第七章 模糊与概率

兰 蓉

本章的主要问题：

模糊和概率的基本知识 模糊集合的几何图示 模糊集合的大小的表征 模糊集合的模糊程度的度量 模糊集合间的包含关系 模糊集合间的包含关系与模糊集

合的模糊程度之间的关系

模糊和概率的基本知识一 . 模糊集的基本概念

Cantor ：

一个集合是我们的直观或思维中确定的可区别的诸对象的整体，这些对象称为该集合的元素（成员） .

罗素 (Russell) 悖论 :

考虑集合 A, 它是“不以自己为元素的集合”的全体构成的集合 .

问 : A 是不是自己的元素 ?

答 : 按 A 的定义 , 对这个问题不论回答“是”或“不是”都将导致矛盾 .

定义 称映射

为 上的模糊集 .

称 为 对 的隶属度 , 映射 为隶属函数 .

: [0,1]A X

X

( )A x ( )A xx A

二 . 概率的基本概念 设随机实验为 E, 样本空间为 X, 映射为概率，若它满足以下条件： 1. 正规性 ; 2. 规范性 ; 3. 可列可加性 .

: [0,1]P X

模糊和概率问题 : 是否不确定性就是随机性？概率的概念是 否包含了所有的不确定性的概念？ Lindley ：概率是对不确定性唯一有效并充分的描

述，并且适用于任何涉及不确定性的问题 , 所有其他方法都是不充分的 ( 直接指向模糊理论 ).

Bayesian camp ：一事件的概率是由事件本身的性质决定的， 不是由该事件的频率决定的。

模糊与概率的异同相似点 1. 都可用来刻画不确定性 .

2. 都以 [0,1] 中的数来进行标度 , 即 ,映射的值域是相同的 , 均为 [0,1].

3. 都有相同的运算 : 并 , 交 , 补 .

C

区别 关键的区别在于如何处理一个集合 与

它的补集合 概率 : 模糊 :

ACA

, ( ) ( ) 0c cA A P A A P cA A

考虑两个问题1 ） 总是成立的吗？（不是）2 ）是否应该以定义的形式给出条件概率算子

( 不应该 )

cA A

( )( | )

( )

P A BP B A

P A

模糊性 : 事件发生的程度，而不是一个事件是否发生 .

随机性 : 描述事件发生的不确定性 , 即 , 一个事件发生与否 .

随机与模糊：是否与多少

模糊事件的概率

例子：明天有 20% 的几率下小雨（包含复合的不确定性）

冰箱里有一个苹果的概率为 50% （ Probability ）

冰箱里有半个苹果（ Fuzzy ） 停车位问题

不精确的椭圆

问题 : 下面哪一种描述更好 ?

它可能是 一个椭圆 .

或 ,

它是 一个模糊的椭圆 .

此中没有随机性的问题，所以属于模糊问题。

问题 : 下式是否成立 ?

( ) Pr { }Am x ob x A

注意 : 一般来说 , 不是所有的样本空间均可以定义概率测度 ,但总能定义模糊集 .

结论 :

概率表征是不完备的 .

模糊集的几何学

为了帮助我们更好地讨论模糊集的相关性

质，并且为了使我们对模糊集有一个更为直观

的印象，我们将引入模糊集的一种新的几何的

观点，即，将集合视为点 .

模糊集的几何学 在这种观点之下 ( 设论域为 ) 论域 的所有经典集的集合 . 论域 的所有模糊子集的集合 为

.

2X nB(2 )XF

[0,1]n nI

X

X

X

模糊集的几何学

论域 中的任意一个模糊集均为立方体 内的一个点。

论域 中的非模糊集对应立方体 的顶点。 的中点离各顶点等距，模糊性最大。

例 : 设 , 模糊集 .

nI

[0,1]n nI X

XnI

1 2{ , }X x x 1 3{ , }

3 4A

模糊集的几何学

模糊集合 A 是单位“二维立方体”中的一个点，其坐标 (匹配

值 ) 是（ 1/3 ， 3/4 ）。表明第一个元素 x1 属于 A 的程度是 1/3 ，

第二个元素 x2 的程度是 3/4 。立方

体包含了两个元素 {x1 ， x2} 所有可能的模糊子集。四个顶点代表{x1 ， x2} 的幂集 2X 。对角线连接了非模糊集合的补集。

注意 : 中心点最为模糊的 , 所有值均为 , 中心点在以下两个方面是唯一的。

①它是满足下式的唯一的模糊集：

　 ②它是到顶点等距的唯一的点 .

c c cA A A A A A

1/ 2

我们考虑模糊集的三种运算 :交并补

例 :参见课本第 271页 . 此时 , ,

min( , )

max( , )

1c

A B A B

A B A B

AA

m m m

m m m

m m

cA A X cA A

Prop. A 为真正的模糊集 iff iff 注意 :此命题说明 Aristotle 的两条法则 ( noncontradiction,excluded middle), 适用而且只适用于经典集合 .

cA A

cA A X

我们知道 , 中点处的模糊性最大 ,因此它所对应的论断也充满了矛盾 .经典逻辑与集合论利用公理的形式对其加以限制 ,从而产生了悖论 . 如 : 罗素悖论 ,克里特的说谎者 ,陷入两难境地的理发师 .

Paradox of The Midpoint ( 中心点处的悖论 )

分析 ( 以理发师为例 ):

令 S 为命题——理发师给自己理发， 为命题——理发师不给自己理发。由于 ,

则 ,

故 .

S

( ) ( )s s s s s s

( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1/ 2t S t S t S t S

注： 1 ）上式刻划了很多悖论的逻辑形式，尽管不同的 悖论有不同描述； 2 ）在二值逻辑中，命题 S, 只能取 0 或 1 ，

而 模 糊逻辑中解决悖论它只用了一个事实，即， 令它们的真值相同； 3 ）之所以会出现悖论，是由于人们只坚持二值逻 辑。

S

Counting With fuzzy Sets

问题 : 模糊集有多大 ?

模糊集 A 的大小 可由下式来计算 :

1

( ) ( )n

A ii

M A m x

( )M A

例 : 设 A = ( 1/3,3/4),

则 M (A) =1/3+3/4 = 13/12

说明： 1 ） 的几何意义 :当我们把集合视为点之后 ,

为向量 的大小； 2 ）可以证明 :

即 , 为海明距离 .

( ) ( , )M A l A

( )M A

OA��������������

( )M A

( )M A

谢谢 !