第五章 频域分析法—频率法 5.1 频率特性

一、基本概念 系统的频率响应定义为系统对正弦输入信号的稳态响应。

系统r(t) c(t)

稳态输出的振幅与输入振幅之比 , 称为幅频特性。

稳态输出的相位与输入相位之差 , 称为相频特性。

c

r

AM

A

一个稳定的系统，假设有一正弦信号输入 r( ) sinr t A t

其稳态输出可写为 c( ) sin( )c t A t Ac- 稳态输出的振幅

- 稳态输出的相角

二、求取频率特性的数学方法

RC 网络的传递函数为 c

r

( ) 1( )

( ) 1

U ss

U s Ts

T RC

如果输入正弦电压信号 r r sinu A t

其拉氏变换 r

r 2 2( )

AU s

s

所以系统的输出为 r

c r 2 2

1( ) ( ) ( )

1

AU s s U s

Ts s

查拉氏变换表，得 Uc(s) 的原函数 uc(t)

r rc 2 2 2 2( ) e sin( arctan )

1 1

t

TA T A

u t t TT T

式中第一项为动态分量，第二项为稳态分量。

rc 2 2

lim ( ) sin( arctan )1t

Au t t T

T

幅频特性和相频特性

2 21/ 1 T

-arctan T

0 1/2T 1/T 2/T 3/T 4/T 5/T

0 0

0

0.89 0.707 0.45 0.32 0.24 0.20

-26.6 -45 -63.5 -71.5 -76 -78.7 -90

幅频和相频特性曲线

2 2

1j

jarctan 1 j

2 2

1sin( arctan )

1

1e e

j11

1 j

T T

t TT

TT

T

j

1 1

1 j 1 sT Ts

只要把传递函数式中的 s 以 j 置换，就可以得到频率特性，即

RC 网络的频率特性

s=j(j )= ( )s

将 (j) 以模幅式表示，则

j j jj j e eM

故幅频特性 jM

相频特性 j

频率特性和传递函数、微分方程的置换关系图

动态数学模型

三、频率特性图示法 1. 直角坐标图

幅频特性：纵坐标为 M ，线性分度；

横坐标为，线性分度。 相频特性：纵坐标为，线性分度；

横坐标为，线性分度。

2. 极坐标图 频率特性 (j ) (j ) (j ) ( ) ( )M

幅相特性：以频率作为参变量，将幅频与相频特性同时表示在复平面上。

当频率从零到无穷变化时，矢量 (j) 的端点在复平面上描绘出一条曲线，即为幅相特性曲线，又称奈奎斯特曲线。

O

j

1

惯性环节的幅相特性曲线

0 M() 1 0 () 0 -90

3. 对数坐标图—伯德图 (H.W.Bode)

对数频率特性曲线又称伯德图，包括对数幅频和对数相频两条曲线。 对数频率特性曲线的横坐标表示频率，并按对数分度，单位是 1/s 。 对数幅频曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函数值，线性均匀分度，单位是分贝，记作dB 。 对数幅频特性定义为

20lg( ) ( )L M

对数相频曲线的纵坐标表示相频特性的函数值，线性均匀分度，单位是度或弧度。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

lg 0 0.301 0.477 0.6020.6990.7780.8450.9030.954 1

采用对数坐标图的优点是：

(1) 可以将幅值的乘除转化为加减。(2) 可以采用简便方法绘制近似的对数幅频曲线。(3) 扩大了研究问题的视野。在一张图上，既画出频率特性的中、高频段特性，又能画出其低频特性，而低频特性对分析、设计控制系统来说是极其重要的。

对数幅频和对数相频特性曲线

5.2 典型环节的频率特性 一、比例环节 ( 放大环节 )

