江西工业工程职业技术学院课时计划课程名称 高等数学 2009~ 10 年第一学期 第 11 周 第 1 次课 总第 次课

课 题 第 2 章 导数与微分 2.3 函数的微分

目的要求 1 、理解微分的概念； 2 、掌握微分的运算法则； 3 、会用微分进行近似计算。 重点、难点和突破的方法 重点、 难点：微分的概念。 突破方法：通过对引例的观察与定义的详细讲解相结合。复习提问 复合函数的求导法则教具 三角板或直尺，多媒体等。作业（附后） P77 ： 10 （ 2 ）， 12 （ 4 ）、（ 8 ）， 13 （ 2 ）课后记教学内容的步骤（附后）

班 级 授课日期

2.3 函数的微分

2.3.1 引例 2.3.2 微分的概念 2.3.3 微分的计算 2.3.4 微分形式的不变性 2.3.5 微分的应用 2.3.6 内容小结

解 设此薄片的边长为 x,面积为 A,则 2xA

当自变量 x在 0x有增量 x 时,

相应的面积增量为 2

0

2

0

2

0)(2)( xxxxxxA

A 由两部分组成,第一部分是 xx 0

2

是 x 的线性函数,当 0x 时,

第二部分 2)( x 是比 x 高阶的无穷小,

由此可见,如果边长改变很微小时,面积的改变量 A 可近

似地用第一部分代替.

0x

x

xx 0

0x

2.3.1 引例

例 1 一块正方形金属薄片受温度的影响,其边长由0x 变到

,0

xx 问此薄片的面积改变了多少？

2 .3.2 微分的概念 定义 如果函数 ( )y f x 在点 x处的改变量 y 可以表示为

xoxAy （ 0x ）,

其中,A是与 x 无关的量,则称函数 ( )y f x 在点 x处可微,称

xA 为函数 ( )y f x 在点 x处的微分,记作 yd ,即 dy A x .

定理 1 函数 )(xf 在点 0x 可微的充分必要条件是 )(xf 在点

0x可导,且当 )(xf 在点 )(xf 在点

0x可微时,其微分一定是

d ( )y f x x

解 函数 2xy 在 1x 处的微分为 2

1d ( ) 2

xy x x x

函数 2xy 在 3x 处的微分 2

3d ( ) 6

xy x x x

例 2 求 2xy 在 1x 和 3x 处的微分

特别注意：

(1)微分与导数虽然有着密切的联系,但它们是有区别的；

(2)导数是函数在一点处的变化率,而微分是函数在一点处由

自变量增量所引起的函数增量的主要部分；

(3)导数的值只与 x有关,而微分的值一般与 x和 x 都有关.

解 222

211 xxxxxxxfxxfy ,

2

10 . 1

2 1 0 . 1 ( 0 . 1 ) 0 . 2 1xx

y

xxfy d xxxx 212 ,

2.01.012d1.0

1

x

xy

例 3 求函数 2 1y x 在 x=1, x =0.1时的改变量 y 和 yd .

1. 微 分 基 本 公 式 （ 1） 0d C （ C 为 常 数 ）； （ 2） xxx dd 1 ； （ 3） xxx deed ； （ 4） xaaa xx dlnd ；

（ 5） xx

x d1

lnd ； （ 6） xax

xa

dln1

logd ；

（ 7） xxx dcossind ； （ 8） xxx dsincosd ； （ 9） xxx dsectand 2 ； （ 10） xxx dcsccotd 2 ； （ 11） xxxx dtansecsecd ； （ 12） xxxx dcotcsccscd ；

（ 13） xx

x d1

1arcsind

2 ； ( 14) x

xx d

11

arccosd2

；

（ 15） xx

x d1

1arctand

2 ； （ 16） x

xx d

11

cotarcd2

；

（ 17） xx

x d1

lnd .

2.3.3 微分的计算

2. 微分的四则运算法则 设函数 xvvxuu , 在点 x处可微,则 (1) vuvu ddd ； (2) vuuvuv ddd ； (3) uCCu dd ,（C为常数）；

(4) 2

ddd

vvuuv

vu

, )0( v ；

(5) 2

d1d

vv

v

.

例 3 　设 y = 3ex – tanx ，求 dy .

解 dy = d(3ex) – dtan x = 3dex – sec2 xdx

= 3exdx – sec2 xdx = (3ex – sec2x ) dx .

例 4 　设 y = excos x ，求 dy .解 dy = d(excos x) = ex dcos x + cos xdex

= ex (cos x - sin x)dx .

例 5 ,1

1

2

2

x

xy

设 求 dy .

解 2

2

1

1dd

x

xy

22

2222

)1(

)1)d(1()1d()1(

x

xxxx

.d)1(

422

xx

x

2.3.4 微分形式的不变性 复合函数的微分法则 设函数 )(ufy , )(xu 都可微,则复合函数 )]([ xfy 的微分为

xxxfxxufy ddd . 由于 xxu d)(d ,所以,复合函数 )]([ xfy 的微分也可以写成：

uufy dd . 可见,无论 u是自变量还是中间变量,微分形式 uufy dd 总保持不变,这一性质称为微分形式不变性.

解 法 一 由 公 式 xyy dd , 得

xxx

xxy d2cos21

d2sind

.

解 法 二 由 微 分 形 式 不 变 性 , 得

xx

xxxy 2d22

12cos2d2cosd x

xd2x)cos(

21 .

例 5 设 xy 2sin ,求 yd .

2. 3. 5 微分的应用 如果 )(xfy 在点

0x处的导数 0)(

0 xf ,且 x 很小时,有

0d ( )y y f x x (1) xxfxfxxfy )()()(

000

(2) xxfxfxxf )()()(000

(3) ))(()()(

000xxxfxfxf

取 00x ,得

(4) xffxf )0()0()( 应用第４个公式,可以得以下几个工程上常用的近似公式： 假设 x 很小,有

① nx

xn 11 ② xx )1ln( ③ e 1x x

④ )(sin 取弧度数xxx ⑤ xx tan （x取弧度数）

• 例 6 设某国的国民经济消费模型为

• 其中 : y 为总消费（单位：十亿元） ; 当 x=100.05时，问总消费是多少？

10 0.4 0.01y x x

• 例 7 19 世纪 30 年代后期，法国生理学家普瓦泽伊发现了今天我们仍用来估测扩张多少受阻塞的动脉半径才能恢复血液的正常流动。他的公式为

• 即流体以固定的压力在单位时间内流过细管的体积 V等于一个常数乘以管半径的四次幂，问：半径

• 增加 10% 对 V 影响有多大？

4V kr

r

解 因 为3 3 3

11 2 6 1 2 5 1 5 1

1 2 5 ,

由 公 式3

113x

x 得

3 1 11 2 6 5 1 5 . 0 1 3

3 1 2 5 .

例 8 求 3 126的近似值.

解 因为 01.01ln01.1ln , 所以,由公式 xx )1ln( 得

01.001.1ln .

例 9 求ln1.01的近似值.

2.3.6 内容小结 1． 微分的概念

2． 微分的计算

3． 微分形式的不变性

4． 微分的应用