提纲 简单回顾 随机相互作用多体系统基态零自旋占优、

低激发的集体性、自旋确定的能量中心、奇偶性等

举例（偶偶核基态正宇称占优势）说明这方面的研究：怎样发现新问题？

Taken from Sec. II of Zhao, Arima, Shimizu, Ogawa, Yoshinaga, and Scholten,

Phys. Rev. C70, 54322 (2004). 展望

1. 为什么要研究随机相互作用下多体系统的规则结构 ? 在原子核（或其它多体系统）中，相互作用本

身并没有转动或者振动模式所需要的对称结构，然而原子核等体系的低激发态模式经常呈现出这样高度对称性的结构。那么，在满足相互作用的基本对称性如旋转不变性以及其它要求如同位旋守恒的条件下，人们可以问低激发态在多大程度上可以获得各种对称结构。换句话说，一些模式如转动或者振动可能是多体系统的低激发态中“先天性地”占主导地位，而其它模式可能仅仅以很小的几率出现。

2. 为什么要研究随机相互作用下多体系统的规则结构 ? 偶偶核的基态总自旋为零，低激发态性质大致

上呈现出所谓的三分类即前集体（或称辛弱数类）区域、振动区域和转动区域的特征，原子核的结合能存在奇偶性等等。这些特征在其它体系如金属团簇体系也被观测到。那么，这些特征到底是不是原子核（乃至一般多体系统）的固有性质呢？这些问题可以通过让相互作用变得越来越任意来研究。换句话说，当相互作用变得越来越任意时，这些特征在多大程度上还能够保留下来。

3. 为什么要研究随机相互作用下多体系统的规则结构 ? 这样的问题在 20 多年前就被 Cortes 及其合

作者们研究过。他们使用 Elliott 的 Q-Q 相互作用加上两体随机相互作用，其中随机部分的强度是个可调参数。尽管他们的计算结果已经可以看出来，但是他们还是忽略了一个非常有兴趣的结果：完全随机的两体相互作用可以给出偶偶核基态自旋为零占主导地位的统计结果。这个事实是在 1998 年由 Johnson 、 Bertsch 和 Dean 首先指出的。

4. 为什么要研究随机相互作用下多体系统的规则结构 ? 在核物理中的偶偶核基态为零的现象是同类价核子

相互吸引的对力给出的，而 Johnson 等的结果表明多体系统的基态自旋为零是一个比原来预想的普遍得多的现象，换句话说，即使没有吸引的对力相互作用，偶偶核基态和低激发态的性质可能也会部分甚至大部分被保留下来。 Johnson 等的发现刺激了随机相互作用下多体系统基态和低激发态性质的研究，特别是随机相互作用下基态自旋为零占主导地位的深入理解、结合能的奇偶性、平均能量（或称能量中心 , energy centroid ）、集体性等问题。

Part I 简单回顾

† (0)

2 2

† † † ( )

- :

2 1( ) ,

| | , 0,2, ,2 1

1( ) .

2

J JJ

J

J

J Jj j

j

H J A A G

G j J V j J J j

A a a

单 轨道壳模型哈密顿量

壳模型计算 j=9/2, n=4 Total spin of this system can be

怎样找维数 ? ( 有很多方法 , 最简单方法是对磁量子数的配分 )

2 2 3 3 20 ,2 ,3,4 ,5,6 ,7,8 ,9,10,12.I

简单壳模型计算

2 2 2 2

2 2 2 2

3 3

3 3 3 3 3

0 | | 0 0 | | 0 for 0;

0 | | 0 0 | | 0

2 | | 2 2 | | 2 for 2;

2 | | 2 2 | | 2

3 | | 3 for 3;

4 | | 4 4 | | 4

I H I I H II

I H I I H I

I H I I H II

I H I I H I

I H I I

I H I I H I I

3

3 3 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3

10 10

12 12

4 | | 4

4 | | 4 4 | | 4 4 | | 4 for 4;

4 | | 4 4 | | 4 4 | | 4

10 | | 10

12 | | 12

H I

I H I I H I I H I I

I H I I H I I H I

I H I

I H I

两体随机系综（ＴＢＲＥ）

21 2 3 4

1 2 3 4

( )

