מתמטיקה ב' לכלכלנים

1

מתמטיקה ב' לכלכלנים – כלל השרשרת, פונקציות 4שיעור

סתומות, משפט אוילר ופולינום טיילור.תיאוריה

2

כלל השרשרת

. הנוכחי הפרק של ביותר הקשה לחלק הגענוש חשובה הוכחה להכיר לפנינו .עלינו

: במוטיבציה אפוא נפתח

הקירוב בעיות כל את לפתור נוכל ההוכחה לאחר , , ונהיה מעשיות דוגמאות לראשונה נראה ממדיות הרב - נושאי מארבעת אחד מסיום אחד נושא תת רק רחוקים

הקורס!

3

כלל השרשרת - תזכורת

) – ( - שימש הרכבה של נגזרת או ממדי החד השרשרת כלל. הקודם בקורס רבות אותנו

'(:הגדרה א ) בנקודה gתהי מתמטיקה גזירה x0פונקציהבנקודה fותהי גזירה :g(x0)פונקציה אזי

: לחישוב השתמשנו זה ובכלל

)('))(('))'(( xgxgfxgf

dx

xxd 10032 )1(

4

כלל השרשרת

הצבה ללא כזה חישוב לבצע היא שאיפתנו: הבא המשפט לרשותנו עומד כך לשם

בנקודה משפט: החלקיות הנגזרות אםוכן ורציפות קיימות הפונקציה של

הפונקציות בנקודה . t0רציפות

: שווה שהנגזרת מתקיים אזי

.t0בנקודה

))(),(( 00 tytx

)(),( tytx),( yxf

))(),(( tytxft

dt

dy

y

f

dt

dx

x

ftytxf

dt

tdFt

))(),(()(

5

כלל השרשרת: חישובית בהמחשה נתחיל

: השרשרת כלל באמצעות נחשב

23),( yxyxf 2tx tey

dt

yxdf ),(

223),( yxyxf x yxyxf y32),( t

t

t

ey

tx

2

dt

yxdf ),( tytx yfxf teyxtyx 2322 223

ttt eettet 2624 223tett 365 )26(

dt

dy

y

f

dt

dx

x

ftytxf

dt

tdFt

))(),(()(

6

כלל השרשרת - של שיפוע לחישוב חזק כלי הוא ממדי הרב השרשרת כלל

. בעיה על לענות בא והוא מסילה לאורך ממדית רב פונקציהדומה.

: סיפורית המחשה " לנפש" = ג תל כפול האוכלוסיה גודל ג תל

האוכלוסיה – גודל " f(t)נסמן לנפש, ג " g(t)תל ג, תלh(g,f) ttf 02.17000000)( ttg 05.125000)( xyyxh ),(

של – הנגזרת את לחשב כדי .tלפי hהיום להציב עלינו

99

1.099

1012)071.1ln(10175)0(

071.11017505.102.110175))(),((

t

ttt

h

ttytxh

7

כלל השרשרת " לנפש" = ג תל כפול האוכלוסיה גודל ג תל

האוכלוסיה – גודל " f(t)נסמן לנפש, ג " g(t)תל ג, תלh(g,f)

ttf 02.17000000)( ttg 05.125000)( xyyxh ),(

: השרשרת כלל באמצעות שוב tנחשב

dt

tdg05.1)05.1ln(25000

)(

t

dt

tdf02.1)02.1ln(7000000

)(yyxhx ),( xyxhy ),(

999 1012)02.1ln(10175)05.1ln(10175

)02.1ln(7000000)0()05.1ln(25000)0())(),((

gfdt

tftgdht

dt

dy

y

f

dt

dx

x

ftytxf

dt

tdFt

))(),(()(

8

כלל השרשרת הוכחה )לבחינה(שלפנינו הוכחה: ההוכחה

. נוסחא חישוב בעצם היא . בסימנים נפתח

))(),(()( tytxftF

t

yxftytxf

t

tFtF

td

tdFtttt

),())(),((lim

)()(lim

)(

)( 000

00

נשתמש כעתכדי בדיפרנציאביליות

את לנגזרות Fלפרק. חלקיות

t

yxfyxyxftyyxftxyxf yxyx

tt

),()),()(),()(),((lim 00000000

0

0000 )(,)( ytyxtx yytyxxtx 00 )(,)(

ttt 0הגדרה לפי ננסח כעת

. אותה ונפתח הנגזרת אתלתוצאה שנגיע עד

הרצויה.