传递函数： G(s)=K

频率特性 : G(j)=K

幅频特性： ( ) (j )M G K

相频特性： ( ) (j ) 0G

对数幅频特性： ( ) 20lg ( ) 20lgL M K

伯德图 幅相曲线

二、积分环节 传递函数： 1

( )G ss

频率特性： 1(j )

jG

幅频特性： 1( ) (j )M G

相频特性： ( ) (j ) 90G

对数幅频特性： 1

( ) 20lg ( ) 20lg 20lgL M

幅相曲线 伯德图

三、微分环节

传递函数： ( )G s s

频率特性： (j ) jG

对数幅频特性： ( ) 20lg j 20lgL G

对数相频特性： 90

幅相曲线

伯德图

四、惯性环节

传递函数： 1

( )1

G sTs

频率特性： 1(j )

j 1G

T

对数幅频特性：

2

2 2

1( ) 20lg (j ) 20lg

1

20lg1 20lg 1 20lg 1

L GT

T T

对数相频特性： (j ) arctanG T

幅相曲线

近似对数幅频特性： 当 时， ，略去 则得 1

T 1T 2( )T

2( ) 20lg 1 20lg1 0L T

扩展为只要 ，则 L()=0 。 1

T

当 时， ， ，略去 1 ，得 1

T 1T 2( ) 1T

2 2( ) 20lg 1 20lg 20lgL T T T

扩展为只要 ，就以 近似地代替之。 1

T ( ) 20lgL T

显然在转折频率 处，近似精度最低。其最大误差为

1

T

2

120lg 1 20lg 2 3 dB

T

T

定义 为转折频率，也是特征点。 1

T

其幅频特征值为

对数幅频特征值为

10.707M

T

13 dBL

T

特征点： 1

, ( ) 3 dB, 45LT

惯性环节的伯德图

五、一阶微分环节

传递函数： ( ) 1G s s

频率特性： j j 1G

对数幅频特性： 2

( ) 20lg j 20lg 1L G

对数相频特性： ( ) arctan

特征点： 1, ( ) 3 , 45L dB

幅相曲线

一阶微分环节的伯德图

六、振荡环节 传递函数：

2n

22 2n n

n n

1( )

2 21

G ss s s

s

频率特性：

2 2

n n n n

1 1(j )

j 2 2j 1 1 j

G

对数幅频特性： 22 2

n n

2( ) 20lg (j ) 20lg 1L G

特征点： n

1, ( ) 20lg , 90

2L

对数相频特性： 2

n

2

( ) arctan

1

n

幅相曲线

根据幅频特性和相频特性公式计算出频率特性

1

O

j

渐近对数幅频特性： 当 n 时，即 /n1 时，则略去 /n ，近似取

( ) 20lg (j ) 20lg1 0 dBL G

在低频段的渐近特性是一条与横轴相重合的直线。

当 n 时，即 /n1 时，则略去 1 和 近似取

n

2

2

n n

( ) 20lg (j ) 20lg 40lgL G

这是一条在 处过横轴且斜率为-40dB/ 十倍频程的直线。

n

为转折频率n

没 有 考 虑 阻 尼比的影响。

n

22 2

n n

220lg 1 0 20lg 2

在转折频率处渐近特性与精确特性线误差为

对于不同的阻尼比，振荡环节的精确对数幅频特性

对数相频特性：

七、二阶微分环节

传递函数： 2 2( ) 2 1G s s s

频率特性： 22(j ) j 2 j 1G

对数幅频特性： 2 22 2( ) 20lg j 20lg 1 2L G

对数相频特性： 2 2

2arctan

1

幅相曲线 : 0 1, 0 ;

= , =180

M

M

时，

时，

二阶微分环节的伯德图

八、一阶不稳定环节

传递函数： 1

( )1

G sTs

频率特性： 1

(j )j 1

GT

对数幅频特性：

2

1( ) 20lg (j ) 20lg

1L G

T

对数相频特性：

(j ) arctan1

TG

幅相特性 : 0 1, 180 ;

1 2, 135 ;

2

=0, 90

M

MT

M

时，

时，

时，

一阶不稳定环节的伯德图

非最小相位环节 : 最小相位环节 :

非最小相位系统 : 最小相位系统 :

