44….•那些是學童最發生錯誤機率最大的答案 ?

•『以上皆非』，『以上皆是』， 適合當做選項嗎？

•『以上皆是』最好不要出現。•『以上皆非』應考慮出現的時機。

• 題組：• 併聯型的題組（每個問題都是獨立的，前面的問題不會，不影響後面問題的作答）。

• 串聯型的題組（前面的問題不會或答錯，影響後面問題的作答）。

• 儘量命併聯型的題組。• 什麼情境適合命串聯型的題組？

•時針一小時轉 1大格，分針一小時轉 1 圈，秒針一秒鐘轉 1小格。

•分針 330 秒鐘轉（　）小格？•時針 150分鐘轉（　）大格？ •秒針 1小時轉（　）圈？•（如果答案不是整數，可以使用小數表示，也可以使用分數表示）

•小明和小英玩射飛鏢的遊戲，飛鏢靶上有 1， 3， 5， 7， 9等 5 種分數，小明射了 10支飛鏢都射中鏢靶（每鏢都得到一種分數），得了ａ分，小英射了 10支飛鏢只有9 支射中鏢靶，得了ｂ分，請問下面哪一組答案是可能的得分數？

•（ 1）ａ＝ 56、ｂ＝ 48•（ 2）ａ＝ 56、ｂ＝ 67•（ 3）ａ＝ 57、ｂ＝ 66•（ 4）ａ＝ 57、ｂ＝ 47

•一些例子 :•兩個長方形（任兩邊都不重疊）最多有ａ個交點，兩個圓（不同圓心）最多有ｂ個交點，ａ＋ｂ＝？

•（ 1） 6　 •（ 2） 8 •（ 3） 10　•（ 4） 12

•有一個五邊形，其中四個邊的長度分別是 5、 9、 12、 29 公分，第五個邊的長度是ａ公分。

•甲說：ａ可以是 2 公分。•乙說：ａ可以是 50 公分。•丙說：ａ可以是 70 公分。•請問有多少個人的說法正確？•（ 1）０　　 （ 2）１　　 （ 3）２　 　　（ 4）３

•台灣的面積是 36000 平方公里。在一個比例尺為 50 萬分之一的地圖上，台灣的面積是（　　）平方公尺？

•111111111110÷8547 ＝ 13000012 ....8546

•13000013×6 ＝ 78000078。•請問 78000078×8547 ＝ ( 　）？

•47×147 ＋（ 247 ＋□）×47＝ 23500，

•□＝（　　）？•

•甲工廠現有鋁錠 1047 公斤、連接劑 85公升、鐵線 210 公尺。

•甲工廠要完成一件成品需要用掉鋁錠 23公斤、連接劑 2公升、鐵線5公尺。如果甲工廠要盡量把成品做完，最多可以做甲件成品，剩下鋁錠 a公斤、連接劑 b公升、鐵線c公尺。請問甲＝（　　）？

•a ＋ b＋ c＝（　　）？

•小明以 1 公尺為單位，使用四捨五入法量四條繩子的長度。

•小明量出甲繩長 20 公尺，乙繩長30 公尺，丙繩長 40 公尺，丙繩長50 公尺。

•如果將這４條繩子接起來，再用四捨五入法量一次，繩長可能是幾 公尺？（請寫出所有可能的答案）

•整數甲除以 86的商數是 8.4（四捨五入法取概數到小數第一位），請問甲數可能是多少？

•甲÷37=467……7。•甲÷37=( ) ( 使用四捨五入法，商數算到小數第二位 ) 。

•3點 8分時，分針與時針兩針的夾角是多少度？

•（ 1） 38 度 （ 2） 42 度 •（ 3） 46 度 （ 4） 50 度

•4點到 5點，時針與分針兩針何時成直角？

•ａ、ｂ、ｃ是任意正整數，請問下列敘述何者正確 ?

•ａ÷ｂ×ｃ＝ａ÷（ｂ×ｃ）。•ａ÷ｂ÷ｃ＝ａ÷（ｂ÷ｃ）。•ａ×ｂ÷ｃ＝ａ×（ｂ÷ｃ）。•ａ×ｂ÷ｃ＝ａ÷ｂ×ｃ。

• 甲：乙＝１０：１，• 乙：丙＝１０：１，• 丙：丁＝１０：１，• 丁：戊＝１０：１，• 戊：己＝１０：１，• 己：庚＝１０：１，• 庚：辛＝１０：１，• 辛：任＝１０：１，• 任：葵＝１０：１。

•請問：「甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、任、葵」這十個數的「平均數」大約是「甲」的多少倍？（請選一個最接近的答案）

•（ 1） 100 倍 （ 2） 10 倍　•（ 3） 0.1 倍　 （ 4） 0.01 倍

•接上題，「甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、任、葵」這十個數的「總和」大約是「丁」的多少倍？（請選一個最接近的答案）