t

yxyxftyyxftx yxyx

tt

),()(),()(lim 0000

0

איבר לכל גבול נחשבבנפרד.

t

y

t

x

t

yxfty

t

yxftx y

tt

x

tt

y

tt

x

tt

0000

limlim),()(

lim),()(

lim 0000

9

כלל השרשרת הוכחה )לבחינה( הוכחה:

t

y

t

x

t

yxfty

t

yxftx y

tt

x

tt

y

tt

x

tt

0000

limlim),()(

lim),()(

lim 0000

t

yxftx x

tt

),()(lim 00

0 t

yxfty y

tt

),()(lim 00

0 t

x x

tt

0

limt

y y

tt

0

lim

0lim)(0

0 xt

tdt

dx

0lim)(0

0 yt

tdt

dy

. דיפרנציאביליות לפיש .x(t)ומשום גזירה

. דיפרנציאביליות לפיש .y(t)ומשום גזירה

),()( 000 yxftdt

dxx

. דומה באופן

),()( 000 yxftdt

dyy

: כנדרש וקיבלנוdt

dy

y

f

dt

dx

x

f

dt

tdF

)(

Q.E.D

הוכחת הנוסחא לנגזרות כיווניות 10)לבחינה(

: העבר מן חוב לנו יש

:) השרשרת ) כלל באמצעות הוכחה

yx bfafdx

df

dt

btd

dx

df

dt

atd

dt

btatdf

)()(),(

הוכחת משפט אוילר בכיוון אחד 11)לבחינה(

: העבר מן חוב ועוד

:) השרשרת ) כלל באמצעות הוכחה

dt

yxfdt

dt

tytxdf k ),(),( ),(1 yxfkt k

dt

dty

y

yxf

dt

dtx

x

yxf

dt

tytxdf

),(),(),(

),(),( tytxyftytxxf yx

yx yfxfyxkf ),( :t=1נציב ונקבל

12

12

כלל השרשרת – מתי לא

אם הפונקציה איננה דיפרנציאבילית אזי

לא ניתן להשתמש בכלל השרשרת. נבהיר הערה זו ע"י הדוגמא הבאה.

דוגמא: נחשב בנקודה לפונקציה

כאשר

),( yxfz

dt

df00 t

0,0,0

0,0,),( 22

2

yx

yxyx

yxyxftytx ,2

13

13

דרך א' ע"י הצבה: נעיר כי הנקודה מתאימה לנקודה

על כי -כעת נציב ב-

הנתונה ונקבל

00 t 0,0, 00 yx

00,0020. 00 yyxxtytx ,2),( yxf

Rttt

t

tt

ttttf

,5

4

5

4

2

2),2(

2

3

22

2


13

0,0,0

0,0,),( 22

2

yx

yxyx

yxyxf

תזכורת:

14

14

נשים לב כי התוצאה תקפה לכלכולל עבור .

