интеграл

Определённый

Неопределённый

Само слово интеграл происходит от латинского слова integer - «целый». В русском языке слово интеграция означает восстановление, воссоединение, восполнение. В математической модели речь идёт фактически о воссоединении целого по отдельным частям.

Что же такое «определённый интеграл»?

Более подробно остановимся на «определённом интеграле»

Задача 1

(О вычислении площади криволинейной трапеции)

Пусть графически задана функция f(x), непрерывная на своей области определения D(f)

У= f(x)

0 x

Будем рассматривать её на отрезкеy

У= f(x)

0xа b

)(],[ fDba

Построим фигуру, ограниченную графиком функции y = f(x), прямыми x = а, x = b и у = 0.

Назовём её криволинейной трапецией ABCD

У= f(x)

0 x

Поставим задачу нахождения её площади S

а b

x=a

BC

DA

x=b

y=0

Разделим основание [АD] трапеции ABCD точками х0=а;х1;х2;…; хn= b (x0= a<x1<x2<…<xi<xi+1<xn=b)

0x

y

В

С

А DТогда криволинейная трапеция разобьётся – на n

узеньких столбиков. Площадь всей трапеции равна сумме площадей столбиков.

x5 x6x1 x2 x3 x4 x7x0 xn

Рассмотрим отдельно k- й столбик ,т.е. криволинейную трапецию, основанием которой служит отрезок [xk; xk+1]

0x

y

В

С

А D

У= f(x)

xк+1xk

Площадь прямоугольника равна f(хk)· Δхk,где Δхk – длина отрезка [хk,хk+1];естественно считать составленное произведение

приближённым значением площади k-го столбика.

Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной f(xk)

Если теперь то же самое сделать со всеми остальными столбиками, то придём к следующему результату: площадь S заданной криволинейной трапеции приближенно равна площадь Sn, ступенчатой фигуры, составленной из n прямоугольников.

Имеем : Sn = f(x0)Δx0+ f(x1)Δx1+f(x2)Δx2+ …+ f(xk)Δxk +…+f(xn-1)Δxn-1;

0x

y

В

С

А D

Итак,S≈Sn,причём это приближенное равенство тем точнее, чем больше n.

Искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности Sn

nn

SS

lim

Задача 2

(О вычислении массы стержня)

Дан прямолинейный неоднородный стержень, плотность в точке x вычисляется по формуле p = p (x). Найти массу стержня.

Решение. 1) разобьём отрезок [a,b] на n равных частей.

xX0 =a X1 X2 Xk Xk+1 Xn-1 b=Xn

2) Рассмотрим k-тый участок [ хk,хk+1] и будем считать, что плотность во всех точках этого участка постоянна, а именно такая, как, например, в точке хk.

Итак, мы считаем, что p = p(хk)

xX0 =a X1 X2 Xk Xk+1 Xn-1 b=Xn

3) найдём приближённое значение массы mk-го участка: mk=p(хk)Δхk, где Δхk- длина отрезка.

xX0 =a X1 X2 Xk Xk+1 Xn-1 b=Xn

4)Найдём приближённое значение массы m стержня:

m≈Sn, где Sn= m0 +m1+ m2+m3+…+mk+…+mn-1== p(х0)Δх0+p(x1)Δх1+p(x2) Δх2+…+p(хn-1)Δхn-1.

xX0 =a X1 X2 Xk Xk+1 Xn-1 b=Xn

nn

Sm

lim

Искомая масса равна пределу последовательности Sn

Задача 3

(О перемещении точки)

По прямой движется точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v=v(t).Найти перемещение точки за промежуток времени [a; b].

Разделим промежуток времени [a;b] на n равных частей.