2

1( ) exp( )

21,

1/ 2,

JTj j j jGJT

j j j j xGx

x

1 2 3 4if | | ;

otherwise.

j j JT j j JT

一般大家习惯上选择高斯型分布

也有人选择其它类的分布，如从－１到１之间的均匀分布．对我们这里感兴趣的问题，这些不同分布给出的统计结果没有本质的不同．

1 2 3 4 1 2 3 4| |JTj j j jG j j JT V j j JT

0 2 4 6 8

0 2

4 6 8

9 , 0,2,4,6,8

2

, , , ,

, ,

, ,

j J

G G G G G

G G

G G G

共有五个独立的两体相互作用

取1 组随机数给 赋值, 就得到 1组

输出结果(第一组) ; 再取不同的1组随机数给

赋值, 又得到另外 1组输出结果(第二组) ;

重复作1000 次这个过程, 得到 1000 次结果. 利用这1000 次结果作统计.

1998 年 Johnson, Bertsch, Dean 发现采用随机两体力偶偶核的基态上自旋宇称为 0 ＋占优势 (Phys. Rev. Lett. 80, 2749 (1998)) ．这个结果现在被称为 0 g.s. dominance. 类似的现象在其它体系也被发现．如 sd 玻色子．　References: C. W. Johnson et al., PRL80, 2749 (1998); R.Bijker et al., PRL84, 420 (2000); L. Kaplan et al., PRB65, 235120 (2002).

近年来的有关的一些论文 R. Bijker, A. Frank, and S. Pittel, Phys. Rev. C60, 021302(1999); D. Mulhall, A. Volya, and V.

Zelevinsky, Phys. Rev. Lett.85, 4016(2000); Nucl. Phys. A682, 229c(2001); V. Zelevinsky, D. Mulhall, and A. Volya, Yad. Fiz. 64, 579(2001); D. Kusnezov, Phys. Rev. Lett. 85, 3773(2000); ibid. 87, 029202 (2001); L. Kaplan and T. Papenbrock, Phys. Rev. Lett. 84, 4553(2000); R.Bijker and A.Frank, Phys. Rev. Lett.87, 029201(2001); S. Drozdz and M. Wojcik, Physica A301, 291(2001); L. Kaplan, T. Papenbrock, and C. W. Johnson, Phys. Rev. C63, 014307(2001); R. Bijker and A. Frank, Phys. Rev. C64, (R)061303(2001); R. Bijker and A. Frank, Phys. Rev. C65, 044316(2002); L. Kaplan, T.Papenbrock, and G.F. Bertsch, Phys. Rev. B65, 235120(2002); L. F. Santos, D. Kusnezov, and P. Jacquod, Phys. Lett. B537, 62(2002); Y.M. Zhao and A. Arima, Phys. Rev.C64, (R)041301(2001); A. Arima, N. Yoshinaga, and Y.M. Zhao, Eur.J.Phys. A13, 105(2002); N. Yoshinaga, A. Arima, and Y.M. Zhao, J. Phys. A35, 8575(2002); Y. M. Zhao, A. Arima, and N. Yoshinaga, Phys. Rev.C66, 034302(2002); Y. M. Zhao, A. Arima, and N. Yoshinaga, Phys. Rev. C66, 064322(2002); P.H-T.Chau, A. Frank, N.A.Smirnova, and P.V.Isacker, Phys. Rev. C66, 061301 (2002); Y.M.Zhao, A. Arima, N. Yoshinaga, Phys.Rev.C66, 064323 (2002); Y. M. Zhao, S. Pittel, R. Bijker, A. Frank, and A. Arima, Phys. Rev. C66, R41301 (2002); Y. M. Zhao, A. Arima, G. J. Ginocchio, and N. Yoshinaga, Phys. Rev. C66,034320(2003); Y. M. Zhao, A. Arima, N. Yoshinga, Phys. Rev. C68, 14322 (2003); Y. M. Zhao, A. Arima, N. Shimizu, K. Ogawa, N. Yoshinaga, O. Scholten, Phys. Rev. C70, 054322 (2004); T. Papenbrock and H. A. Weidenmueller, Phys. Rev. Lett. 93, 132503 (2004); Y.M.Zhao, A. Arima, K. Ogawa, Phys. Rev. C (in press)

综述：　 Y.M.Zhao, A. Arima, and N. Yoshinaga, Phys. Rep. 400, 1 (2004); V. Zelevinsky and A. Volya, Phys. Rep. 391, 311 (2004).