九、延迟环节

数学表达式： ( ) ( )c t r t

传递函数： ( ) e sG s

频率特性： j(j ) eG

( ) j 1M G 幅频特性：相频特性： jG

对数幅频特性： ( ) 20lg j 20lg1 0L G

幅相特性曲线

伯德图

伯德图

5.3 控制系统的开环频率特性 系统的开环频率特性曲线分为：开环幅相特性曲线和开环对数频率特性曲线。

一、开环幅相特性曲线的绘制 设系统的开环传递函数由若干个典型环节相串联

1 2 3( ) ( ) ( ) ( )G s G s G s G s

其开环频率特性1 2 3(j ) (j ) (j ) (j )G G G G

31

1 3

j ( j )j ( j ) j 2( j )1 2 3

j[ ( j ) 2( j ) ( j )]1 2 3

(j ) (j ) e (j ) e (j ) e

(j ) (j ) (j ) e

GG G

G G G

G G G G

G G G

所以，系统的开环幅频和相频分别为

1 2 3

1 2 3

( ) (j )

(j ) (j ) (j )

( ) ( ) ( )

M G

G G G

M M M

1 2 3

1 2 3

( ) (j )

(j ) (j ) (j )

( ) ( ) ( )

G

G G G

1.开环幅相特性曲线的绘制 例 某 0 型单位负反馈控制系统，系统开

环传递函数为 ，试绘制

系统的开环幅相曲线。 1 2

( )( 1)( 1)

KG s

T s T s

解：

当 =0 时 G(j0)=K0

当 = 时 G(j)=0-180

1 2

(j )(j 1)(j 1)

KG

T T

0 型系统幅相特性曲线

系统的开环幅相曲线

例 某单位负反馈控制系统，系统开环传递函数为 ，试绘制系统

的开环幅相特性曲线。 1 2

( )( 1)( 1)

KG s

s T s T s

解：

当 =0 时 G(j0)= -90

当 = 时 G(j)=0-270

1 2

(j )j (j 1)(j 1)

KG

T T

开环幅相特性曲线

各型系统幅相特性曲线的概略图

例 某单位负反馈控制系统，系统开环传递函数为 ，试绘

制系统的开环幅相特性曲线。

1

1 2 3

( 1)( )

( 1)( 1)( 1)

K sG s

T s T s T s

解： 1

1 2 3

(j 1)(j )

(j 1)(j 1)(j 1)

KG

T T T

当 =0 时 G(j0)= K0

当 = 时 G(j)=0(90-270)=0-180

取 T1 、 T2 大于 1 ， 1>T3 时，系统的开环幅相特性曲线为

系统的开环幅相曲线

2. 系统开环幅相特性的特点

① 当频率 =0 时，其开环幅相特性完全取决于比例环节 K和积分环节个数。②0 型系统起点为正实轴上一点 ,I型及 I型以上系统起点幅值为无穷大 , 相角为 -·90 。③当频率 = 时，若 n>m( 即传递函数中分母阶次大于分子阶次 ) ，各型系统幅相曲线的幅值等于 0 ，相角为 -(n-m)·90 。

④ G(j) 曲线与负实轴交点坐标，是一个关键点，其交点坐标可由下列方法确定。

(a) 令 G(j)=- 。解出与负实轴交点处对应的频率 x 的值。再将 x 代入|G(j)|中，求得与负实轴交点的模值。(b) 令 ()=0解出 x ，再将 x 代入u(x) 中，求得与负实轴交点的坐标。

j ( j )(j ) (j ) e ( ) j ( )GG G u

二、伯德图的绘制 系统的开环幅频和相频

1 2 3

1 2 3

( ) (j )

(j ) (j ) (j )

( ) ( ) ( )

M G

G G G

M M M

1 2 3

1 2 3

( ) (j )

(j ) (j ) (j )

( ) ( ) ( )

G

G G G

系统的开环对数幅频和对数相频特性开环对数幅频

1 2 3

( ) 20lg ( )

20lg ( ) 20lg ( ) 20lg ( )

