二 无穷小与无穷大和极限的关系三 无穷小的运算性质

第四节 无穷小与无穷大

一 无穷小与无穷大的概念

一、无穷小与无穷大的概念

定 义 1 如 果 对 于 任 意 给 定 的 正 数 ( 不 论 它 多 么 小 ) ,

总 存 在 正 数 ( 或 正 数 X ) , 使 得 对 于 适 合 不 等 式

00 xx ( 或 x X ) 的 一 切 x , 对 应 的 函 数 值

)( xf 都 满 足 不 等 式 )( xf ,

那 末 称 函 数 )( xf 当 0xx ( 或 x ) 时 为 无 穷 小 ,

记 作 ).0)(lim(0)(lim0

xfxfxxx

或

极限为零的变量称为无穷小 .1. 无穷小

例如 ,

,0sinlim0

xx

.时的无穷小是当函数 0sin xx

,01

lim xx

.时的无穷小是当函数 xx1

,0)1(

lim n

n

n .时的无穷小是当数列

nn

n

})1(

{

注意 1. 无穷小是变量 , 不能与很小的数混淆 ;

2. 零是可以作为无穷小的唯一的数 .

2. 无穷大

定义 2 如果对于任意给定的正数 M (不论它多么小 ), 总存在正数 (或正数X ), 使得对于适合不等式

00 xx (或 x X )的一切 x ,所对应的函数值 )(xf 都满足不等式 Mxf )( , 则称函数 )(xf 当 0xx (或 x )时为无穷小 ,记作 ).)(()( xfxf 或

绝对值无限增大的变量称为无穷大 .

0xxlim

x

lim

特殊情形：正无穷大，负无穷大．

))(lim()(lim)()(

00

xfxf

xxx

xxx

或

注意 1. 无穷大是变量 , 不能与很大的数混淆 ;

3. 无穷大是一种特殊的无界变量 , 但是无界变量未必是无穷大 .

.认为极限存在2.切勿将

)(lim0

xfxx

xxy

1sin

1

.但不是无穷大,是一个无界变量

当,例如xx

yx1

sin1

0 ,时

),3,2,1,0(

22

1k

kk

x 取(1)

,2

2)( k

kxy .)(, k Mxy 充分大时当k

),3,2,1,0(2

1k k

kx 取(2)

,kxk ,充分大时当

kkxy k 2sin2)( 但 .0 M 不是无穷大．

无界，

.1

1lim

1

xx证明例

证 .0M ,1

1M

x

要使

,1

1M

x 只要 ,1M

取

,时M

x1

10 当 .1

1M

x

就有 .

11

lim1

xx

.的图形的铅直渐近线

是函数则直线,如果:定义 )()(lim 00

xfyxxxfxx

1

1

x

y

1. 无穷小与函数极限的关系 :

证 必要性 ,)(lim0

Axfxx

设 ,)()( Axfx 令

,0)(lim0

xxx

则有 ).()( xAxf

充分性 ),()( xAxf 设

,)( 0时的无穷小是当其中 xxx

))((lim)(lim00

xAxfxxxx

则 )(lim0

xAxx

.A

定理1 ),()()(lim0

xAxfAxfxx

其中 )(x 是当 0xx 时的无穷小.

二、无穷小与无穷大和极限的关系

x 0xx是 时无穷小 .

2. 无穷小与无穷大的关系

.0)(

1lim

,)(lim

.)(

1lim

),0)((,0)(lim

xf

xfxf

xfxf

x

x

x

x

则(2)若

则(1)若 2定理

即： 无穷大的倒数为无穷小，非零无穷小的倒数是无穷大 .

.)(

1 xf

即

证 (2)

,1

)(

0,0,0 0

xf

xx

恒有

时使得当

.)(lim0

xfxx

设

.为无穷小时当)(

1,0 xf

xx

注 关于无穷大的讨论 , 都可归结为关于无穷

小的讨论 .

,1

)(

0,0,0

0

Mxf

xxM

恒有

时使得当

.为无穷大,时当)(

10 xfxx

,0)( xf由于 .)(

1M

xf从而

.0)(,0)( )1( xfxf 且设 0xx

lim

意义 1. 将一般的极限问题转化为特殊的极限问 题 ( 无穷小）； 2. 给出了函数 在 附近的近似表达 式

)(xf ox).()( xAxf 误差为,

三、 无穷小的运算性质　　

定理 3 　同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小 .证： ,时的两个无穷小是当及设 x

使得,0,0,0 21 XX

注意：无限个无穷小量的和不一定是无穷小 .

例如，

.不是无穷小1,个之和为但

.是无穷小时

nn

n1，

;22

时恒有当 Xx

22

,

},,max{ 21 XXX 取 恒有时当 ,Xx

.0)lim(

;21

时恒有当 Xx

定理 4 有界函数与无穷小量的积仍是无穷小 .

证 ,内有界在设函数 ),( 10 oxUu

使得当则 ,0,0 1 M 时10 ||0 xx

,|| Mu 恒有

恒有

又设 是当 时的无穷小，0xx

,0,0 2 使得当 20 ||0 xx

.||M

取 },,min{ 21 则当 ||0 0xx 时恒有

时

,|||||| M

Muu

.为无穷小时，当 uxx 0

推论 1 在同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小 .推论 2 常数与无穷小的乘积是无穷小 .

推论 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小 .

xx

xx

1arctan,

1sin 2例如，当 0x 时， 都是无穷小 .