第三章 导数
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第三章 导数
3.1.1曲线的切线
问题:曲线的切线是与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线吗?
一 .曲线的切线
β
y=f(x)
P
Q
MΔx
Δy
O x
y
βP
y=f(x)Q
MΔx
Δy
O x
y
如图,曲线 C是函数 y=f(x)的图象, P(x0,y0)是曲线 C上的任意一点, Q(x0+Δx,y0+Δy)为 P邻近一点, PQ为 C的割线,
.tan
,,:
x
y
yMQxMP则
.就是割线的斜率表明:x
y
PM//x轴 ,QM//y轴,β为 PQ的倾斜角 .
P
Q
o x
y y=f(x)
割线
切线T
请看当点 Q沿着曲线逐渐向点 P接近时,割线PQ绕着点 P逐渐转动的情况 .
我们发现 ,当点 Q沿着曲线无限接近点 P,即Δx→0时 ,若割线 PQ有一个极限位置 PT.则我们把直线 PT称为曲线在点 P处的切线 . 设切线的倾斜角为 α,那么当 Δx→0时 ,割线PQ的斜率 ,称为曲线在点 P处的切线的斜率 .
即 :x
xfxxf
x
yk
xx
)()(limlimtan 00
00切线
这个概念 :①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 ;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限 .注:( 1)切线是割线的极限位置,切线的斜率是一个 极限 ( 2)若割线在 P点有极限位置,则在此点有切线 ,且切线是唯一的 ;如不存在 ,则在此点处无切线 ; ( 3)曲线的切线 ,并不一定与曲线只有一个交点 ,可以有多个 ,甚至可以无穷多个 .
( 3)曲线的切线与曲线是否只有一个交点吗?
求曲线上一点的切线的斜率一般可以分为三步:
( 1)求⊿ y;
并整理;求x
y
)2(
;求x
yx
0lim)3(
求曲线在某点处的切线方程:先利用切线的斜率,然后利用点斜式求切线方程 .