修士論文 機能動詞構文を伴う述語項構造の 解析精 …...2015年3月25日 東北大学大学院 情報科学研究科システム情報科学専攻 本論文は東北大学大学院情報科学研究科システム情報科学専攻に
東北大学 大学院情報科学研究科 応用情報科学専攻 田中 和之 (Kazuyuki Tanaka)...
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Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 1
物理フラクチュオマティクス論Physical Fluctuomatics
第 14回 複雑ネットワーク14th Complex networks and physical fluctuations
東北大学 大学院情報科学研究科 応用情報科学専攻田中 和之 (Kazuyuki Tanaka)[email protected]
http://www.smapip.is.tohoku.ac.jp/~kazu/
*本スライドの図面の一部は大久保潤氏(京都大学)によりご提供いただき本人の許可を得て掲載しております.
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 2
今回の講義の参考文献
大久保潤 , 田中和之 : 統計力学の基礎 --- 複雑ネットワークとの関連にもとづいて ---, 特集 / ネットワーク科学の数理 , 数理科学 , Vol.44, No.8 ( 通巻 518 号 ), pp.24-29, August 2006.Jun Ohkubo, Muneki Yasuda and Kazuyuki Tanaka: Preferential Urn Model and Nongrowing Complex Networks, Physical Review E, Vol.72, No.6, Article No.065104(R), December 2005.増田直紀 , 今野紀雄 : 複雑ネットワークの科学,産業図書 , 2005.
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 3
今回の話題
複雑ネットワークの科学マルコフ過程とネットワーク生成モデルスケールフリーネットワーク
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 4
確率的情報処理 (Probabilistic Information Processing) の中での複雑ネットワーク科学
通信理論・像情報処理・確率推論
ICT 技術の要請に耐えうる統計科学
コトの物理学としての定着
ポイントはやはり「たくさんが関連」
確率的情報処理のこれからの数理的基盤
統計科学
統計的学習理論
情報統計力学
データマイニング
複雑ネットワーク科学
今回のテーマ
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 5
ネットワークと情報処理
たくさんが関連して構成されるシステム
基本構成要素ノード (Node)
基本構成要素間の関連リンク (Link)
ネットワーク (Network)すぐ思いつく現実的なネットワークの例
インターネットWorld Wide Web都市間の交通網(高速道路,航空路線)
ネットワークの構造に共通する性質
1. すべてのノード間がつながれている訳ではない(非完全グラフ).
2. ノード間のリンクの存在にはランダム性がある(ランダム性).
3. 少数ではあるがたくさんのノードとリンクでつながれているノードが存在する(ハブノードの存在).
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 6
ネットワーク生成メカニズムと情報処理
1. すべてのノード間がつながれている訳ではない(非完全グラフ).
2. ノード間のリンクの存在にはランダム性がある(ランダム性).
3. 少数ではあるがたくさんのノードとリンクでつながれているノードが存在する(ハブノードの存在).
世の中で自然発生的に構成されたネットワーク上のシステムは何故,うまく機能するのか ?
どのような数理モデルに基づいてネットワークが生成されていると解釈することが妥当なのか ?生成したネットワーク上で与えられた計算モデルにおいてどのような計算ルール(アルゴリズム)が効率的に機能するのか ?
解明のための戦略
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 7
ネットワークにおけるハブの役割
例:仙台からベネチアまで飛行機で移動したいとしたら
仙台 東京成田 ミラノ ベネチア
札幌
新潟 ジェノバ
フィレンツェ
もしすぐ近くの空港としか航空便がなければ何回乗り継ぎをしなければならなくなるだろう.
もしすべての空港間で航空便が運行していたら何台飛行機が必要だろう.
ハブの役割を果たす空港は多い必要はないが,ある程度の数は必要.
ハブの役割にも種類がある(日本のハブ空港,アジアのハブ空港,世界のハブ空港).
空港のネットワークに階層構造が生まれる.
さまざまのネットワークにおける共通の数理の存在
ハブ空港のおかげで世界的距離が短くなる(スモールワールド).
空港間・航空会社間の競争の原理から生み出され,最適化されている.
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 8
複雑ネットワーク生成におけるランダムネス
たくさんが関連して構成されるシステム全体の構造はとても複雑だが個別のノード間のリンクはある一
定の単純な規則に従って構成される.