כעת נגזור לפי כללי גזירה רגילים של פונק' במשתנה

יחיד ונקבל ובפרט

tttf5

4),2( Rt

0t

Rtdt

df ,

5

4 5

400 t

dt

df


15

15

דרך ב: ע"י כלל השרשרת:כזכור הנקודה מתאימה לנקודה

לכן, לפי כלל השרשרת מתקיים

נחשב את הנגזרות החלקיות

וכן הנגזרות

00 t 0,0, 00 yx

00,000,00dt

dyf

dt

dxf

dt

dzyx

0,0),0,0( yx ff

0,0dt

dy

dt

dx


16

לפי הגדרת הנגזרת החלקית מתקייםכמו כן נציב בכלל השרשרת

ונקבל

התשובה הנכונה היא זו שהתקבלה ע"י הצבה. הטעות בתוצאה השנייה נובעת מהעובדה שהפונקציה הנתונה

איננה דיפרנציאבילית בנקודה ולכן השימוש בכלל

.אסור

00,00,0 yx ff

10,20 dt

dy

dt

dx

5

400

dt

df


0,0

1616

0,0,0

0,0,),( 22

2

yx

yxyx

yxyxf

תזכורת:

17

הניצב לגרדיאנט

הכיוון את מתאר פונקציה של שהגרדיאנט ראינו כה עד . הרגעי בטווח ביותר רבה הפונקציה השתנות שבו

? לגרדיאנט הניצב הכיוון משמעות מה אך

... הבא בשקף יותר מקיפה תשובה

18

פונקציות סתומות

בהוכחת השרשרת כלל של בשימושיותו השתכנענו כבר . פחות לא שימוש כעת נראה כיוונית לנגזרת הנוסחא

חשוב.: . הגדרה: ודיפרנציאבילית רציפה פונקציה עבור

פונקציה נקראת למשוואה הפתרונות קבוצתשל .xסתומה

),( yxfcyxf ),(

34),(

22 yxyxf

34

22 yxc

19


? בחיים סתומות פונקציות פוגשים מתי

של נגזרתה היא מה לדעת רוצים אנחנו קרובות לעיתים: . למשל סתומה פונקציה

ברדיוס למעגל משיק (.3,4ליד )5מצא

: היא הפונקציה

: ש כיוון סתומה היא

: בחישוב מתעניינים ואנו

22),( yxyxf

בשיווי נמצאת מורכבת מערכת כאשר או בגיאומטריהמשקל.

25),( 22 yxyxf

dx

dy

20


: הנאיבי הפתרוןל הפונקציה את ב yנהפוך xכתלות

ונגזור:

הנקודה את בנגזרת נציבונקבל.

הפונקציה את להפוך הצלחנו כי הסתדר זה אבלהסתומה

למפורשת.

5),( 22 yxyxf)4,3(),( 00 yx

22 25 xy 225 xy

22 25252

2

x

x

x

x

dx

dy

4

3

16

3

325

3)3('

2

f

21


פתרון אחר בחיפוש השרשרת כלל בנוסחאת נביט הבה. הסתומה הפונקציה לבעיית כללי

חופש . דרגת לנו ויש לחישוב דרך מחפשים אנחנוהמסילה .tבבחירת

אפוא – לאורך t=(x,fimp(x))נבחר ההולכת מסילה כלומר. הסתומה הפונקציה

: אחר t=(x,y)בניסוח

dt

dy

y

f

dt

dx

x

ftytxf

dt

tdft

))(),(()(

dx

dy

22


: בהצבה נביט

הפונקציה – זו מסילה שלאורך יודעים אנו .fאך קבועה לכן:

וקיבלנו:

dx

dy

y

f

dx

dx

x

fxyxf

dx

xdft

))(,()(

0))(,(

dx

xyxdf

dx

dy

y

f

dx

dx

x

f

0dx

dyff yx

dx

dy

f

f

y

x

23


בנקודה משפט: החלקיות הנגזרות אםוכן ורציפות קיימות הפונקציה של

: הסתומה הפונקציה של נגזרתה אזהיא:

בנקודה. . הגרדיאנט לכיוון הניצב הוא זה כיוון

),( 00 yx

),(),( 00 yxfyxf ),( yxf

),(

),(

00

00

yxf

yxf

dx

dy

y

x

0),( 00 yxf y

24


: סתומה לפונקציה גיאומטרית המחשה

: באליפסה נביט

בנקודה ) משיק ישר נחשב (.3,2הבה

),(

),(

00

00

yxf

yxf

dx

dy

y

x

249

),(22

yx

yxf

9

2),(

xyxf x

24

2),(

yyyxf y

3

2

9

6)2,3( xf

12

2)2,3( yf

3

1

2

3/2

dx

dy

33

1)( xxl

הישר לחישובשהוא בכל נשתמש

בנקודה ) (3,2עובר

25

פולינום טיילור

של בפונקציות העוסק נושא תת הוא טיילור פולינום . אחד משתנה

איכות את לתחום נוכל דבר של בסופו באמצעותוב פונקציות עבור שלנו .שניהקירוב משתנים

הנגזרת שמציעה הליניארי הקירוב את לשפר הוא הרעיון. נוספות נגזרות בחינת באמצעות

26


של שלישית מקומה המושלך כדור של בהתנהגותו נביטבניין.

t זמן=

hגובה=

27


באמצעות הכדור תנועת של קירוב על כעת נסתכלמשיק:

t זמן=

hגובה=

28


, קשר איבד מהרה עד אבל טוב התחיל אומנם הקירובלמציאות...

. התחשבנו לא עובדה באיזו הקירוב את לשפר נרצה? הקודם בקירוב

. . הכדור מהירות כלומר משתנה היא גם שהנגזרת בכך

29


. אותה ולקרב הנגזרת שינוי קצב את למדוד נרצהבאמצעותו.

: המקורבת הנגזרת את נסמן

: הוא הנגזרת של קירוב. שלמדנו הליניארית הקירוב בשיטת משתמשים כאשר

את תקיים שנגזרתה מתאימה למצוא צריך כעתהמשוואה.

קיבלנו:

מסדר טיילור טור גם .x0ב fשל 2המכונה

)(')(")()('~

000 xfxfxxxf

)('~xf

)(~xf

)("2

)()(')()()(

~0

20

000 xfxx

xfxxxfxf

30


מסדר טיילור טור באמצעות הקירוב על כעת .2נסתכל

t זמן=

hגובה=

...מושלם! אוויר התנגדות הזנחנו כי רק זה אבל

31


. אוויר התנגדות עם הפעם ניסוי אותו על נחזור

t זמן=

hגובה=

. מזייף הקירוב שוב

32


? . לפספס יכולנו מה מדוייק אינו הקירוב פעם שוב

משתנה הנגזרת של השינוי קצב שגם בכך התחשבנו לא. האוויר התנגדות בגלל

. לקרב ננסה בחשבון אותו גם להביא כדאי אולי. השניה הנגזרת את השלישית הנגזרת באמצעות

33


. ולקרב השניה הנגזרת שינוי קצב את למדוד נרצהאותה.

: המקורבת הנגזרת את נסמן

: הוא הנגזרת של קירוב. שלמדנו הליניארית הקירוב בשיטת משתמשים כאשר

את תקיים שנגזרתה מתאימה למצוא צריך כעת . השניה הנגזרת משוואת ואת הזו המשוואה

קיבלנו:

מסדר טיילור טור גם .x0ב fשל 3המכונה

)(")()()("~

00)3(

0 xfxfxxxf

)("~xf

)(~xf

)(6

)()(

2

)()()()()(

~0

)3(3

00

)2(2

00

)1(00 xf

xxxf

xxxfxxxfxf

שלישית לנגזרת סימוןגבוה מסדר ולנגזרות

בכלל.

34


: להכליל הזמן הגיע

מסדר טיילור פונקציה nטור מוגדר x0בנקודה f(x)שללהיות:

n

i

ii

xn i

xfxxxf

0

0)(

0, !