L M

M M M

开环对数相频1 2 3( ) ( ) ( ) ( )

系统开环对数幅频等于各环节对数幅频之和；系统开环对数相频等于各环节对数相频之和 。

解决这方面的问题要求掌握：

(1) 正问题能熟练地绘制系统的伯德图。即已知系统的开环传递函数，在半对数坐标纸上绘制出系统开环对数频率特性。

(2) 反问题会求传递函数。即已知对数幅频特性曲线（或实验曲线），能反求其传递函数。

解决正问题的方法与绘制对数幅频特性曲线的步骤：

1. 确定出系统开环增益 K ，并计算 。 20lg K

2. 确定各有关环节的转折频率，并把有关的转折频率标注在半对数坐标的横轴上。 3. 在半对数坐标上确定 =1(1/s) 且纵坐标等于 20lgK dB 的点 A 。过 A 点做一直线，使其斜率等于 -20 dB/ 十倍频程。当 =0, =1, =2 时，斜率分别是 (0 ， -20 ， -40)/ 十倍频程。

4. 从低频段第一个转折频率开始做斜直线，该直线的斜率等于过 A 点直线的斜率加这个环节的斜率（惯性环节加 -20 ，振荡环节加 -40 ，一阶微分环节加 +20 的斜率），这样过每一个转折频率都要进行斜率的加减。 5. 高 频 段 最后的 斜 线 的 斜 率 应等于 -20(n-m) dB/ 十倍频程。

6.若系统中有振荡环节，当 <0.4 时，需对 L()进行修正。

绘制对数相频特性的步骤：

1. 在半对数坐标纸上分别绘制出各环节的相频特性曲线。

2. 将各环节的相频特性曲线沿纵坐标方向相加，从而得到系统开环对数相频特性曲线 () 。

当 0 时， () -·90 。当 时， ()-(n-m)· 90 。

例 已知单位负反馈系统如图所示，试做出系统的开环伯德图。 解： 作 L():

(1) 40 40 / 4 101 1( 4) ( 1)

1 14 4

KG s

s s s Tss s s s

因此，开环增益 K=10

转折频率

1

14 (1/ s) 20lg 20 dBK

T

/s-1

L()/dB

0.1 101 100

20

40

-20

-40

0

-20 dB/dec

4

AB

-40 dB/dec

作对数相频曲线： 因为该系统是由放大、积分、惯性环节组成的，则

1 2 3( ) ( ) ( )

0 ( 90 ) ( arctan )T

因此，只要从 -90° 起作一惯性环节的相频，即可得到系统的对数相频特性曲线。

对数相频特性曲线

例 已知一单位负反馈系统开环传递函数

2

200 1

0.2 4 100

sG s

s s s s

试作系统开环对数幅频 L() 和相频 () 。 解： 作 L():

(1) 2

200 1

0.2 100 5 1 0.01 0.04 1

sG s

s s s s

200

10 20lg 20 dB0.2 100

K K

1 2 3 n0.2, 1, 10, 0.2 1

20lg 8 dB2

/s-1

L()/dB

0.1 101 100

20

40

-20

-40

0

A-20 dB/dec

0.2

B

-40 dB/decC

-20 dB/decD

-60 dB/dec

1

2

3

1

10( )=G s

s①

2

1( )=

5 +1G s

s②

3( ) 1G s s ③

4 2

1( )

0.01 0.04 1G s

s s

④

作 ():

由系统中各环节对数相频特性叠加而得到系统的开环对数相频特性曲线，即

1 2 3 4 5

系统开环对数相频特性曲线

系统开环对数幅频特性曲线与横轴 (0 dB线 )交点的频率称为穿越频率或截止频率 c 。系统开环对数相频特性曲线与线交点的频率称为相频截止频率 g 。

两个概念：

三、最小相角系统和非最小相角系统

传递函数中没有右极点、右零点的系统，称为最小相角系统（最小相位系统）；传递函数中有右极点、右零点的系统，则称为非最小相角系统（非最小相位系统）。