Алгебра Алгебра ЛогикиЛогики

Москалева Светлана

История предметаИстория предмета

• Алгебра логики возникла в Алгебра логики возникла в середине ХIХ века в трудах середине ХIХ века в трудах английского математика английского математика Джорджа Буля. Ее создание Джорджа Буля. Ее создание представляло собой представляло собой попытку решать попытку решать традиционные логические традиционные логические задачи алгебраическими задачи алгебраическими методами.методами.

История алгебры логики История алгебры логики Понятие логики как науки появилось ещё в XIX в., Понятие логики как науки появилось ещё в XIX в.,

т.е. задолго до появления науки информатики и т.е. задолго до появления науки информатики и компьютеров. Элементы математической логики можно компьютеров. Элементы математической логики можно найти уже в работах древнегреческих философов. В XVII найти уже в работах древнегреческих философов. В XVII в. Г. В. Лейбниц высказал идею о том, что рассуждения в. Г. В. Лейбниц высказал идею о том, что рассуждения могут быть сведены к механическому выполнению могут быть сведены к механическому выполнению определенных действий по установленным правилам. определенных действий по установленным правилам. Однако как самостоятельный раздел математики логика Однако как самостоятельный раздел математики логика начала формироваться только с середины XIX в..начала формироваться только с середины XIX в..

Для того чтобы рассуждать, человеку необходим Для того чтобы рассуждать, человеку необходим какой-либо язык. Не удивительно, что математическая какой-либо язык. Не удивительно, что математическая логика начиналась с анализа того, как говорят и пишут логика начиналась с анализа того, как говорят и пишут люди на естественных языках. Этот анализ привёл к люди на естественных языках. Этот анализ привёл к тому, что выяснилось существование формулировок, тому, что выяснилось существование формулировок, которые невозможно разделить на истинные и ложные, которые невозможно разделить на истинные и ложные, но, тем не менее, выглядят осмысленным образом. Это но, тем не менее, выглядят осмысленным образом. Это приводило к возникновению парадоксов, в том числе в приводило к возникновению парадоксов, в том числе в одной из фундаментальных наук математики. Тогда одной из фундаментальных наук математики. Тогда было решено создать искусственные формальные языки, было решено создать искусственные формальные языки, лишённого «вольностей» языка естественного.лишённого «вольностей» языка естественного.

НАЧАЛАНАЧАЛА• Логическое высказываниеЛогическое высказывание — это — это

любoе повествовательное любoе повествовательное пpедлoжение, в oтнoшении пpедлoжение, в oтнoшении кoтopoгo мoжно oднoзначнo кoтopoгo мoжно oднoзначнo сказать, истиннo oнo или лoжнoсказать, истиннo oнo или лoжнo..

• Разумеется, не всякое предложение Разумеется, не всякое предложение является логическим высказываниемявляется логическим высказыванием. . Высказываниями не являются, Высказываниями не являются, например, предложения "ученик например, предложения "ученик десятого класса" и "информатика — десятого класса" и "информатика — интересный предмет". Первое интересный предмет". Первое предложение ничего не утверждает об предложение ничего не утверждает об ученике, а второе использует слишком ученике, а второе использует слишком неопределённое понятие "интересный неопределённое понятие "интересный предмет". Вопросительные и предмет". Вопросительные и восклицательные предложения также восклицательные предложения также не являются высказываниями, не являются высказываниями, поскольку говорить об их истинности поскольку говорить об их истинности или ложности не имеет смысла.или ложности не имеет смысла.

Булевы функцииБулевы функцииПусть имеется некоторый набор Пусть имеется некоторый набор

высказываний, о которых можно говорить высказываний, о которых можно говорить определённо, что они истинные или ложные. определённо, что они истинные или ложные. Обозначим их латинскими буквами A, B, C, D Обозначим их латинскими буквами A, B, C, D …… . .