1. 唯象方法

我们提出的唯象方法　可以讨论各种体系，如上面的简单体系，　单轨道或多轨道的费米子体系，玻色子体

系等．是个普遍的方法．

几个一般性的实例 ( 取自 YMZ et al., PRC66, 03430

4)(“remarkably accurate”—Papenbrock & Weidenmueller)

0 2 4 6 8 10 12

0

20

40

60

80

0 5 10 15 20 25

0

20

40

60

0 2 4 6 8 10 12 140

20

40

60

80

0 5 10 15 20

0

20

40

60

80

a)

TBRE, pred.j=9/2 shell with 4 fermions

I g

.s. p

rob

ab

ilitie

s (

%)

TBRE, pred.j=9/2 shell with 5 fermions

c)

b)

TBRE, pred.7 fermions in the j1=7/2,j

2=5/2 orbits

angular momenta I

d)

TBRE, pred.10 sd bosons system

1. 唯象方法 这种方法需要确定每一个两体相互作用矩阵元单

独存在时基态的自旋。然后用这些结果预言随机相互作用下基态的自旋几率。这种方法给出的预言结果准确度很高，特别重要的是它可以告诉我们，哪些相互作用对某个自旋为基态的几率有贡献。在这个唯象方法出现之前，很多人趋于相信，随机相互作用下基态自旋的分布可能与哈密顿量的具体形式无关或者不敏感。然而，从唯象方法的结果人们知道，自旋为零为基态的几率是有某些特别的相互作用给出的；简单地说，这些特别的相互作用以吸引势单独存在时，基态的自旋是零。

1. 唯象方法 使用唯象方法，很容易认识到随机相互作用下基态自旋为最

大自旋的来源是最高级对力相互作用。对单 j 壳内的费米子来说，这个几率是 1/N ， N 是两体相互作用矩阵元的个数（ = j+1/2 ），与粒子数无关。这个结果称为 N 分之一规则，并且和计算机模拟结果吻合很好。对玻色子系统来说，当粒子数变大、玻色子内秉自旋变大时，随机相互作用给出的基态自旋为最大自旋的几率比 N 分之一规则预言的结果大。这种偏差的来源是仅仅存在最高级对力时玻色子系统的基态和第一激发态的能隙在粒子数和玻色子内禀自旋变大时反常地大。然而和费米子情形一样，玻色子系统的随机相互作用下的基态自旋为最大自旋的来源也是最高级对力。如果没有最高级对力，那么随机相互作用下的基态自旋为最大自旋的几率非常接近于 0 。

最大自旋态作基态的几率

2. 平均场方法

墨西哥研究组的平均场方法讨论了 sd, sp 玻色子 平均场方法是由 Bijker 和 Frank 、以及 Kusnez

ov 提出的。这种方法目前已经被用于描写 sp 和sd 玻色子系统的基态自旋分布几率。其方法的要点是首先找到哈密顿量的势能表面和对应的几何结构之间的联系，然后对整个模型空间的参数分类。把这些几何结构的基态自旋按照哈密顿量参数空间权重加起来，就得到这个体系的基态自旋分布几率。这种方法对 sp 玻色子系统描写非常成功，对 sd 玻色子系统也比较适用，然而对其它情形一般不太好。

3. 几何方法 Ganil 研究组的几何方法可以讨论某些简单系统 ( 建

立在我们唯象方法基础上 ). 本征值必须可以写成两体相互作用的线性组合 .