必ず規則に従うのか ? すべてのノードのリンクが規則に従って張られているならネットワークには規則性があるはず.実際のネットワークは完全に規則性をもって構成されているとは言い難い.むしろランダムネスを伴うと考える方が自然.
複雑ネットワークはその生成過程でどのような規則性とどのようなランダムネスを伴うとき現実の効率的ネットワークと同様の統計的性質をもつのか ?
複雑ネットワーク(ランダムネットワーク,スモールワールドネットワーク等)
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 9
複雑ネットワークにおける統計的性質
スモールワールド性
平均最短経路長 l: ノード間を結ぶ最短経路の長さ(最短経路長)のすべてのノード対についての平均
平均次数
N
ikk iN
kP1
,
1
次数 ki :ノード i につながっているリンクの本数
N :ノードの総数
1
0
N
k
kkPk
k
l
スケールフリー性
kln
kPln
スモールワールド性はもつがスケールフリー性をもたない複雑ネットワーク
スモールワールド性とスケールフリー性を併せ持つ複雑ネットワーク
平均次数とともに平均最短経路長が急速に減少する.
両対数プロットで直線にのる.
共通の数理関数系は生成モデルによる
ハブのあるなしの違い
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 10
複雑ネットワークと確率モデル
スモールワールド性はもつがスケールフリー性をもたない複雑ネットワーク
スモールワールド性とスケールフリー性を併せ持つ複雑ネットワーク
ハブのあるなしの違い
スモールワールド性とスケールフリー性はどのようなネットワーク生成モデルで出現するか ?
確率モデルからの複雑ネットワークの理論的解明
ハブの生まれる原因は何か ?
どのような競争の原理がポイントか ?
数値実験ではだめ !!解析計算がはずせない !!
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 11
スモールワールドネットワークの生成の簡単な例
最短で9本のリンクを通って到達 最短で4本
のリンクを通って到達
ランダムにリンクを選んで一端を別のノードにつなぎ変える操作を繰り返す.
初期状態すべてのノードの次数は 4
ノードにつながっているリンクの本数をそのノードの次数という.
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 12
スモールワールドネットワークの生成と次数分布
k 本のリンクを持つノードの個数についてのヒストグラムk4 k4 k4 k4
ランダムにリンクを選んで一端を別のノードにつなぎ変える操作を繰り返す.
この操作を繰り返すと k はどのような分布に従うのだろうか ?
すべてのノードが次数 4
次数が 3 と5 のノードが 1個ずつ出現
次数が 3 と5 のノードが 2個ずつとなる.
次数が 6 のノードが出現.
初期状態
ノード毎につながっているリンクの本数をそのノードの次数という.
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 13
10-4
10-3
10-2
10-1 1
l(p)/l(0)
平均最短経路長
p
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8 C(p)/C(0)
スモールワールドネットワークの生成
k 本のリンクを持つノードの個数についてのヒストグラム
ランダムにリンクを選んで一端を別のノードにつなぎ変える操作を繰り返す.
つなぎ変えられたリンクの割合
1
k0 5 10 15 20
0
1p=0.8
P(k
)
0 5 10 15 200
p=0
P(k
)
p=0.8
p=0
Poisson分布へ近づく
1
初期状態
80% のリンクがつなぎ変えられた時
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 14
ランダムネットワークの生成
1. N 個のノードを用意する.2. 2 個のノードを確率 p でランダムに選択し,リンクで結ぶ.
4
1
200
1
0
N
k
kkPk
N
kp
N
N=6
0 5 10 15 200
0.5
P(k)Poisson分布へ近づく
k
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 15
ランダムネットワークの次数分布の解析
1
0
1N
k
kkPk
N
kp
1
1
11
1
11
1
kNk
kNk
N
k
N
k
k
Npp
k
NkP
1
1
0
1
1
0
11
1
11
1
1
N
N
k
k
kNk
N
k
k
xN
k
xN
k
N
k
k
N
xkPxG
0 !