)()()(

~0

אבחנה:מתקיים )()(עבור

~0

)(0

)(, 0

xfxf iixn ni

35

פולינום טיילור – משפט טיילור

: ? טיילור משפט לנו נתון כך לשם הקירוב טוב כמה אבל

השגיאה משפט: נסמן. טיילור טור של

שמתקיים כך קיים אז

)()()(~

0,xRxfxf nxn

],[ 0 xxxe

10

)1(

)()!1(

)()(

nen

n xxn

xfxR

בכמה פונקציה עבור גם טיילור בפולינום להשתמש ניתן. הבא. בפרק זאת נלמד משתנים

36

פולינום טיילור – דוגמא

מסדר: טיילור קירוב באמצעות את הערך שאלה3.

: טיילור טור נרשום

24

xxf )( 250 x 241 x

xxxf

4

1)("

xxf

2

1)('

xxxf

28

3)('''

25500023

3

25100225225)(

~ 32

25,

xxx

xfn

n

i

ii

xn i

xfxxxf

0

0)(

0, !

)()()(

~0

37



24

25500023

3

25100225225)(

~ 32

25,

xxx

xfn

89898.450000

1

1000

1

10

15)24(

~25, nf

. בקירוב: השגיאה את חסום שאלהקיים: טיילור משפט לפי :24,25בקטע ]cתשובה ש[ כך

!4

)("")2425(

!4

)("")24(

~)25( 25,

cfcfff n

38



24

25500023

3

25100225225)(

~ 32

25,

xxx

xfn

89898.450000

1

1000

1

10

15)24(

~25, nf


!4

)("")2425(

!4

)("")24(

~)25( 25,

cfcfff n

39



!4

)("")2425(

!4

)("")24(

~)25( 25,

cfcfff n

xxxf

316

43)(""

xx

xf332

1

!4

)(""

הוא בקטע מקבלת זו שפונקציה המכסימלי הערך:24בנקודה כלומר.

24)24(32

1)24(

~24

325,3f

000,024,1

1

16)20(32

13

ערכים באמצעות נקרב

: לחשב שקל

40

פולינום טיילור בשני משתנים

יותר טוב אחד במשתנה פונקציות לקרב שרצינו כשם ,) כך ) משיק ישר הדיפרנציאל באמצעות מאשר

יותר טוב משתנים בשני פונקציות לקרב ברצוננו . משיק מישור באמצעות מאשר

: טיילור – טור ידי על זו בעיה פתרנו אחד במשתנה- ש עם nפולינום מתלכדות הראשונות נגזרותיו

. בנקודה הפונקציה של אלו

מסדר טיילור פולינום כעת .2נגדיר משתנים בשני . מכך ליותר נידרש לא

41

פולינום טיילור בשני משתנים

מסדר טיילור פונקציה 2טור x0,y0בנקודה f(x,y)של: להיות מוגדר

),())((

2/),()(2/),()(

),()(),()(

),(),(~

0000

002

0002

0

000000

00),(,2 00

yxfyyxx

yxfyyyxfxx

yxfyyyxfxx

yxfyxf

xy

yyxx

yx

yx

אבחנה:מסדר החלקיות הנגזרות בשני 2כל פונקציה של טיילור קירוב של

. המקורית הפונקציה של לאלו זהות משתנים

פולינום טיילור בשני משתנים - 42הצדקה

לכל תרגיל: דיפרנציאבילית פונקציה שעבור הראהמסילה

נקודה ולכן פונקציה ולכל t0מתקיים

: אזי נסמן אם כי מתקיים

),( btatt

),(~),(~

)(,2),(,2 000btatgbtatf tbtat

f),()( btatftg

מסקנה:עבור טיילור לטור הופך משתנים בשני לפונקציה טיילור טור

. מתאימה הצבה לאחר שנבחר כיוון בכל ממדית החד הפונקציה

43

Iסוף פרק

אם ביכולתנו לנבא תופעה במידת קירוב זהה לזו שחושינו יכולים למדוד הרי שדי לנו בכך

ונוכל לומר שחזינו אותה.-- הנרי פונקרה

מתמטיקה ב' לכלכלנים

Documents

Transcript of מתמטיקה ב' לכלכלנים