这一方法的优点是数学处理上非常漂亮并且是严格的。其缺点是仅仅适用于简单的体系—系统的本征值是两体相互作用的线性组合。 Chau 等把所有的本征值投影到一个（ N-1 ）维空间中，只有处于顶点的本征值才有可能成为基态，每个顶点对基态的贡献由该顶点和其它顶点张开的（ N-1 ）维空间的立体角给出。把每个顶点（对应不同的角动量）立体角的贡献加起来，就得到该多体系统在高斯分布的随机相互作用下不同自旋的分布几率。

3. 几何方法

几何方法到目前为止仅仅被应用于讨论 d 玻色子系统、 j=5/2 或 7/2 的单轨道费米子情形。在这些系统中，那些顶点对应上面提出的唯象方法中仅仅某一个两体矩阵元存在时最高和最低本征能量，从这个意义上说，几何方法为唯象方法在简单情况下提供了微观基础。

4. 其它努力

Zuker 及其合作者的时间反演不变性 (2002) 、 Bijker 　等人关于时间反演的质疑 (1999) 、 Bijker(2000) 的本征值分布宽度、 Drozdz 关于自旋为零的状态的非零非对角矩阵元的特殊性 (2001) 、 Otsuka 等 (2004-2006)人的最高对称性假定等等。

最近， Papenbrock 和 Weidenmueller (2004-2006)找到最低的本征能量和所谓的谱半径之间的近似关系，并把这个关系用来预言在单 j 壳上的几个费米子在随机相互作用下的基态自旋分布几率。这个关系最近被 Yoshinaga 、 Arima 和笔者 (2006) 通过考虑平均能量和本征值与维数关系而得到很大改进并且可以成功地用于玻色子。

自旋确定的能量中心 (energy centroids of spin I states)

,

22 2

2 2

1 ,

1( 1) |} ( ) ( ) .

2

|} ( ) ( ) .

,

( 1),

2

( 1),

2

J J JI I J I I

J I

J n nI

K

n n

J JI I

J JI I

J J

JJ JII I I

JI

E G

n n j I j K j J

j I j K j J

d K

n n

d n nd

正比于

假定 是随机的

的多重数 (近似地)

注意到

人们发现自旋确定的态的平均能量的特征非常普遍 , 它的性质现在被推广到其它量子数确定的平均能量 . (“Zhao et al. initiated the study of energy centroids …”—Kota, PRC71, R041301)

IE I最低的几率随 的变化

相互作用玻色子模型内嵌的集体运动

1 14 2/R E E

相互作用玻色子模型内嵌的集体运动

Y.M.Zhao, S. Pittel, R. Bijker, A. Frank, and A. Arima (2002): Generic rotation in a collective SD nucleon-pair subspace, PRC66, R041301.

在壳模型空间有几个单粒子能级时，不同单粒子能级的宇称可以不同。

比如幻数为 50-82 壳空间有 5 个单粒子能级： s1/2,d3/2,d5/2,g7/2, h11/2. 其中前四个单粒子能级的宇称为正，最后一个 h11/2 能级的宇称为负。

如果壳模型空间单粒子能级的宇称有正有负，那么正宇称态的状态数和负宇称态的状态数基本一样，两者差别极小。对不同体系和不同粒子数组合来说都是如此。

Part II 随机相互作用下基态的宇称分布

• 对于我们试验过的所有体系 , 偶宇称的总的状态数和奇宇称的总的状态数都非常接近（各占 50% ）；没有很明显的差异。为什么会这样呢？

• 一个简单的理解是：因为宇称取决于粒子数的分布。如果在负宇称的单粒子态上有偶数个粒子，那么体系的总宇称为正，否则为负宇称。负宇称的单粒子态上有偶数个粒子和奇数个粒子的组合数总是基本一样。而如果计及不同的体系总自旋的正负宇称态，那么两者差别将非常小。

换句话说 , 偶宇称的状态对应的配分和奇宇称状态对于的配分个数基本相等并且“种类”非常接近，所以给出的任何自旋 I 的状态数非常接近。

Parity distribution in the ground states

(A) Both protons and neutrons are in the shell which corresponds to nuclei with both proton number Z and neutron number N ~40;

(B) Protons in the shell and neutrons in the shell which correspond to nuclei with Z~40 and N~50;

(C) Both protons and neutrons are in the shell which correspond to nuclei with Z and N~82;

(D) Protons in the shell and neutrons in the shell which correspond to nuclei with Z~50 and N~82.