1explim
k
k
kk
N
xk
ke
xkxG
kk
Nke
k
kxG
xkP
!
lim
4
200
k
N
0 5 10 15 200
0.5
P(k) Poisson分布へ近づく
k
2項分布
母関数
1. N 個のノードを用意する.2. 2 個のノードを確率 p でランダムに選択し,リンクで結ぶ.
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 16
ランダムネットワークの平均経路長の解析
1. N 個のノードを用意する.2. 2 個のノードを確率 p でランダムに選択し,リンクで結ぶ.
fixed:
11
0
N
k
kkPk
N
kp
L
L
L
kk
kk
kkkkkn
1~11
111
1111
fixed
:1ln
ln~
k
N
k
Nl
あるノードからみて距離 L にある頂点の総数 n ~ N
平均最短経路長 l ~ L
N
fixed :/,, NLLN
k
1ln
1
k
1
l
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 17
成長と優先的選択を伴うネットワーク生成モデル( Barabasi and Albert Model )
2
1
2
1
1)2(1 X 1)2(1 X
2)3(1 X 1)3(2 X
1)3(3 X
4
1
4
1
4
2
3)4(1 X 1)4(2 X
1)4(3 X
6
1
6
1
6
3
1)4(4 X
6
11)4(3 X
6
1
6
2
6
2
6
12)4(1 X2)4(2 X
1)4(4 X
初期状態はノード2個,リンク1本から出発
ノード1個,リンク1本を時刻 n のネットワークのノードを 1 つランダムに選んで追加.
nXnXnX
nX
n
i
21
時刻 n のネットワークの i 番目のノードに追加する確率
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 18
成長と優先的選択を伴うネットワーク生成モデル( Barabasi and Albert Model )
2)3(1 X 1)3(2 X
1)3(3 X
4
1
4
1
4
2
3)4(1 X 1)4(2 X
1)4(3 X
6
1
6
1
6
3
1)4(4 X
6
11)4(3 X
6
1
6
2
6
2
6
12)4(1 X2)4(2 X
1)4(4 X
2n
2
1
2
1
1)2(1 X 1)2(1 X
3n4n
5n
200n
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 19
成長と優先的選択を伴うネットワーク生成モデル( Barabasi and Albert Model )
200n
akkP
akkP logloglog
k 本のリンクにつながっているノードの個数に対するヒストグラム
スケールフリーネットワーク
nXnXnX
nX
n
i
21
時刻 n のネットワークの i 番目のノードに追加する確率
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 20
成長するが優先的選択を伴わないネットワーク生成モデル
200n
ではない akkP
ckaekP
k 本のリンクにつながっているノードの個数に対するヒストグラム
スケールフリーネットワークではない
時刻 n のネットワークの i 番目のノードに追加する確率 1/n
対数プロットしても直線にのらない
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 21
確率過程 (離散時間 )
確率変数の集合 n は時間 ,2,1,0nX n
離散的な場合に限定
(離散)マルコフ過程 ,2,1,0nX n
nnnn XXXXXX 1101 Pr,,,Pr
01
1
01
10
11011010
PrPr
Pr,,Pr
,,,Pr,,,Pr,,,Pr
XXX
XXXX
XXXXXXXXXX
n
mmm
n
mmm
nnnn
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 22
マルコフ過程
,2,1,0nX n
01
110 PrPr,,,Pr XXXXXXn
mmmn
nn NX ,,2,1
1
1
1
1
0
0
1
1
2
2
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
111
1 1 1 10
1
111
1 1 10
11
1 1 110
PrPr
PrPrPr
PrPr
,,,PrPr
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
N
Xnnn
N
X
N
X
N
X
N
X
n
mmmnn
N
X
N
X
N
X
n
mmm
N
X
N
X
N
Xnn
XXX
XXXXX
XXX
XXXX
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 23
マルコフ過程の推移確率
マルコフ過程 ,2,1,0nX n nn NX ,,2,1
1
1 111 PrPrPr
n
n
N
Xnnnn XXXX
11
1
1
1111
1111
1111
Pr
2Pr
1Pr
Pr2Pr1Pr
2Pr22Pr12Pr
1Pr21Pr11Pr
Pr
2Pr
1Pr
nn
n
n
nnnnnnnnnn
nnnnnnn
nnnnnnn
nn
n
n
NX
X
X
NXNXXNXXNX
NXXXXXX
NXXXXXX
NX
X
X
推移確率
推移確率行列
NX
X
X
NP
P
P
t
t
t
t
Pr
2Pr
1Pr
lim2
1
定常分布
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 24
成長と優先的選択を伴うネットワーク生成モデル( Barabasi and Albert Model )
2
1
2
1
1)2(1 X 1)2(1 X
2)3(1 X 1)3(2 X
1)3(3 X
4
1
4
1
4
2
3)4(1 X 1)4(2 X
1)4(3 X
6
1
6
1
6
3
1)4(4 X
6
11)4(3 X
6
1
6
2
6
2
6
12)4(1 X2)4(2 X
1)4(4 X
初期状態はノード2個,リンク1本から出発
ノード1個,リンク1本を時刻 n のネットワークのノードを 1 つランダムに選んで追加.