Если у нас есть два простых предложения, то Если у нас есть два простых предложения, то из них образовать новое, сложносочинённое из них образовать новое, сложносочинённое предложение с помощью союзов «или» либо предложение с помощью союзов «или» либо «и». В математической логике для этой цели «и». В математической логике для этой цели используются специальные символы:используются специальные символы:

• знак дизъюнкции знак дизъюнкции v v • знак конъюнкции знак конъюнкции & (& (иногдаиногда используетсяиспользуется ^)^)• Знак Знак NOT NOT – знак отрицания– знак отрицания

•Утверждение A Утверждение A v Bv B считается истинным тогда и считается истинным тогда и только тогда, когда истинно только тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных хотя бы одно из исходных утверждений;утверждений; утверждение A & B – когда утверждение A & B – когда истинны оба утверждения.истинны оба утверждения.

Таблицы истинностиТаблицы истинности

AA BB AA v v BB

ИСТИНАИСТИНАИСТИНАИСТИНАЛОЖЬЛОЖЬЛОЖЬЛОЖЬ

ИСТИНАИСТИНАЛОЖЬЛОЖЬИСТИНАИСТИНАЛОЖЬЛОЖЬ

ИСТИНАИСТИНАИСТИНАИСТИНАИСТИНАИСТИНАЛОЖЬЛОЖЬ

AA BB A A && B BИСТИНАИСТИНАИСТИНАИСТИНАЛОЖЬЛОЖЬЛОЖЬЛОЖЬ

ИСТИНАИСТИНАЛОЖЬЛОЖЬИСТИНАИСТИНАЛОЖЬЛОЖЬ

ИСТИНАИСТИНАЛОЖЬЛОЖЬЛОЖЬЛОЖЬЛОЖЬЛОЖЬ

Конъюнкция (И) Дизъюнкция (ИЛИ)

Преобразование выражений, Преобразование выражений, состоящих из булевых состоящих из булевых функций.функций.• В математической логике преобразование выше В математической логике преобразование выше

указанных выражений проводится для указанных выражений проводится для различных целей – от упрощения исходного до различных целей – от упрощения исходного до доказательства утверждений. В информатике доказательства утверждений. В информатике же оно используется в основном для упрощения, же оно используется в основном для упрощения, ведь при производстве цифровой электроники, ведь при производстве цифровой электроники, как и любого другого товара, требуются как и любого другого товара, требуются наименьшие затраты. Для упрощения булевых наименьшие затраты. Для упрощения булевых выражений используются те же методы, что и выражений используются те же методы, что и при упрощении алгебраических. Для начала при упрощении алгебраических. Для начала была проведена аналогия между была проведена аналогия между алгебраическими операторами от двух алгебраическими операторами от двух аргументов (сложение, вычитание, умножение и аргументов (сложение, вычитание, умножение и т.д.) и булевыми. т.д.) и булевыми.

Было выяснено, что Было выяснено, что умножение и логическое «И» умножение и логическое «И» обладают сходными обладают сходными свойствами свойствами

• - от перестановки мест аргументов - от перестановки мест аргументов результат не изменяетсярезультат не изменяется

A & B = B & A & B = B & AA

• - существует следующий закон- существует следующий законA & A & ((B & B & C) = (C) = (A & BA & B) ) & & CC

Существуют некоторые Существуют некоторые тождества, опирающиеся на тождества, опирающиеся на особые свойства функции, особые свойства функции, например:например:

• A & A & ((~A~A) = ЛОЖЬ) = ЛОЖЬ

•(~(~AA) ) & & (~(~BB) = ~ () = ~ (AA v B) v B)

Сложение и логическое Сложение и логическое «ИЛИ»:«ИЛИ»:• - от перестановки мест аргументов - от перестановки мест аргументов

результат не изменяетсярезультат не изменяется

AA v B v B = = BB v A v A

• - - существуетсуществует следующий следующий законзакон

(A v B) v (A v B) v СС = A v (B v C) = A v (B v C)

• - можно выносить общий - можно выносить общий множитель за скобкимножитель за скобки

((A & BA & B)) v ( v (СС && B B)) = B = B && ( (AA v C) v C)

Некоторые собственные Некоторые собственные законы сложения:законы сложения:

• A A v (v (~A~A) = ИСТИНА) = ИСТИНА

• (~(~AA) v (~) v (~BB) = ~ () = ~ (AA && B) B)

Нахождение исходного Нахождение исходного выражения по его выражения по его значениям.значениям.• В отличие от алгебраических В отличие от алгебраических

выражений, булевы можно выражений, булевы можно восстановить, зная их аргументы и восстановить, зная их аргументы и соответственные им значения. Пусть соответственные им значения. Пусть нам дана булева функция от 3 нам дана булева функция от 3 переменных:переменных:

• Составим для неё таблицу и Составим для неё таблицу и условимся обозначать ИСТИНУ - 1, а условимся обозначать ИСТИНУ - 1, а ЛОЖЬ – 0.ЛОЖЬ – 0.