Taken from Sec. II of

Zhao, Arima, Shimizu, Ogawa, Yoshinaga, and Scholten, Phys. Rev. C70, 54322 (2004).

7 / 2 5/ 2g d

5/ 2 1/ 2 9 / 2f p g

11/ 2 1/ 2 3/ 2h s d

5/ 2 1/ 2 9 / 2f p g

11/ 2 1/ 2 3/ 2h s d

7 / 2 5/ 2g d

(

Basis ( )

(0,4) (0,6) (2,2) (2,4) (2,6)

86.6 86.2 93.1 81.8 88.8

(2,3) (1,4) (0,5) (6,1) (2,1) (1,3) (1,5)

42.8 38.6 45.0

A

单位: %)

38.4 31.2 77.1 69.8

Basis ( )

(2,2) (2,4) (4,2)

72.7 80.5 81.0

(3,4) (2,3) (3,2) (4,1) (1,4) (5,0) (3,3) (5,1)

42.5 72.4 39.1 75.1 26.4 44.

B

1 79.4 42.9

Basis ( )

(2,2) (2,4) (4,0) (6,0)

92.2 81.1 80.9 82.4

(2,3) (5,0) (4,1) (1,5) (1,3)

52.0 42.6 56.5 64.4 73.0

Basis ( )

(2,2) (4,2)

C

D

(2,4) (0,6)

67.2 76.1 74.6 83.0

(3,2) (2,3) (0,5) (3,3)

54.2 54.0 45.9 54.5

• 这里“最差”的偶偶核的情形是偶宇称比率是 67% ，最好的是 99.9% 。一般值（平均）是 ~86% 。

• 我们还作了很多壳模型空间轨道任意组合的情形，到目前为止没有偶偶核体系在随机两体相互作用下偶宇称占据主导优势的反例！

• 多粒子角动量耦合的过程是很复杂的，但是宇称耦合简单得多，而且现在认识到随机两体相互作用下偶宇称占优势的分布对偶偶核是个没有反例的事实（期待着不久人们能够对这个事实有深入的认识），对偶偶核基态偶宇称占优势的理解对于今后理解偶偶核基态自旋为零占优势肯定有很大的帮助。

Part III 总结和展望 我们简要讨论了 `` 随机相互作用下的多体系统”

的主要结果 , 包括自旋为零占主导地位的理论研究现状 , 能量中心的特性 , 集体性等 .

随机相互作用下偶偶核基态自旋为 0 占主导地位的理解还不深入 . 一个深入的理解应该从基本的对称性出发给出这些结构特征 . 现在还做不到 .

偶偶核基态自旋为 0 占主导地位这个问题很复杂 :一是多体问题本身 , 二是这个问题有反例 . 所以最后答案可能是某个破缺的对称性给出 .

现在我们提出的唯象方法可以告诉人们 : 基态自旋为 0 或其它的 I 值的来源是哪些哈密顿中特定的相互作用 ; 自旋最大为基态的来源是最高级对力 .

总结和展望

能量中心的特性非常普遍 , 在其它量子数确定的态中反复证实 .

介绍了一个实例 : 基态宇称分布 建议 : 采用随机数做相互作用 , 对任何物

理量做计算 . 问题 : 1. 基态宇称分布 ; 2. 能量中心性质

的理解 ; 3. 集体运动的最小条件 ; 4. 自旋为零占优的简单答案 .