nXnXnX
nX
n
i
21
時刻 n のネットワークの i 番目のノードに追加する確率
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 25
マルコフ過程によるBarabasi and Albert Model の解析
2n3n
等価
Barabasi and Albert Model
Yule Process
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 26
マルコフ過程によるBarabasi and Albert Model の解析
1112
,,11,1,,1Pr
111
11111
n
ii
n
ii
n
iii
i
nnnnn
klkln
k
knXknXnXlnXlnX
112,12Pr 21 XX
初期状態
1 2
1,,,Pr
1,,,1,,1Pr
1,,1Pr
1111
1
1
1
1
2
1
2
1111111
11
1 2 3 1
nXknXknX
nXknXknXnXnX
nXnX
nnn
n
k
n
k
n
k knnnn
n
n
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 27
マルコフ過程によるBarabasi and Albert Model の解析
12,12Pr12,123,3,3Pr
3,3,3Pr
2121321
321
XXXXXXX
XXX
112,12Pr 21 XX
初期状態
2
113,23,13Pr 321 XXX
2
113,13,23Pr 321 XXX
1 2
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 28
マルコフ過程によるBarabasi and Albert Model の解析
2
113,23,13Pr 321 XXX
2
113,13,23Pr 321 XXX
13,3,3Pr13,3,34,4,4,4Pr
4,4,4,4Pr
32211
2
1
2
1322114321
4321
1 2
XkXkXXkXkXXXXX
XXXX
k k
1
13,3,314,14,4,14Pr21
132211432211
kk
kXkXkXXXkXkX
1
13,3,314,14,14,4Pr21
232211432211
kk
kXkXkXXXkXkX
1
113,3,314,24,4,4Pr
2132211432211
kk
XkXkXXXkXkX
13
23
13
3
22
11
X
kX
kX 13
13
23
3
22
11
X
kX
kX
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 29
マルコフ過程によるBarabasi and Albert Model の解析
初期状態
4
1
2
1
4
2
13,13,13,33Pr 3321
XXXX
4
1
2
1
4
12
14,14,24,24Pr 4321
XXXX
8
1
2
1
4
1
14,24,24,14Pr 4321
XXXX
8
1
2
1
4
1
14,24,14,24Pr 4321
XXXX
4
1
2
1
4
2
14,14,34,14Pr 4321
XXXX
1 2
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 30
マルコフ過程によるBarabasi and Albert Model の解析
1,,,Pr
1,,,1,1,,1Pr
1,1,,1Pr
1111
1
1
1
1
2
1
2
1111111
11
1 2 3 1
nXknXknX
nXknXknXnXnXnX
nXnXnX
nnn
n
k
n
k
n
k knnnnn
nn
n
1,,,,,Pr
Pr
11322211
1
1
1
1
2
1
2
1,
1 2 3 1
nXknXknXknXknX
knX
nnn
n
k
n
k
n
k kkki
n
i
2,1
Pr12
11Pr12
1
Pr11Pr1
1Pr11
kni
knXn
kknX
n
k
knXk
kknX
k
kknX
ii
in
i i
in
i i
i
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 31
マルコフ過程によるBarabasi and Albert Model の解析
n
iii
n
ii knX
n
kknX
n
kknX
1
1
1
Pr12
11Pr12
11Pr
2,12
,112
11,1
knkPn
nknnkP
n
nknkPn
が十分大きい時 nknPkkk
nPkk
kknkP
3~,112
!3
,1412
121,
k についてのべき分布
定性的に再現
スケールフリーネットワーク
Physical Fluctuomatics (Tohoku University) 32
まとめ
複雑ネットワークの生成におけるメカニズム
ランダム性優先的選択性 が重要
Barabasi and Albert Model はネットワークの成長を伴うがスケールフリー性にネットワークの成長は必要か ?成長を伴わないネットワークでもスケールフリー性は出現する :J. Ohkubo, M. Yasuda and K. Tanaka: Preferential Urn Model
and Nongrowing Complex Networks, Phys. Rev. E, Vol.72, No.6, Article No.065104(R), December 2005.