Для начала выпишем все Для начала выпишем все аргументы функции, при аргументы функции, при которых функция равна 1.которых функция равна 1.

• FF (1, 1, 0) = 1 (1, 1, 0) = 1

• FF (1, 0, 1) = 1 (1, 0, 1) = 1

• FF (1, 1, 1) = 1 (1, 1, 1) = 1

Теперь запишем 3 таких Теперь запишем 3 таких выражения (функция выражения (функция принимает значение 1 три принимает значение 1 три раза), что они принимают раза), что они принимают значение 1 только при значение 1 только при вышеуказанных значениях вышеуказанных значениях

• X1 & X2 & (~X3)X1 & X2 & (~X3)

• X1 & (~X2) & X3X1 & (~X2) & X3

• XX1 & 1 & XX2 & 2 & XX33

И запишем их логическую И запишем их логическую сумму:сумму:

• ((XX1 & 1 & XX2 & (~2 & (~XX3)) 3)) vv ( (XX1 & (~1 & (~XX2) 2) & & XX3) 3) v v ((XX1 & 1 & XX2 & 2 & XX3)3) – это – это выражение принимает значение 1 выражение принимает значение 1 при тех же значениях, что и при тех же значениях, что и исходная функция. Полученное исходная функция. Полученное выражение можно упростить.выражение можно упростить.

УпростимУпростим

• (X1 & X2 & (~X3)) v(X1 & X2 & (~X3)) v (X1 & (~X2) & (X1 & (~X2) & X3) v (X1 & X2 & X3)X3) v (X1 & X2 & X3) = =

= X1 & ((X2 & (~X3)) v ((~X2) & X3) v = X1 & ((X2 & (~X3)) v ((~X2) & X3) v (X2 & X3)) = (X2 & X3)) =

= X1 & ((X2 & (~X3)) v X3 & ((~X2) v = X1 & ((X2 & (~X3)) v X3 & ((~X2) v X2)) =X2)) =

= = XX1 & ((1 & ((XX2 & (~2 & (~XX3)) 3)) v Xv X3)3)

Применение в Применение в вычислительной технике и вычислительной технике и информатикеинформатике• После изготовления первого компьютера После изготовления первого компьютера

стало ясно, что при егопроизводстве стало ясно, что при егопроизводстве возможно использование только цифровых возможно использование только цифровых технологий –ограничение сигналов связи технологий –ограничение сигналов связи единицей и нулём для большей единицей и нулём для большей надёжности ипростоты архитектуры ПК. надёжности ипростоты архитектуры ПК. Благодаря своей бинарной природе, Благодаря своей бинарной природе, математическаялогика получила широкое математическаялогика получила широкое распространение в ВТ и информатике. распространение в ВТ и информатике.

• Были созданыэлектронные эквиваленты Были созданыэлектронные эквиваленты логических функций, что позволило логических функций, что позволило применять методыупрощения булевых применять методыупрощения булевых выражений к упрощению электрической выражений к упрощению электрической схемы. Кроме того,благодаря схемы. Кроме того,благодаря возможности нахождения исходной возможности нахождения исходной функции по таблице функции по таблице позволилосократить время поиска позволилосократить время поиска необходимой логической схемы. В необходимой логической схемы. В программировании логика незаменима программировании логика незаменима как строгий язык и служит дляописания как строгий язык и служит дляописания сложных утверждений, значение сложных утверждений, значение которых может определить компьютер. которых может определить компьютер.

Источники Источники дополнительных сведенийдополнительных сведений

• 1. «Компьютер» Ю. Л. Кетков, изд. 1. «Компьютер» Ю. Л. Кетков, изд. «Дрофа» 1997 г.«Дрофа» 1997 г.

• 2. «Математика» Ю. Владимиров, 2. «Математика» Ю. Владимиров, изд. «Аванта+» 1998 г.изд. «Аванта+» 1998 г.