•（ 1） 10 倍　 •（ 2） 100 倍•（ 3） 1000 倍　 •（ 4） 10000 倍

•數列 2、 5、 8、 11、 14、… .38（數列中共有 13個數字，後面的數都比前面的數多 3），在這個數列中任選6個數（不可以重複）。

• (1) 這 6個數字的和可能是 138。• (2) 這 6個數字的和可能是 188。• (3) 這 6個數字的和一定是 3的倍數。• (4) 這 6個數字的和一定不會是 11的倍

• 數。

•某年（閏年）的元旦是星期六， 若該年有ａ個月有五個星期天， ａ＝？

•（ 1） 1　 （ 2） 2　•（ 3） 4　 （ 4） 5

•ａ，ｂ都是兩位正整數，甲、乙兩人同時計算「ａ×ｂ」的乘積。

•甲抄錯ａ的十位數字，算出的答案是 984；乙抄錯ａ的個位數字，算出的答案是 1599。

•請問ａ＋ｂ＝？•（ 1） 70 （ 2） 75

•（ 3） 84 （ 4） 133

•有甲、乙、丙、丁四個三角形，這四個三角形有兩個邊的邊長都相等，相等兩邊長分別是 5、 6 公分。

•甲、乙是銳角三角形，甲三角形第三邊長 6 公分，乙三角形第三邊長 7 公分；

•丙、丁是鈍角三角形，丙三角形第三邊長 9 公分，丁三角形第三邊長10 公分。

•(1) 甲三角形的面積比乙三角形的• 面積大。•(2) 甲三角形的面積比乙三角形的• 面積小。•(3) 丙三角形的面積比丁三角形的 • 面積大。•(4) 丙三角形的面積比丁三角形的• 面積小。

•「 3333333333×9999999999 」的積數是一個二十位數的數字，若這個二十位數的二十個數字碼中，有ａ個偶數，請問ａ＝？

•（ 1） 1 　 （ 2） 9　 （ 3） 10　 （ 4） 11

•下列哪一個分數，可以化為有限小數？ （１）一百二十八分之十三 　　（２）七十五分之二 （３）六百分之一　　　　　　　（４）二十四分之十三

•小明早上以相同的速度在路邊散步，他從第１根電線桿走到第 12根電線桿用了 12分鐘，請問小明第 24分鐘時走到那裡？（電線桿間的距離都相等）

•（ 1）第 23根電線桿。•（ 2）第 23根電線桿與第 24根電線

• 桿之間。•（ 3）第 24根電線桿。•（ 4）第 25根電線桿。

•任意五條線段，一定能圍成一個五邊形。

•等邊五邊形一定是等角五邊形，等角五邊形不一定是等邊五邊形。

•等邊五邊形不一定是等角五邊形，等角五邊形一定是等邊五邊形。

•長度是 1， 2， 4， 8， ..， 1024的線段，一定能圍成一個多邊形。

• 在空間，相異兩條線同時和一個平面垂直，這兩條線一定互相平行。

• 在空間，相異兩條線同時和第三條線垂直，這兩條線一定互相平行。

• 相異兩個平面同時和一條直線垂直，這兩個平面一定互相平行。

• 相異兩個平面同時和第三個平面垂直，這兩個平面一定互相平行。

•假設「 9000×9000 ＝ａ， 18 ＋ 17 ＝ｂ， 18×17 ＝ｃ」。

•請問「 9018×9017 」＝？•（１）ａ＋ｃ•（２）ａ＋ｂ×9000 ＋ｃ•（３）ａ＋ｂ×2000 ＋ｃ•（４）ａ＋ｂ×18000 ＋ｃ

•「甲」是一個三位數字，•甲＝ａ５ｂ（假設ａ＝ 3，ｂ＝ 7，甲＝ 357），將「甲」的三個數字頭尾對調，會得到另一個三位數字「乙」，也就是說，乙＝ｂ５ａ。

•如果「甲＋乙＝丙」，請問下列敘述何者「不」成立？

•(1)「丙－１００」一定是１０１ • 的倍數。•(2)「丙－ 100 」一定是（ａ＋ｂ）• 的倍數。•(3)「丙－（ａ＋ｂ）」一定是• １００的倍數。•(4)「丙＋（ａ＋ｂ）」一定是• １０１的倍數。

•１５顆紅球和１２顆藍球合起來重６０公斤（每顆紅球都一樣重，每顆藍球都一樣重），如果１０顆紅球和８顆藍球合起來重「甲」公斤，４ 0顆紅球和３ 2顆藍球合起來重「乙」公斤，請問甲＋乙＝？