Рассмотрим промежуток времени [ ]. Будем считать, что в этот промежуток времени

скорость была постоянной, т.е Приближенное значение перемещения точки за

промежуток времени [ ]: Приближенное значение перемещения s:Точное значение перемещения вычисляется по

формуле :

b

a

dxxf )(

S – площадь криволинейной трапеции

nn

SS

lim

В этом и состоит геометрический смысл определённого интеграла.

b

a

dxxfS )(

m – массу неоднородного стержня

В этом и состоит физический смысл определённого интеграла.

b

a

dxxfm )(

nn

Sm

lim

s – перемещение точки

В этом и состоит физический смысл определённого интеграла.

b

a

dxxfs )(

nn

Ss

lim

S – площадь криволинейной трапеции

b

a

dxxfS )(

)()( aFbFS

У= f(x)

0 xа b

x=a

BC

DA

x=b

y=0

Формула Ньютона – Лейбница

У= f(x)

0 xа b

x=a

BC

DA

x=b

y=0

Пример1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 0,5х2 + 1, y = 0, х = - 2, x = 3 .

).(6

51022

6

133

6

1

6

11

2

1

33

3

2 2

332

едкв

xxdxxS

2. Фигура ограничена графиком непрерывной и неположительной на отрезке [а; b] функции f(х), осью Ох и прямыми х = а, х = b.

2. Фигура ограничена графиком непрерывной и неположительной на отрезке [а; b] функции f(х), осью Ох и прямыми х = а, х = b.

b

a

dxxfS

Рассмотрим функцию – f(x). Фигура аА1В1b симметрична фигуре аАВb относительно оси Ох, а следовательно, их площади S1 и S равны. Но

b

a

b

a

dxxfdxxfS1

2. Фигура ограничена графиком непрерывной и неположительной на отрезке [а; b] функции f(х), осью Ох и прямыми х = а, х = b.

b

a

dxxfS

Пример 2. Вычислить площадь фигуры,

ограниченной линиями y = - х2 - 1, у = 0, х =-1, х = 2.

2

1

2

1

22 11 dxxdxxS

).(6113

122

3

1

3

1 33

1

23 едквxx

3. Фигура ограничена осью Ох, прямыми х = а, х = b и графиком функции f(х), которая непрерывна на отрезке [а; b] и меняет свой знак конечное число раз на этом отрезке. В этом случае разбивают отрезок [а; b] на такие частичные отрезки, на которых функция f(х) знакопостоянна: имеется три таких отрезка: [a; c], [с; d], [d; b].

c

a

d

c

b

d

dxxfdxxfdxxfS

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = sin х, y = 0, х = -π/2, х = π .

Очевидно, что sin х ≤ 0 для всех х ∈ [- π /2; 0] и sin х ≥ 0 для всех х ∈ [0; π].

Поэтому

0

0

22

0

0

coscossinsin

xxxdxxdxS

).(311010coscos2

cos0cos едкв

b

a

dxxgxf ))()((

aABbaDCbABCDP SSSS

b

a

b

a

dxmxgdxmxf ))(())((

b

a

b

a

dxmxgdxmxf ))(())((

b

a

dxmxgmxf ))(())((

b

a

dxxgxf ))()((

b

a

dxxgxf ))()((

3. Фигура ограничена осью Ох, прямыми х = а, х = b и графиком функции f(х), которая непрерывна на отрезке [а; b] и меняет свой знак конечное число раз на этом отрезке. В этом случае разбивают отрезок [а; b] на такие частичные отрезки, на которых функция f(х) знакопостоянна: имеется три таких отрезка: [a; c], [с; d], [d; b].

c

a

c

a

c

a

dxxfdxxfdxxfS

Очевидно, что искомая площадь S численно равна алгебраической сумме интегралов, взятых по каждому из полученных отрезков, причем знаки, с которыми эти интегралы входят в алгебраическую сумму, совпадают со

Так, площадь фигуры, изображенной на рисунке, вычисляется по формуле:

знаками функции f(х) на соответствующих отрезках.

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = sin х, y = 0, х = -π/2, х = π .

Очевидно, что sin х ≤ 0 для всех х ∈ [- π /2; 0] и sin х ≥ 0 для всех х ∈ [0; π].

Поэтому

).(311010coscos2

cos0cos

coscossinsin0

0

22

0

0

едкв

xxxdxxdxS