Acknowledgements: Akito Arima (Tokyo) Naotaka Yoshinagana (Saitama) Kengo Ogawa (Chiba) Stuart Pittel (Delaware) R. Bijker (Mexico)　 J. N. Ginocchio (Los Alamos) O. Scholten (Groningen) V. K. B. Kota (Ahmedabad) N. Shimizu(Tokyo) N. Yoshida (Kansai)

随机相互作用1958 年 Wigner 引入随机矩阵的高斯正则系综 (GOE) 慢中子与重核共振散射中的能级间隙 Ref: Ann. Math. 67, 325 (1958)

1970 年代 French, Wong, Bohigas, Flores 等引入两体随机系综 (TBRE) Ref: Rev. Mod. Phys. 53, 385 (1981); Phys. Rep. 299, (1998); Phys. Rep. 347, 223 (2001)原始文献 : J. B. French and S.S.M.Wong, Phys. Lett. B33, 449(1970); O. Bohigas and J. Flores, Phys. Lett. B34, 261 (1970).

其它应用 : 复杂体系 ( 量子混沌 )

2

2

1

3

1

3

1

2

1

1

1

自旋 维数0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

9 , 4

2j n

有关 自旋为零占优势 的起源的研究:

* 几个针对简单体系的方法

GANI L 研究组的"几何"方法:

原则上可以解决这样的体系,

即本征值是两体力的线性组合.

7:

2j d例如 的单轨道壳， 玻色子系统。

东京研究组的唯象方法( ) ( )

0(0) 0 2 4 6

7( , 4) ( ) by TBRE exact ( ) pred(1) Pred(2)

25 3 13

19.9% 18.19% 14.3% 25% 6 2 6

32

I v I vE j n P I P I g

E G G G G

的公式

2(2) 0 2 4 6

2(4) 2 4 6

3.14

1 11 3 13 1.2% 0.89% 0 0 3.25

2 6 2 642 13

31.7% 33.25% 11 11

E G G G G

E G G G

4(2) 0 2 4 6

4(4) 2 4 6

28.6% 25% 4.12

1 5 5 13 0 0 0 0 3.45

2 6 2 67 13

25.0% 3 11

E G G G G

E G G G

5(4) 2 4 6

6(2) 0 2

22.96% 28.6% 25% 3.68

8 192 26 0 0 0 0 3.62

7 77 111 5 3

2 6 2

E G G G

E G G

4 6

8(4) 2 4 6

19 0 0.02% 0 0 3.64

610 129 127

22.2% 24.15% 28.6% 25% 4.2221 77 33

G G

E G G G

d 玻色子情形

0 2 2 4 4

1,

--------------------------------------------------------------------

(min) (min) (max) (min) (max)

6 0 0

Lc

n c c c c c

k

其它参数为零时能量最高和最低态的自旋

max max

max max

max max

0

6 1 2 2 2

6 1 0 2 2

6 1 2

I I

k I I

k I I

k

max max

max max

max max

0 0

6 1 0 2 2

6 1 2 2 2

I I

k I I

k I I

-------------------------------------------------------------------

d玻色子情形

唯象方法令 找出最低的本征值 ; 对所有的 重复这一过程 .

'1, 0J J JG G

JG

empirical

( ) =

1 = )

2

( ) /

I

I

P I I

N I

N j N j

P I N N

基态自旋为 的几率在上面过程中 出现的次数

两体相互作用矩阵元的个数(单壳

单轨道壳四个费米子情形2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

7 0 4 2 8

j J

9 0 4 0 0 12

11 0 4 0 4 8 16

13 0 4 0 2 2 12 20

15 0 4 0 2 0 0 16 24

17 0 4 6 0 4 2 0 20 28

19 0 4 8 0 2 8 2 16 24 32

21 0 4 8 0 2 0 0 0 20 28 36

23 0 4 8 0 2 0 10 2 0 24 32 40

25 0 4 8 0 2 4 8 10 6 0 28 36 44

27 0 4 8 0 2 4 2 0 0 4 20 32 40 48

29 0 4 8 0 0 2 6 8 12 8 0 24 36 44 52

31 0 4 8 0 0 2 0 8 14 16 6 0 32 40 48 56

单轨道内四个费米子情况

为什么 P(0)会周期涨落？

对四个粒子情形，如果 GJ=-1 其他两体力为零，Ｉ＝０的态只有一个非零的本征值．

Ｉ＝０的态的数量随 j 呈规则涨落．

( )0 06J j

I IJ

E D