•15顆紅球和 12顆藍球重 60 公斤（每顆紅球都一樣重，每顆藍球都一樣重），

•60顆紅球和 48顆藍球重幾公斤？•10顆紅球和 8顆藍球重幾公斤？

•甲、乙、丙是三個相異的正整數，甲×乙×丙＝ 2520，如果甲＋乙＋丙＝ａ，請問ａ的最小值是多少？

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•數學上常使用「！」來記錄連續整數的乘積，例如

•6！＝ 6×5×4×3×2×1，•10！＝ 10×9×8×7×6×5×4×3×2×1。

•如果「甲！」一定是３６０的倍數，請問「甲」最小是多少？

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• 將「 3， 4， 4， 5， 5， 5， 5， 6，7 」這九個數字由小到大依序排列，最中間的那一個數字是「 5」，我們稱「 5」是這九個數字的中位數。小明由「 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 」這七個數字中選了 21個數字（數字可以重複的選，但是每個數字最少要選一次），結果發現這 21個數字的算術平均數，眾數 (眾數只有一個 )及中位數都是「 7」。請問小明最多可以選多少個「 8」？

•甲每天存 76元， 76天後存了「甲」元。 乙每天存 39元， 152天後存了「乙」元。

•丙每天存 39元， 156天後存了「丙」元。 丁每天存 78元， 76天後存了「丁」元。

•戊每天存 78元， 78天後存了「戊」元。 己每天存 38元， 152天後存了「己」元。

•已知「乙」比「甲」多ａ元，•「丙」比「乙」多ｂ元，•「戊」比「己」多ｃ元。

•請問下列敘述何者成立？•（ 1）ｃ＞ｂ＞ａ•（ 2）ｃ＞ａ＞ｂ•（ 3）ｂ＞ｃ＞ａ•（ 4）以上皆非

•已知「 222×33=7326， 6×11=66 」。

•計算「 7326÷66 」的結果會和下列那一個算式計算的結果相同？

•(1)〔（ 222×33）×11〕÷6•(2)〔（ 222×33）÷11〕×6•(3) （ 222÷6）×（ 33÷11）•(4) （ 222÷6）＋（ 33÷11）

•計算「 84000÷120 」的結果會和下列那一個算式計算的結果相同？

•(1)84000÷100 ＋ 84000÷20•(2) （ 84000÷100）÷20•(3)60000÷100 ＋ 24000÷20•(4)60000÷120 ＋ 24000÷120

•超級市場「雞蛋 10個裝成一盒，豆腐3 塊裝成一包」，雞蛋只能整盒的買，豆腐只能整包的買，都不能夠零買。

•超級市場促銷大拍賣，「雞蛋 1盒 20元，特價 3盒 50元」，「豆腐一包 38元，特價 3包 100元」。

•甲校營養午餐至少要買 500盒雞蛋， 370 塊豆腐，請問甲校最少要付多少元？

•水果行買了很多蘋果，如果將 279個蘋果裝成一箱，一共可以裝成 378箱，還剩下 113個蘋果，如果將 93個蘋果裝成一箱，儘量裝完，可以裝成「甲」箱，剩下「乙」個蘋果，請問甲＋乙＝？

•桌上平放著一個時鐘，這個時鐘的分針剛好指向東北方，請問最少經過幾分鐘之後，分針會剛好指向西方？

•一枝原子筆賣 25元，小明買了 24枝（ 2 打）原子筆花了 600元。

•(1) 小花想買 22枝一樣的原子筆，

• 請問小花要付多少錢？•(2) 大花想買 36枝（ 3 打）一樣的原

• 子筆，請問大花要付多少錢？

•「 127830÷6 ＝ 21305 」剛好可以整除。 127834÷6 ＝？

•（使用四捨五入法取概數，商數算到小數第２位）

•１＋３＝２×２•１＋３＋５＝３×３•１＋３＋５＋７＝４×４•１＋３＋５＋ .... ＋１１１＝ ?

•鐵鍊７公尺長重３公斤，甲、乙、丙三家商店都有賣這種鐵鍊。

•甲商店３台尺賣 100元，乙商店１２英吋賣５０元，丙店１公斤賣 200元。

•請問那一間商店賣的最便宜？•（ 1 台尺＝ 30 公分，１英吋＝ 2.54 公分）

•甲是一個兩位數，「甲÷７」的餘數是３，「甲÷１１」的餘數是０，請問「甲÷１５」的餘數是（ ）？

•甲、乙、丙三人各有若干枚一元硬幣，甲將７個硬幣放成一堆時，會剩下５個硬幣，乙將１４個硬幣放成一堆時，會剩下１１個硬幣，丙將２１個硬幣放成一堆時，會剩下１６個硬幣，如果將三個人的硬幣合起來，每７個硬幣放成一堆，儘

•量放完，會剩下（　）個硬幣？

•一籠小籠包有 7個，班親會買了 24籠，吃了 137個，請問還剩下（　）籠（　）個？